ДИУ_Фролов_ОТЛ

III.2. Метод последовательных приближений

hi

В пространстве функций , естественна норма

h i h i

а в , × , , соответственно

Тогда норма интегрального оператора (9) в соответствиит с Определением I. 13 записывается как

hi

При этом, в силу неравенства

откуда

III.2.2. Теорема существования и единственности для уравнения Фредгольма II-го рода

Рассмотрим уравнение Фредгольма II-го рода (1):

hi

Теорема III. 1. Пусть ( ) , , а ( , ) непрерывна в квадрате

n h i h io

= , , × ,

Тогда при условии

существует и притом единственное решение уравнения (1), это решение непрерывно и может быть получено методом последовательных приближений.

Доказательство. Обозначим

-51-

Будем рассматривать правую часть уравнения (1) как оператор , определённый в пространстве [ , ]:

Z

≡ ( , ) ( ) + ( ). (12)

Всякую функцию ( ) [ , ] оператор переводит в функцию ˜( ), определённую на том же отрезке [ , ]. Вопрос о существовании решения*( ) интегрального уравнения (1) тем самым сводится к вопросу о наличии неподвижной точки у оператора , т. е. такой функции *( ), которая оператором переводится в себя:

что и доказывает непрерывность функции ( ) в любой точке отрезка

[ , ].

-52-

III.2. Метод последовательных приближений

Итак, [ , ] −→ [ , ]. Выясним теперь, при каких условиях операторбудет сжимающим. Имеем

Вспоминая, что

max | 1( ) − 2( )| = ( 1, 2),

6 6

неравенству (16) придадим следующий вид:

( 1, 2) 6 | | ( − ) ( 1, 2),

откуда видно, что при | | < 1/ ( − ) оператор будет оператором сжатия.

Из принципа сжатых отображений заключаем, что для всякого такого, что выполняется (11), уравнение Фредгольма (1) с непрерывным ядром( , ) и непрерывным свободным членом ( ) имеет единственное непрерывное решение.

Последовательные приближения 0( ), . . . , ( ), . . . к этому решению определяются из соотношений

где в качестве 0( ) можно взять любую непрерывную на [ , ] функцию.

-53-

III.2.3. Резольвента для уравнения Фредгольма II-го рода

Обозначим через интегральный оператор Фредгольма (9): Выведем

Учитывая (18), равенство (20) переписывается в виде

∞Z

-54-

III.2. Метод последовательных приближений

можно менять местами интегрирование и суммирование:

∞ Z

Z ∞

=( ) + ( ) X −1 , .

=1

то для решения (21) уравнения (1) при условии < 1 имеем представ-

ление:

Функция , , , заданная формулой (22), называется резольвентой интегрального уравнения Фредгольма II-го рода.

III.2.4. Однозначная разрешимость уравнения Вольтерры II-го рода

Рассмотрим уравнение Вольтерры II-го рода (3)

Тогда существует и притом единственное решение уравнения (3), это решение непрерывно и может быть получено методом последовательных приближений.

-55-

Повторив рассуждения Теоремы III. 1, нетрудно установить, что

[ , ] −→ [ , ].

Покажем, что — непрерывный оператор. Пусть 1( ), 2( ) — любые

Согласно определению, это и означает, что оператор есть непрерыв-

При любом значении число можно выбрать настолько большим, что

| | ( − ) < 1.!

-56-

III.2. Метод последовательных приближений

Следовательно, оператор будет сжимающим при достаточно большом

.

В силу теоремы I. 6 отсюда заключаем, что сам оператор имеет единственную неподвижную точку, и, значит, уравнение Вольтерра (3) при любом имеет, и притом единственное, решение.

Это решение может быть найдено методом последовательных приближений.

III.2.5. Резольвента для уравнения Вольтерры II-го рода

-57-

Учитывая (29), равенство (32) переписывается в виде

∞Z

Поскольку в доказательстве теоремы III. 2 было получено, что

видно, что ряд (33) сходится равномерно при любом значении параметра и сумма его есть непрерывная функция , и в нём можно менять местами интегрирование и суммирование:

∞Z

Функция , , , заданная формулой (34), называется резольвентой интегрального уравнения Вольтерры II-го рода.

III.2.6. Связь уравнения Вольтерры с задачей Коши

-58-

III.2. Метод последовательных приближений

h i h i

1( ) 1 0, 1 , ( ) 1 0, 1 , 0 = ( 0).

Тогда уравнение Вольтерры II-го рода

Z

( ) = ( , ) ( ) + ( )

0

эквивалентно задаче Коши

8

< ′( ) + ( ) ( ) = ( ),

(36)

: ( 0) = 0.

Доказательство. Проинтегрировав уравнение (36) ′ = − ( ) + ( ), получим с учётом начального условия

Z

( ) = ( , ) ( ) + ( ).

Z

( ) = ( , ) ( ) + ( )

имеет место эквивалентность уравнения Вольтерры II-го рода и задачи Коши для линейного ОДУ первого порядка.

-59-

III.3. Альтернатива Фредгольма

III.3.1. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма II-го рода:

где обозначено *( , ) = ( , ). Уравнение (40) называется сопряженным или союзным уравнению (39).

Опр. III. 4. Ядро ( , ) называется вырожденным, если оно представимо в виде конечной суммы произведений функций, зависящих только от, на функции, зависящих только от :

Пусть ( ), ( ) [ , ]; система функций 1( ), . . . , ( ) линейно независима и система 1( ), . . . , ( ) линейно независима (ЛН).

Замечание. Если система функций { ( )} =1 линейно зависима или { ( )} =1 линейно зависима (ЛЗ), то можно ( , ) преобразовать к виду:

Лемма III. 1 (об эквивалентности).

hi

Пусть ( ), ( ), ( ) , , ̸= 0.

Тогда уравнение Фредгольма II-го рода (38) с вырожденным ядром вида (41) эквивалентно СЛАУ, т.е. имеют место следующие утверждения:

1) Всякое решение ( ) уравнения (38) представимо в виде

-60-