Глава II.

Ряды Фурье

II.1. Общее понятие ряда Фурье

II.1.1. Определения

Опр. II. 1. Назовем рядом Фурье элемента по ортонормированной си-

стеме { } ряд вида

∞

X

=1

в котором через обозначены постоянные числа, называемые коэффициентами Фурье элемента и определяемые равенствами

Естественно назвать конечную сумму

-й частичной суммой ряда Фурье (1).

Рассмотрим наряду с -й частичной суммой (2) произвольную линейную комбинацию первых элементов ортонормированной системы { }:

X

=1

с произвольными постоянными числами 1, 2, . . . , .

Выясним, что отличает -ю частичную сумму ряда Фурье (2) от всех других сумм (3).

Договоримся называть величину ‖ − ‖ отклонением от (по норме данного евклидова пространства).

Имеет место следующая основная теорема.

21

Теорема II. 1. Среди всех сумм вида (3) наименьшее отклонение от элемента по норме данного евклидова пространства имеет -я частичная сумма (2) ряда Фурье элемента .

Доказательство. Учитывая ортонормированность системы { } и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать:

норме данного евклидова пространства). Из вида правой части (4), следует, что указанный квадрат отклонения является наименьшим при = (ибо при этом первая сумма в правой части (4) обращается в нуль, а остальные слагаемые в правой части (4) от не зависят). Теорема доказана.

Следствие 1. Для произвольного элемента данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы { } при произвольном выборе постоянных для любого номера справедливо неравенство

Неравенство (5) является непосредственным следствием тождества (4).

Следствие 2. Для произвольного элемента данного евклидова пространства, любой ортонормированной системы { } и любого номера справедливо равенство

часто называемое тождеством Бесселя.

-22-

II.1. Общее понятие ряда Фурье

Для доказательства равенства (6) достаточно положить в (4) = .

Теорема II. 2. Для любого элемента данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы { } справедливо следующее неравенство:

называемое неравенством Бесселя.

Доказательство. Из неотрицательности левой части (6) следует, что для любого номера

II.1.2. Замкнутые и полные ортонормированные системы

Опр. II. 2. Ортонормированная система { }, заданная в евклидовом пространстве называется замкнутой, если

> 0 , { , = 1, .., } ‖ − P =1 ‖ <

Иными словами, система { } называется замкнутой, если любой элемент данного евклидова пространства можно приблизить по норме этого пространства с любой степенью точности линейными комбинациями конечного числа элементов { }.

Теорема II. 3. Если ортонормированная система { } является замкнутой, то для любого элемента рассматриваемого евклидова пространства неравенство Бесселя (7) переходит в точное равенство

называемое равенством Парсеваля.

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент рассматриваемого евклидова пространства и произвольное положительное число . Так как система { } является замкнутой, то найдётся такой номер и такие числа 1, 2, . . . , , что квадрат нормы, стоящий в правой части (5), будет меньше . В силу (5) это означает, что для произвольного > 0 найдётся номер , для которого

-23-

Для всех номеров, превосходящих указанный номер , неравенство (10) будет тем более справедливо, ибо при возрастании сумма, стоящая в левой части (10), может только возрасти. В соединении с неравенством (8) это дает доказательство утверждения (9).

Теорема II. 4. Если ортонормированная система { } является замкнутой, то, каков бы ни был элемент , ряд Фурье этого элемента сходится к нему по норме рассматриваемого евклидова пространства, т. е.

Доказательство. Утверждение этой теоремы непосредственно вытекает из равенства (6) и из предыдущей теоремы.

Опр. II. 3. Ортонормированная система { } называется полной, если, кроме нулевого элемента, не существует никакого другого элемента данного евклидова пространства, который был бы ортогонален ко всем элементам системы { }.

Теорема II. 5. Всякая замкнутая ортонормированная система { } является полной.

Доказательство. Пусть система { } является замкнутой, и пусть — любой элемент данного евклидова пространства, ортогональный ко всем элементам системы { }.

Тогда все коэффициенты Фурье элемента по системе { } равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (9) ‖ ‖ = 0. Последнее равенство (в силу аксиомы 1 для нормы) означает, что = 0.

-24-

II.1. Общее понятие ряда Фурье

II.1.3. Понятие периодической функции

В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции.

