Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

3.3. Редукция аффинного кручения центропроективной связности

Теорема 3.3 [Ш16; ОШ]. Объект кручения S аффинногрупповой связности 4 , ассоциированной с распределением

Sn , образует тензор, содержащий подтензор SIJ — тензор кручения нормальной линейной связности 2 4 .

Теорема 3.4 [Ш16; ОШ]. Распределение Sn в проективном пространстве Pn позволяет редуцировать тензор аффинного кручения TJKI центропроективной связности П к тензору кручения S аффинно-групповой связности 4 .

Доказательство. Запишем сравнения (1.20) подробнее с учетом уравнений (2.2) распределения Sn :

Эти сравнения совпадают со сравнениями (3.30), что дает возможность совпадения тензора Т при данном распределении Sn

с тензором S. Совпадение тензоров Т и S покажем непосредственно, используя редукцию объекта центропроективной связности П к объекту групповой связности Г, при которой с последним отождествлен объект сокращенной центропроектив-

ной связности : . Запишем подробно формулы (3.28,

3.29) для компонент тензора S, чтобы обобщенные символы Кронекера стали обычными, с которыми можно осуществить свертки, и преобразуем компоненты тензора S в соответствующие компоненты тензора Т:

41

Глава 3. Редукция центропроективной связности

Таким образом, компоненты тензора S совпали с редуцированными компонентами тензора Т.

Выводы

10. В качестве структурных уравнений базы пространства групповой связности G r,n лучше использовать не уравнения

(1.3) для проективного пространства Pn , а уравнения (3.26, 3.27), в которых учтены уравнения (2.2) распределения Sn .

Тогда структурные уравнения (3.26, 3.27, 2.24—2.28) пространства G r,n замкнуты в смысле Лаптева [Ла1] — в их пра-

вых частях стоят внешние произведения тех форм, от которых в левых частях берутся внешние дифференциалы.

20. Пространство групповой связности G r,n имеет четыре

факторпространства, из которых лишь одно с замкнутыми уравнениями — пространство аффинно-групповой связности Hp,n

со структурными уравнениями (3.26, 3.27, 2.24, 2. 26, 2.27).

30. Пространство аффинно-групповой связности Hp,n име-

ет факторпространство нормальной линейной связности L (n m)2 ,n со структурными уравнениями (1.3, 2.26). Если при-

соединить к ним уравнения (3.27), то получим структурные уравнения пространства нормальной аффинной связности Сто-

лярова [Ш17, 18, 21].

40. Пространство аффинной связности Столярова со структурными уравнениями (1.3, 3.27, 2.26) обобщает пространство линейной связности со структурными уравнениями (1.3, 2.26)

— расслоение линейных реперов со связностью, не касающихся базы. Предельными случаями пространства Столярова являются:

а) при I i (m=n) — пространство полной аффинной связности — расслоение аффинных реперов со связностью; б) при I=α (m=0) — пространство классической аффинной связности — расслоение линейных реперов многообра-

зия со связностью.

42

3.3. Редукция аффинного кручения центропроективной связности

50. Пространства аффинных связностей Ивлева [Ив1, c. 34] состоят из: 1) пространства с повышенной размерностью базы [Ив1, с. 56]; 2) классического пространства аффинной связности [Ка3; Н1]; 3) пространства с пониженной размерностью базы [Ив; ИБ]. Аффинная связность Столярова является связностью Ивлева с повышенной базисной размерностью.

3.4.Специальные связности, ассоциированные

сголономным распределением

Записывая подробнее дифференциальные сравнения (3.30) для компонент объекта кручения S аффинно-групповой связ-

ности 4 и подставляя в них уравнения (2.2) распределения Sn , получим

ветствующей аффинной связности Столярова, а также про-

{Sij ,S i ,S4}.

Схема включения подтензоров тензоракрученияS имеет вид:

S1 S2 S3

S4 S5 S.

43

Глава 3. Редукция центропроективной связности

Используя выражения (3.31) шести совокупностей компонент тензора кручения

S {Sijα, Sβαi , Sβγα , Sijk , Sijα, Siαβ},

дадим определения, соответствующие обращению в нуль каждой совокупности:

финно-групповая связность 4 .

Из перечисленных совокупностей компонент тензора S только Sij образует тензор самостоятельно, поэтому свойство

голономности распределения Sn из данных шести свойств ин-

вариантно, а остальные свойства могут иметь место лишь в некоторой последовательности, отвечающей теореме 3.5.

