Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДИУ_Фролов_ОТЛ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2026

Размер:

4.78 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Ряды Фурье Интегральные уравнения

23 мая 2026 г.

Оглавление


I. Метрические, нормированные и евклидовы пространства					5
I.1.	Определения метрического и нормированного пространств .				5
	I.1.1.	Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . .			5
	I.1.2.	Нормированные пространства. Норма оператора . . .			5
	I.1.3.	Понятие полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			7
I.2.	Понятие евклидового пространства . . . . . . . . . . . . . . .				9
	I.2.1.	Определение евклидова пространства . . . . . . . . .			9
	I.2.2.	Пространство кусочно-непрерывных функций . . . .			12
	I.2.3.	Ортонормированная система . . . . . . . . . . . . . .			13
I.3.	Линейные операторы в НП . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				14
	I.3.1.	Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . .			17
II. Ряды Фурье					21
II.1. Общее понятие ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					21
	II.1.1.	Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			21
	II.1.2. Замкнутые и полные ортонормированные системы . .				23
	II.1.3. Понятие периодической функции . . . . . . . . . . . .				25
II.2. Тригонометрические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . .					27
	II.2.1. Понятие тригонометрической системы . . . . . . . . .				27
	II.2.2. Замкнутость тригонометрической системы			и след-
		ствия из нее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			28
	II.2.3. Простейшие условия сходимости и дифференцируемо-
		сти тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . .			32
	II.2.4. Выражение для		частичной суммы тригонометриче-
		ского ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			35
	II.2.5.	Принцип локализации. . . . . . . . . . . . . . . . . . .			37
	II.2.6. Суммируемость		тригонометрического ряда	Фурье
		непрерывной функции методом средних арифмети-
		ческих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			39

	Оглавление
II.2.7. Комплексная форма записи тригонометрического ря-
	да Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
II.3. Преобразование Фурье и интеграл Фурье . . . . . . . . . . .		42
II.3.1.	Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
II.3.2.	Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45
III.Интегральные уравнения		49
III.1.Классификация интегральных уравнений. . . . . . . . . . .		49
III.2.Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . .		50
III.2.1. Норма интегрального оператора Фредгольма . . . . .		50
III.2.2. Теорема существования и единственности для урав-
	нения Фредгольма II-го рода . . . . . . . . . . . . . .	51
III.2.3. Резольвента для уравнения Фредгольма II-го рода . .		54
III.2.4. Однозначная разрешимость уравнения Вольтерры II-
	го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
III.2.5. Резольвента для уравнения Вольтерры II-го рода . .		57
III.2.6. Связь уравнения Вольтерры с задачей Коши . . . . .		58
III.3.Альтернатива Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		60
III.3.1. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром . . . .		60
III.3.2. Альтернатива Фредгольма. Общий случай . . . . . .		65
III.4.Функция Грина краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .		67
III.4.1. Существование функции Грина . . . . . . . . . . . . .		67
III.4.2. Единственность функции Грина . . . . . . . . . . . .		70
III.4.3. Решение краевой задачи при помощи функции Грина		72
III.5.Уравнения Фредгольма с симметричным ядром . . . . . . .		74
III.5.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		74
III.5.2. Свойства характеристических числел и собственных
	функций симметричного оператора . . . . . . . . . .	76
III.5.3. Теорема Гильберта–Шмидта . . . . . . . . . . . . . .		79
III.5.4. Связь с краевой задачей . . . . . . . . . . . . . . . . .		82
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		85

-4-

Глава I.

Метрические, нормированные и евклидовы пространства

I.1. Определения метрического и нормированного пространств

I.1.1. Метрическое пространство

Важнейшее понятие предела в математике опирается на понятие «близости» точек.

Опр. I. 1. Пусть X – множество произвольной природы, а ( , ) – действительная функция двух переменных , X, удовлетворяющая трем аксиомам:

1 ( , ) > 0 , X, причем ( , ) = 0 лишь при = ;

2 ( , ) = ( , ) (аксиома симметрии);

3 ( , ) 6 ( , ) + ( , ) (неравенство треугольника).

В этом случае множество X с заданной функцией ( , ) называют

метрическим пространством (МП), а функцию ( , ) : X × X →R, удовлетворяющую 1 – 3 – метрикой или расстоянием.

I.1.2. Нормированные пространства. Норма оператора

Частным случаем метрического пространства является линейное нормированное пространство.

