ДИУ_Фролов_ОТЛ
.pdf
III.5. Уравнения Фредгольма с симметричным ядром
Убедимся, что в случае, когда ядро ( , ) не вырождено и, следовательно, собственных функций бесконечно много, ряд
∞ ( )
X
(72)
=1 −
сходится равномерно. Действительно, в этом случае, согласно теореме 3.1, имеем
lim | | = ∞.
→∞
Следовательно, при достаточно больших справедливо
1 |
|
6 |
2 |
, |
(73) |
|
| − | |
| | |
|||||
|
|
|
||||
В силу теоремы Гильберта–Шмидта,
|
∞ ( ) |
, |
|
Z |
( , ) ( ) = =1 |
|
|
|
X |
|
|
причем ряд сходится равномерно и абсолютно. Члены функционального ряда
X
2
∞ | | · | ( )|
=1 | |
при достаточно больших в силу (73) являются мажорирующими для членов ряда (72). Следовательно, ряд (72) сходится абсолютно и равномерно.
Мы получили решение в виде (68), предположив, что оно существует. Поэтому нужно проверить, что выражение (68) действительно является решением, т. е. удовлетворяет (67). Для этого подставим (68) в уравнение (67). В силу равномерной сходимости ряда (72), его можно интегрировать почленно. Получим:
„Ž
= |
+ |
|
|
∞ |
|
|
= + 2 |
|
∞ |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
− |
|
|
X |
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
∞ |
|
|
|
+ 2 |
∞ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
X |
|
X |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
X „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ž |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
= − . |
(74) |
||||||||||
= =1 |
|
+ |
( |
|
|
|
) |
|
= =1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
что и требовалось проверить. Таким образом, доказано, что решение уравнения (67) существует и определяется выражением (67).
-81-
Убедимся, что решение единственно. Действительно, пусть имеются два решения уравнения (67) и ¯( ) — их разность. Тогда ¯( ) удовлетворяет однородному уравнению
¯ = ¯.
По предположению, не совпадает ни с одним характеристическим числом ядра ( , ), а тогда однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение. Отсюда, ¯( ) ≡ 0, а значит, решение (67) единственно. 
III.5.4. Связь с краевой задачей |
|
|
|
Теорема III. 20. |
|
i |
|
Пусть ( ) > 0 > 0 и ( ) 1h , i, ( ) h , |
– заданные |
||
функции, и однородная задача |
|
|
|
[ ] = ( ) ′( ) ′ − ( ) = 0, |
|
(75) |
|
|
Γ [ ] = 0, |
|
(76) |
|
Γ [ ] = 0, |
|
(77) |
не имеет других решений, кроме тождественного нуля. |
|
|
|
Тогда задача Штурма–Лиувилля |
|
|
|
( ) ′( ) ′ − ( ) = + ( ), |
|
(78) |
|
|
Γ [ ] = 0, |
|
(76) |
|
Γ [ ] = 0 |
|
(77) |
эквивалентна интегральному уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
( ) = Z |
( , ) ( ) + ( ), |
|
(79) |
где ( , ) – функция Грина задачи (75) – (77), а
Z
( ) = ( , ) ( ) ,
т.е. ( ) является собственной функцией задачи (78), (76), (77), соответствующей характеристическому числу , тогда и только тогда, когда ( ) является собственной функцией уравнения (79), соответствующей характеристическому числу .
-82-
III.5. Уравнения Фредгольма с симметричным ядром
Доказательство.
По теореме Гильберта III. 11 существует функция Грина задачи (75) – (77), причём решение задачи (78), (76), (77), если правую часть
˜
( ) = + ( )
рассматривать как известную функцию, представляется в виде:
|
|
|
( ) = Z |
( , )˜( ) , |
(80) |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
Z |
Z |
Z |
( ) = |
( , ) ( ) + ( ) |
= |
( , ) ( ) + |
( , ) ( ) . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
= {z( ) |
||||
Итак, пара ( ), есть собственная функция задачи (78), (76), (77) и соответствующее ему характеристическое число тогда и только тогда,
когда пара ( ), есть собственная функция уравнения (79) и соответствующее ему характеристическое число. 
Замечание III. 1. Напомним, что функция Грина всегда симметрична, поэтому получаемое интегральное уравнение
Z
( ) = ( , ) ( ) + ( )
есть уравнение с симметричным ядром.
-83-
Литература
[1]Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения// М., Физматлит, 2004.
[2]Краснов М. Л. Интеграальные уравнения. Введение в теорию// М., «Наука», 1975.
[3]Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II, М., Наука – Физматлит, 2000г.
[4]Д. С. Ткаченко. Лекции по Дифференциальным Уравнениям для К-5. Третья часть. Интегральные уравнения., 2009г. https://tkachenko-mephi.narod.ru/
85