Опр. II. 4. Функция ( ) называется Т -периодической функцией с периодом Т, если:

Свертка периодических функций

Опр. II. 5. Сверткой двух -периодических и абсолютно интегрируемых на отрезке [0, ] функций и называется функция:

Утверждение II. 2. Cвойства свертки для -периодических функций:

1)* ( ) также является -периодической функцией.

2)* ( ) = * ( )

Доказательство.

3)если ( ) непрерывная, то * ( ) также является непрерывной функцией.

Доказательство. = R | ( )| = , так как ( ) непрерывна, то

0

, ′ : (| − ′| < ) | ( ′) − ( )| 6

-25-

Опр. II. 6. Последовательность -периодических функций называется-образной последовательностью, если:

1) > 0

Утверждение II. 3. Если (R) и -периодическая, — -образная последовательность -периодических функций, то Доказательство. = | ( )| <

ZZ

-26-

II.2. Тригонометрические системы

II.2. Тригонометрические системы

II.2.1. Понятие тригонометрической системы

Классическим примером ортонормированной системы в пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте − 6 6 функций является так называемая тригонометрическая система:

Легко проверить, что все функции (13) попарно ортогональны и что норма каждой из этих функций равна единице.

Ряд Фурье по тригонометрической системе (13) принято называть тригонометрическим рядом Фурье. Для любой кусочно-непрерывной на сегменте − 6 6 функции ( ) указанный ряд Фурье имеет вид

-27-

Замечание. Из неравенства Бесселя (16) вытекает, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте − 6 6 функции ( ) величиныи (называемые тригонометрическими коэффициентами Фурье функции ( )), стремятся к нулю при → ∞ (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (16)).

Обобщение на интервал произвольной длины

При решении ряда конкретных задач приходится раскладывать функцию в тригонометрический ряд Фурье не на сегменте [− , ], а на сегменте [− , ], где — произвольное положительное число. Для перехода к такому случаю достаточно во всех проведённых выше рассуждениях заменить переменную на . При этом прийдем к тригонометрическому ряду Фурье вида:

Все последующие рассуждения будут справедливы и для такой системы, при этом сегмент [− , ] следует заменить сегментом [− , ], а период 2 — периодом 2 .

II.2.2. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее

Будет установлена замкнутость (а стало быть, и полнота) тригонометрической системы (13) в пространстве всех кусочно-непрерывных функций.

Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами.

Теорема II. 6. (теорема Вейерштрасса). Если функция ( ) [− , ] и удовлетворяет условию (− ) = ( ), то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами.

-28-

II.2. Тригонометрические системы

Чтобы доказать, что ( ) — -образная последовательность убедимся в стремлении к 0 следующего интеграла:

Здесь cos 2 < 1, поэтому числитель в оценке (20) → 0 при → ∞. Заметим, однако, что и знаменатель в правой части (20) → 0. Оценим скорость его стремления к 0:

Отсюда правая часть (20) → 0.

Используем тригонометрическое тождество:

Тогда:

Это — тригонометрический многочлен степени .

Теорема II. 7. Тригонометрическая система (13) является замкнутой в [− , ], т. е. ( ) [− , ] и > 0 найдётся тригонометрический многочлен ( ) такой, что

-29-

Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте [− , ] функции ( ) и для любого > 0 найдётся непрерывная на этом сегменте функция ( ), удовлетворяющая условию (− ) = ( )

и такая, что

Í

‖ ( ) − ( )‖ = Z [ ( ) − ( )]2 < 2. (22)

−

В самом деле, достаточно взять функцию ( ) совпадающей с ( ) всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции ( ) и точки = , а в указанных окрестностях взять ( ) линейной функцией так, чтобы ( ) являлась непрерывной на всём сегменте [− , ] и удовлетворяла условию (− ) = ( ).

Так как кусочно-непрерывная функция и срезающая её линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва ( ) и точки = достаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (22).

По теореме Вейерштрасса (II. 6) для функции ( ) найдётся тригонометрический многочлен ( ) такой, что для всех из сегмента [− , ] справедливо неравенство

−

неравенства треугольника для норм

‖ ( ) − ( )‖ 6 ‖ ( ) − ( )‖ + ‖ ( ) − ( )‖

вытекает неравенство (21).

Следствия замкнутости тригонометрической системы

Следствие 1. ( ) [− , ] справедливо равенство Парсеваля:

(вытекает из теоремы II. 3)

-30-