Опр. I. 2. Пусть X – линейное пространство (действительное или ком-

плексное), на котором определена числовая функция			, действующая
из X в	R	и удовлетворяющая аксиомам:

1 Для X,	> 0,	причем	= 0 лишь при	= ;

Для

X и для R (или

C) выполняется

= | | · ;

выполняется +

Для

, X

(неравенство

треугольника).

Тогда X называется нормированным пространством (НП),

а функция

X →R, удовлетворяющая 1 – ), – нормой.

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между элементами по формуле

, =	− .	(1)

Выполнение аксиом МП легко проверяется.

Часто на одном и том же линейном пространстве можно по-разному ввести норму.

Приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пример I. 1. X = R			- множество действительных чисел с расстоянием
( , ) =	−	и нормой			=	.


				¨
				¨			«

Пример I. 2. X = R =

, . . . ,

– множество

упорядоченных наборов из

чисел

, . . . ,

действительных

с нормой

- множество рациональных чисел с расстоянием

Пример I. 3. X =

( , ) =

−

и нормой

Пример I. 4.

X = ,

множество всех непрерывных на

i –

функций ( ) со значениями в

с расстоянием, задаваемым формулой

) =

max ( )

−

( ) ,

(2)

(

[ , ]

в котором может быть задана норма

= max ( )

[ , ]

Пример I. 5. X = h ,

h , i R

– множество всех непрерывных на

функций ( ) со значениями в

с расстоянием

( ,

) = Z

| ( ) − ( )| .

(3)

-6-

	I.1. Определения метрического и нормированного пространств
I.1.3. Понятие полноты
	Если каждому натуральному поставлен в соответствие элемент
	X, то говорят, что задана последовательность точек	n o	МП

X, .

n o

Опр. I. 3. Последовательность точек МП называется сходящейся к

точке X, если lim , = 0.

→∞

		n	o
Опр. I. 4. Последовательность			называется фундаментальной, если
> 0	( ) N :	> , N		+ , < ,

Опр. I. 5. МП X, называется полным (ПМП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Полное нормированное пространство называется Банаховым пространством.

Рассмотрим примеры
Утверждение I. 1. Пространство	X = R из примера	I. 1 является
полным.
Утверждение I. 2. Пространство	X = R из примера	I. 2 является
полным.

Полнота пространств из примеров I. 1 и I. 2 доказана в курсе математического анализа.

Утверждение I. 3. Пространство X = Q из примера I. 3 не является полным.


Доказательство. Если взять последовательность десятичных приближе-
√
ний числа√	2 , т.е. 1 = 1; 2	= 1, 4; 3 = 1, 41; . . ., то, как известно,

lim→∞ =	2 ̸Q. При этом данная последовательность сходится в R,
значит она фундаментальна в		R, а следовательно, она фундаменталь-
на и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в , но предела,
лежащего в	, не имеет. Пространство не является полным.

h i

Утверждение I. 4. Пространство X = , из примера I. 4 является полным.

-7-

Доказательство. Пусть последовательность функций

n ( )o

фундамен-

тальна в

X. По определению

[ , ]

−

> 0

( )

: , >

max

Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на h ,

сходи-

мости функциональной последовательности, т.е. ( ) ( )

при → ∞.

Как известно, предел

( )

в этом случае – непрерывная функция. Дока-

жем, что

( ) – это предел

n ( )o

в метрике пространства

h ,

i. Из

равномерной сходимости получим, что

> 0 ( ) >

h , i

( ) − ( )

< ,

а так как в левой

[ , ]

( )

−

( )

< .

части неравенства стоит непрерывная функция, то

и max

Это и есть сходимость в , , следовательно, полнота установлена.

Утверждение I. 5. Пространство X = h ,	i	из примера I. 5 не яв-
ляется полным.

Доказательство. Сходимость последовательности функций ( ) из пространства ( , ) к функции ( ) означает, что при → ∞

( , ) = | ( ) − ( )| → 0.

В анализе такая сходимость называется сходимостью в среднем порядка или просто сходимостью в среднем, если фиксировано.

Всякая равномерно сходящаяся последовательность функций сходится также и в среднем при любом .

Но легко построить последовательность функций, сходящуюся в среднем при любом и не сходящуюся равномерно. Пусть, например, функция ( ), вообще заключённая между нулём и единицей, отлична от нуля только в интервале длины, меньшей 1 , и достигает в этом интервале значения 1.

Очевидно, что

		1
Z	\| ( )\| <	1	,

так что последовательность ( ) при → ∞ в среднем стремится к нулю. Но max ( ) = 1 для любого , так что последовательность ( ) не сходится к нулю равномерно. Можно проверить, что эта последовательность ни к какой функции не сходится равномерно. Более того, интервалы можно выбрать так, что эта последовательность вообще не будет сходиться ни при одном значении .

