Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5481 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
626 Кб
Скачать
☆

5.2.Тензоры кручения и кривизны плоскостной связности

5.2.Тензоры кручения и кривизны

плоскостной связности

С помощью обозначений (5.2), структурных уравнений (1.3, 1.4, 2.10, 2.13) и дифференциальных уравнений (2.37) продолжим дифференциальные уравнения (5.6):

C

i

j

i

i

 

L

j

 

i

 

 

i

0,

(5.9)

JK

C

 

jK

C

JK

 

 

jK

 

 

K

 

J

 

L

 

J

 

 

J

 

 

 

где использованы обозначения (1.7, 2.151). Проальтернируем эти сравнения по нижним индексам с учетом симметрии форм

IJK :

C

i

C

j

i

 

j

 

i

 

 

 

i

0.

(5.10)

[JK]

[J

 

jK]

[J

 

jK]

 

 

K]

 

 

 

 

 

 

[J

 

 

 

Используя (2.19, 2.35, 5.6), получим дифференциальные сравнения для входящих в формулу (5.8) агрегатов

( [jJ C[jJ ) jKi ] ( [jJ C[jJ ) ijK] 0.

Сложим их со сравнениями (5.10) согласно формуле (5.8):

QiJK δ[Jj ΛαjK]ωiα δ[Jα ΩiαK] δ[Jj ωijK] 0.

Подставим выражения трехиндексных форм (1.7, 2.151):

Qi

(

j

 

) i

i

 

K]

0.

JK

[J

 

[J

j

K]

[J

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QiJK 0.

 

 

 

(5.11)

Из дифференциальных сравнений (5.11, 2.411) с учетом уравнений (2.2) распределения Sn имеем (ср. [Ш14,19]):

Qi

 

0,

Qi

Qi

k

0,

Qi

Qi

j

Qi

j

0, (5.12)

jk

 

j

jk

 

 

 

j

 

 

 

j

 

 

 

Ri

0, Ri

Ri

l

0, Ri

Ri

 

k

Ri

k

0.

jkl

 

 

jk

jkl

 

j

jk

 

 

 

j k

 

 

61

Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова

Теорема 5.2 [Ш24]. На распределении Sn объекты кручения QiJK и кривизны RijKL плоскостной аффинной связности Столярова образуют тензоры, содержащие простейшие Qijk , Rijkl и простые {Qijk ,Qij }, {Rijkl , Rijk } подтензоры.

5.3.Продолженный квазитензор плоскостной связности

Запишем дифференциальные уравнения (5.6) компонент квазитензора связности CiJ подробнее с учетом уравнений

(2.2) распределения Sn и обозначений (5.2) форм iJ :

Ci

 

 

i

K ,

Ci

Ci

j

i

Ci

K ;

(5.13)

C

j

 

 

jK

 

 

 

 

j

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

jKi

CijK Ci jK .

 

 

(5.14)

 

 

 

 

 

C

 

 

Утверждение 5.1. Квазитензор CiJ плоскостной аффинной связности Столярова содержит тензор Cij.

Дифференциальные сравнения (5.9) с учетом уравнений (2.2) распределения Sn и обозначений (1.7, 2.151) форм

LJK , ijK примут вид:

C

i

 

 

 

(C

j

 

j

 

 

i

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

) C

i

 

 

0.

(5.15)

JK

 

jK

J

J

)

K

(C

j

 

 

K

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

0.

(5.16)

 

CjK Cj

( kK

K k ) CK j jK

Подробнее:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

i

 

 

 

l

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

0,

 

(5.17)

 

jk

 

C

 

(

lk

 

 

 

) C

j

 

jk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

k l

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

i

 

C

i

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

0.

 

(5.18)

 

 

j

 

 

 

(C

 

k

 

j

) C

 

j

 

 

 

 

 

 

 

jk

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62

5.3. Продолженный квазитензор плоскостной связности

Аналогичноиз дифференциальных сравнений (5.15) получим

C

i

 

C

i

 

k

 

 

 

 

k

 

i

 

 

i

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

0,

(5.19)

j

kj

 

 

kj

C

 

 

(C

 

k

 

) C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

C

i

 

C

i

 

j

 

C

i

 

j

 

 

 

 

j

 

 

i

 

 

i

 

0.