Теорема 3.6. Обращение тензора кручения S и его подтензоров в нуль характеризует следующие свойства распределе-

ния Sn и ассоциированных с ним связностей:

1)S1 0 распределение Sn голономно;

2)S2 0 нормальная линейная связность 2 , ассоциированная с голономным распределением Sn , полувнутренняя;

44

3.4.Специальные связности, ассоциированные с голономным распределением

3)S3 0 нормальная линейная связность, ассоциированная с голономным распределением Sn , полувнутренняя и

симметрическая;

4)S4 0 плоскостная линейная связность 1 , ассоциированная с голономным распределением Sn , симметрическая;

5)S5 0 аффинно-групповая связность 4 , ассоциированная с голономным распределением Sn , содержащая симметрическую плоскостную линейную связность 1 и полувнутреннюю нормальную линейную связность 2 , приведена;

6)S 0 аффинно-групповая связность, ассоциирован-

ная с голономным распределением, обладающая симметрическими плоскостной и полувнутренней нормальной линейными связностями, приведена и полусимметрична; иначе говоря, ассоциированная с голономным распределением аффинно-груп- повая связность с полувнутренней нормальной линейной подсвязностью симметрична.

45

4.1. Объект нормальной аффинной связности

Поскольку преобразование (4.12) слоевых форм уже про-

водилось в рамках более широкого преобразования (2.16), рас-

смотрим преобразованные базисно-слоевые формы ~ . Возь-

мем внешние дифференциалы этих форм с помощью структурных уравнений (1.3, 3.25)

Внесем преобразованные формы (4.1) в первые слагаемые структурных уравнений (4.2)

Здесь во вторых и третьих слагаемых вернемся к исходным формам и подставим результат в уравнения (4.2)

Исходя из этих уравнений, применим теорему Картана — Лаптева [ЕЛОШ; ОРШ; Ст9] в обобщенном случае, а именно зададим поле тензора

Подставим эти дифференциальные уравнения в структурные уравнения (4.3)

где компоненты объекта кручения QIJ нормальной аффинной связности Столярова выражаются по формуле

47

Глава 4. Нормальная аффинная связность Столярова

Теорема 4.1 [Ш18]. В обобщенном расслоении нормальных аффинных реперов Ah2 [h] (Pn ) аффинная связность

Столярова задается полем объекта L {LI , I }, компо-

ненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (4.4, 2.21), причем формы связности (4.1) подчиняются структурным уравнениям (4.5, 2.26), в которые вхо-

дят объекты кручения QIJ и кривизны R IJ , имеющие вы-

ражения (4.6, 2.31).

Итак, пространство нормальной аффинной связности Столярова, ассоциированное с распределением Sn , определяется

структурными уравнениями (1.3, 4.5, 2.26). Дифференциальные уравнения (2.21, 4.4) с учетом обозначения (2.153) и формул (2.31, 4.6) дают очевидные свойства характеризующих ее объектов:

а) объект связности L состоит из двух подобъектов: тензора связности LI , задающего преобразование базисно-слоевых форм , и объекта нормальной линейной связности I [Ом1; ОШ], образующего геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным квазитензором iJ и опреде-

ляющего связность в расслоении нормальных линейных репе-

ров Lh2 (Pn );

б) объект кручения QIJ строится с помощью поля тензора связности LI , фундаментального квазитензора iJ и объекта линейной связности I ;

в) объект кривизны R IJ определяется, как обычно, объектом линейной связности I и его пфаффовыми производными IJ .

48

4.2.Тензоры кручения и кривизны нормальной связности

4.2.Тензоры кручения

икривизны нормальной связности

Спомощью структурных уравнений (1.3, 1.4, 2.12) продолжим дифференциальные уравнения (4.4)

где использованы обозначения (1.7, 2.153). Проальтернируем эти сравнения по нижним индексам с учетом симметрии форм

IJK :

Используя (2.4, 2.21, 2.35, 2.38, 4.4), получим дифференциальные сравнения компонент агрегата, входящего в формулу (4.6), без учета альтернирования:

Проальтернируем эти сравнения по индексам I, J и сложим со сравнениями (4.8) согласно формуле (4.6):

Q i i 0.

IJ [I J] [I iJ] [I J] i

Подставим выражения (2.153) форм J :

Q i 0.

IJ [I J] [I J] [I J] i

Из дифференциальных сравнений (2.413, 4.9) с учетом уравнений (2.2) распределения Sn имеем:

49

Глава 4. Нормальная аффинная связность Столярова

Теорема 4.2 [Ш17,18]. На распределении Sn объекты кручения QIJ и кривизны R IJ нормальной аффинной связности Столярова являются тензорами, содержащими простейшие: Qij , R ij и простые: {Qij , Q i }, {R ij , R i } подтензоры.

Тензор кривизны связности Столярова R IJ есть тензор

кривизны нормальной линейной связности, поэтому интересно исследовать новый объект — тензор кручения связности Сто-

лярова QIJ .

4.3.Полуканоническая нормальная связность

Сучетом уравнений (2.2) распределения Sn запишем дифференциальные уравнения (4.4) компонент тензора связности

LI подробнее:

Утверждение 4.1. Тензор нормальной аффинной связности Столярова LI содержит подтензор Li .

Рассмотрим полуканонический случай нормальной аффинной связности Столярова, когда подтензор связности Li обращается в нуль:

где точка над объектами означает их рассмотрение при усло-

вии (4.13). Преобразование (4.11) базисно-слоевых форм теперь производится лишь с помощью этих же форм:

50