-8-

I.2. Понятие евклидового пространства

Докажем теперь, что из сходимости по норме следует сходимость норм элементов последовательности к норме предельного элемента. Заметим сразу, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно (приведите пример).

Лемма I. 1. О непрерывности нормы. В нормированном пространстве если → 0 при → ∞, то ‖ ‖ → ‖ 0‖.

Доказательство. Докажем сначала, что для любых элементов , справедливо неравенство

|‖ ‖ − ‖ ‖| 6 ‖ − ‖.

Действительно, из неравенства треугольника следует

‖ ‖ = ‖ − + ‖ 6 ‖ − ‖ + ‖ ‖,

откуда ‖ ‖ − ‖ ‖ 6 ‖ − ‖. Меняя местами и , получаем

‖ ‖ = ‖ − + ‖ 6 ‖ − ‖ + ‖ ‖,

или ‖ ‖ − ‖ ‖ 6 ‖ − ‖. Из этих двух неравенств вытекает, что

|‖ ‖ − ‖ ‖| 6 ‖ − ‖.

Пусть теперь → 0 при → ∞. Тогда

|‖ ‖ − ‖ 0‖| 6 ‖ − 0‖ → 0,

из чего и следует утверждение леммы.

I.2. Понятие евклидового пространства

I.2.1. Определение евклидова пространства

Опр. I. 6. Пространство X называется евклидовым (предгильбертовым), если выполнены следующие два требования:

1)Известно правило, посредством которого любым двум элементам и пространства X ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом ( , );

2)Указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам:

1 ( , ) = ( , ) — переместительное свойство.

2 ( + , ) = ( , ) + ( , ) — распределительное свойство. 3 ( , ) = ( , ) для любого вещественного числа .

4	( , ) > 0	, если	= 0,	( , ) = 0	, если	= 0
4		, если	̸		, если	.

-9-

Неравенство Коши–Буняковского

Теорема I. 1. Во всяком евклидовом пространстве для любых двух элементов и справедливо следующее неравенство:

( , )2 6 ( , ) · ( , ), (4)

называемое неравенством Коши–Буняковского.

Доказательство. Для любого вещественного числа

( − , − ) > 0.

В силу аксиом 1 –4 последнее неравенство можно переписать в виде

2( , ) − 2 ( , ) + ( , ) > 0.

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трёхчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство

( , )2 − ( , ) · ( , ) 6 0.

(5)

Из (5) немедленно следует (4).

Теорема I. 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нём норму любого элемента определить равенством

‖ ‖ = ( , ) (6)

Доказательство. Достаточно убедиться, что для нормы, определённой соотношением (6), справедливы аксиомы 1 – 3 из определения 2.

Справедливость аксиомы 1 сразу вытекает из аксиомы 4 для скалярного произведения. Справедливость аксиомы 2 также почти непосредственно вытекает из аксиом 1 и 3 для скалярного произведения.

Остаётся убедиться в справедливости аксиомы 3 , т. е. неравенства треугольников. Будем опираться на неравенство Коши–Буняковского (4), которое перепишем в виде

|( , )| 6 ( , ) · ( , ).

С помощью последнего неравенства, аксиом 1 – 4 для скалярного произведения и определения нормы (6) получим:

‖ + ‖ =

( + , + ) =

( , ) + 2( , ) + ( , ) 6

-10-

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Интегральные уравнения и вариационное исчисление

#
28.01.2025808.56 Кб2Билеты экзамен Иванова.docx
#
28.01.2025207.02 Кб0Вопросы по рядам горячева 4 сем.pdf
#
14.06.202588.7 Mб0Вышмат 4 сем Ф.pdf
#
29.03.2025410.54 Кб1Демидович_Фурье.pdf
#
04.06.20251.07 Mб0ДИУ иванова билеты.pdf
#
02.06.20264.78 Mб1ДИУ_Фролов_ОТЛ.pdf
#
04.06.202588.7 Mб0Интегральные уравнения сем 4 билеты.pdf
#
04.06.202586.91 Mб0Интуры 4 семестр.pdf
#
04.06.2025271.12 Кб0таблица фазовых портретов.pdf
#
02.06.202635.33 Кб0Фролов_Вопросы_по_ДиИУ_2026-2.doc
#
04.06.20253.89 Mб0Хорошие_Интегральные уравнения 4 семестр.pdf