 

(5.20)

 

 

 

j

 

 

j

 

 

j

C

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения (2.6, 5.13) и сравнения (5.17— 5.20) позволяют сформулировать

Утверждение 5.2. Продолженный квазитензор связности {CiJ ,CiJK } образует геометрический объект лишь в совокупности

 

 

 

 

 

с фундаментальным квазитензором iJ . Геометрический объект

i

i

 

 

 

C0 {CJ

,CJK , iJ} содержит простые геометрические подобъ-

екты C1

i

i

i i

i i

{CJ , CjK , iJ },

C2 {CJ , CJk , ij},

C3 {Cj , Cjk , ij},

которыеподчиняютсяследующейсхемесобственныхвключений:

 

C1

C 3 C1 C 2

C1 C 2 C 0 .

 

C 2

Найдем дифференциальные сравнения для пфаффовых производных CijK (5.14) тензора связности Cij с помощью уравнений (2.4, 5.132, 5.16):

 

 

ijK Ckj (ΛαkKωiα δiKωk )

 

C

(5.21)

CiKωj Cik ΛαjKωαk

δαKCiαωj 0.

 

5.4. Первая каноническая плоскостная связность

Рассмотрим первый канонический случай плоскостной аффинной связности Столярова, когда тензор Cij является символом Кронекера:

Cij ij.

(5.22)

63

Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова

В этом случае квазитензор связности CiJ и объект связности С упрощаются:

CiJ { ij , Ci }, C {CiJ , jKi },

где точка над объектами означает их рассмотрение в случае (5.22). Преобразование базисно-слоевых форм вырождается в

линейную комбинацию форм , дополняющих формы i до

базисных форм I : ~i Ci . Дифференциальные уравнения (5.132) принимают вид:

i

(5.23)

C 0.

Утверждение 5.3. В первом каноническом случае (5.22) квазитензор CiJ плоскостной аффинной связности Столярова

вырождается в тензор CiJ , который распадается на тензор Кронекера ij и тензор Ci .

При фиксации (5.22) дифференциальные сравнения (5.21) принимают вид:

CijK (CiK iK KCi ) j 0.

Коэффициенты в круглых скобках обращаются в нуль:

CiK iK KCi JKCiJ KCi iK Kj Cij iK iK iK 0.

Следовательно, CijK 0. Пфаффовы производные CijK обра-

зуют тензор, поэтому их можно обратить в нуль. Это нужно сделать в каноническом случае (5.22). Действительно, символ

Кронекера ij является тензором с дифференциальными уравнениями компонент ij 0, т. е. его пфаффовы производные равны нулю. В силу обозначения (5.14) инвариантные равенства CijK 0 дают

i

i

(5.24)

CjK C jK .

64

5.4. Первая каноническая плоскостная связность

Запишем выражения (5.8) компонент тензора кручения QiJK подробно:

Qi

Ci

 

i

Cl

i

,

Qi

Ci

]

Cj

 

i

, (5.25)

jk

 

[ jk]

 

[ jk]

[ j

lk]

 

 

[

 

[

j ]

 

 

Qi

 

1 (Ci

Ci

i

Ck i

Ck

i

).

 

 

j

 

2

j

j

 

j

j

k

 

kj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В первом каноническом случае выполняются условия (5.22, 5.24), поэтому формулы (5.25) упрощаются

i

i

 

 

i

1

k i

i

 

i

(5.26)

Qjk C N jk ,

 

Q j

2

(C kj C j C j ),

 

 

 

i

i

j

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q C[

] C[ j ] .

 

 

 

Дифференциальные сравнения (5.19, 5.20) также становятся проще

 

 

i

 

 

 

 

i

 

k

 

k

 

i

i

 

k

 

 

0,

 

 

C

j

 

kj

(C

 

C

 

)

C

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

(5.27)

i

 

 

i

 

j

 

 

 

 

i

 

j

 

j

i

 

 

i

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

C

j

 

 

j

(C

 

C

 

 

) C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если каноническая связность без кручения, т. е. QiJK 0, то

из выражений (5.26) в соответствии с дифференциальными сравнениями (5.121—3) последовательно получаем

i

 

i

k i

i

i

j i

(5.28)

C N jk 0,

C j C kj C j , C[

] C[ j ].

Теорема 5.3. Первая каноническая плоскостная аффинная связность Столярова без кручения, ассоциированная с рас-

пределением Sn , характеризуется последовательностью свойств:

1)распределение Sn Ci — полуголономно;

2)плоскостные пфаффовы производные Ci j подтензора

связности Ci суть разности между линейными комбинациями компонент подобъекта kji объекта плоскостной линейной связности kJi и комбинациями компонент подобъекта j

65

Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова

фундаментального квазитензора jK с коэффициентами —

компонентами тензора Ci ;

3) альтернированные нормальные пфаффовы производные C[i ] есть альтернации сверток компонент тензора Ci и по-

добъекта ji объекта плоскостной линейной связности jKi .

Равенства (5.28) инвариантны, так как получены приравниванием нулю тензора кручения QiJK в каноническом случае

(5.22). Проверим их инвариантность непосредственно. Равенства (5.281) инвариантны, поскольку их левые части суть свертки компонент двух тензоров. Используя дифференциальные уравнения (2.62) и сравнения (2.42, 5.23), найдем дифференциальные сравнения правых частей формул (5.282)

k

 

i

i

 

 

k

i

 

i

 

k

i

k

 

 

0.

(5.29)

(C

 

C

 

j

)

kj

C

 

 

jk

C

 

 

C

k

 

kj

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

Используя выражение (2.7) тензора неголономности Nij , преобразуем условие полуголономности (5.281) к виду

Ci jk Ci kj.

Подставляя правые части этих соотношений вместо левых в предпоследние слагаемые сравнений (5.29), приводим их к совпадению с дифференциальными сравнениями (5.271).

С помощью дифференциальных уравнений (2.43) и сравнений (5.23) получим дифференциальные сравнения правых частей формул (5.283):

j

 

i

j

 

i

 

k

j

 

i

i

 

 

0. (5.30)

C

 

C

jk

 

C

 

j ]

 

 

C

 

[

j ]

[

 

]

[

 

 

[

]

 

Проальтернируем сравнения (5.272) по нижним индексам:

i

 

i

 

 

j

 

i

 

j

j

i

i

 

 

0.

C

[

]

C

j

 

 

j[

(C

]

C

]

 

) C

]

 

[

]

 

 

 

 

 

[

 

 

Подставив в них выражения (5.282) пфаффовых производных Ci j, получим сравнения

66

5.4. Первая каноническая плоскостная связность

i

 

k

i

 

j

 

j

i

i

 

0,

C

]

C

 

 

 

j[

C

]

 

 

C

[

[

kj

]

 

 

 

[

]

 

которые совпадают с дифференциальными сравнениями (5.30), что завершает проверку инвариантности формул (5.28).

Рассмотрим особый случай первой канонической плоскостной связности Столярова, когда тензор связности Ci обращается в нуль:

i

(5.31)

C 0.

В этом случае происходит полная фиксация квазитензора связности CiJ . Формулы (5.22, 5.31) можно объединить:

CiJ iJ .

(5.32)

Сопоставление дифференциальных уравнений (2.35) и (5.6) с учетом обозначений (5.2) приводит к равенствам

CiJK 0.

(5.33)

Подставляя значения (5.32, 5.33) в формулу (5.8), получим QiJK 0. К этому же приводят и структурные уравнения (5.7),

в которых ~i i iJ J 0.

Теорема 5.4 [Ш25]. Плоскостная аффинная связность Столярова с квазитензором связности CiJ , который выродил-

ся в тензор — обобщенный символ Кронекера iJ { ij,0}, яв-

ляется соответствующей линейной связностью.

Теорема 5.4′. Первая каноническая плоскостная аффинная связность Столярова с нулевым тензором связности Ci 0 вырождается в соответствующую линейную связность.

5.5. Вторая каноническая плоскостная связность

Рассмотрим второй канонический случай плоскостной аффиннойсвязностиСтолярова, когдатензор Cij обращаетсявнуль:

67

Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова

 

 

Cij 0.

 

 

 

(5.34)

В этом случае квазитензор связности CiJ

упрощается:

 

i

i

 

i

,

i

},

C

J

{0,C },

C {C

 

 

 

 

J

jK

 

где кружок над объектами означает их рассмотрение при условии (5.34). Преобразование (5.31) базисно-слоевых форм i производится лишь с помощью форм , дополняющих фор-

i

I

:

~i

i

i

 

мы до базисных форм

 

C . Дифференци-

альные уравнения (5.132) принимают вид:

 

i

i

 

i

K

.

(5.35)

C

 

C K

 

Утверждение 5.4. Во втором каноническом случае (5.34) квазитензор CiJ плоскостной аффинной связности Столярова

сужается до квазитензора Ci .

При фиксации (5.34) дифференциальные сравнения (5.21) принимают вид:

CjKi (CiK K Ci ) j 0.

Разности в круглых скобках равны нулю:

CiK K Ci JK CiJ K Ci Kj Cij 0,

значит, CjKi 0. Пфаффовы производные CjKi образуют тен-

зор, поэтому их можно обратить в нуль. Это нужно сделать в каноническом случае (5.34), поскольку пфаффовы производные нуля равны нулю. В силу обозначения (5.14) инвариант-

ные равенства CjKi 0 дают

i

i

 

(5.36)

CjK C jK .

68

5.5. Вторая каноническая плоскостная связность

Возьмем точки

 

 

 

 

 

 

 

i

Ai .

 

 

 

(5.37)

 

 

 

 

B A C

 

 

 

С помощью деривационных формул (1.2) найдем

dB

 

B

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

( C )A

 

( C )A

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

j

i

 

 

i

 

 

.

 

 

 

 

 

(d C C

 

)A

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

i

 

 

Подставим выражения точек A

из обозначения (5.37):

dB

 

B

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

( C )B

 

( C )A

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

i

 

 

j

i

 

)A

.

 

 

 

 

( C C C

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Отсюда видно, что дифференциальные уравнения (5.35) и уравнения (2.2) распределения Sn обеспечивают инвариант-

ность плоскости Nn m [A, Bα ] — нормали 1-го рода [ЛО1;

Н1] для образующей плоскости P0

распределения S

n

.

m

 

 

Теорема 5.5. Задание поля квазитензора Ci второй канонической плоскостной связности Столярова эквивалентно нормализации 1-го рода распределения Sn .

Во втором каноническом случае выполняются условия (5.34, 5.36), поэтому формулы (5.25) компонент тензора кру-

чения QiJK упрощаются:

i

i i

 

 

i

1

i

 

k

i i

 

i

Qjk [ jk] C N jk ,

Qj

2

( j

C kj C j C j ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

j

i

.

 

(5.38)

 

 

Qi

 

C[ ] C

 

 

 

 

 

 

 

[

j ]

 

 

 

Дифференциальные сравнения (5.19, 5.20) также становятся проще:

69

Глава 5. Плоскостная аффинная связность Столярова

i

 

i

 

k

 

 

k

i

 

i

 

k

 

 

 

 

 

(C

 

C

 

(C

 

 

) 0,

 

C j

kj

 

)

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

(5.39)

i

i

 

j

 

 

 

i

 

j

j

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

C C j

 

 

(C

 

 

) C 0.

 

 

 

j

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если каноническая связность без кручения, т. е. QiJK 0, то

из выражений (5.38) в соответствии с дифференциальными сравнениями (5.121—3) последовательно получаем формулы

i

i

 

i

i

i

 

 

k

i i

j i

 

 

 

 

 

 

] C[ j ] , (5.40)

[ jk] C N jk ,

j C j C j C kj , C[

которые можно описать.

Теорема 5.6. Вторая каноническая плоскостная связность Столярова без кручения, ассоциированная с распределением Sn , характеризуется последовательностью свойств:

1) антисимметричская часть [ijk] объекта плоскостной линейной связности jKi является сверткой квазитензора

связности Ci и тензора неголономности N jk ;

2) плоскостная линейная связность jKi сводится к аффинной подсвязности jki с помощью плоскостного подполя

квазитензора связности Ci на распределении Sn ; иначе гово-

ря, подобъект

i

охватывается подобъектом

i , допол-

 

j

 

jk

няющим его до объекта линейной связности i

, подобъек-

 

 

jK

 

 

 

 

квазитензо-

том j фундаментального квазитензора jK ,

i

 

 

i

ром C и его плоскостными пфаффовыми производными C j; 3) альтернированные нормальные пфаффовы производные

C[i ] квазитензора связности Ci образованы альтернациями

70

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности