ДИУ_Фролов_ОТЛ

III.3. Альтернатива Фредгольма

2)Наоборот, всякому решению СЛАУ (43) с коэффициентами (44) соответствует решение ( ) уравнения (38) вида (42).

Доказательство. Перенесём интегральное слагаемое в уравнении (38) в правую часть и учтём вид вырожденного ядра. Получим

Таким образом, равенство (42) получено. Чтобы найти числа , поменяем в этом равенстве на , а индекс суммирования на и подставим его в каждое из равенств

Z

= ( ) ( ) .

Получим

или, короче,

-61-

Записав последнее равенство в матричном виде, получим (43). Проведённые выкладки означают, что если ( ) – решение (38), то

его можно записать в виде (42), причём где являются решением СЛАУ (43) с коэффициентами (44). Иначе говоря, выполняется утвер-

ждение 1) леммы.

С другой стороны, вычислив по заданному ядру ( , ) = P ( ) ( )

=1

коэффициенты (44), мы можем обратить все выкладки и прийти к выводу, что функция ( ), вычисленная по формуле (42), обязана удовлетворять уравнению (38). Иными словами, выполняется утверждение 2) леммы.

Связь образа оператора и ядра сопряженного к нему в евклидовом пространстве

Систему уравнений (43) можно переписать в виде

или в матричной форме как

Будем рассматривать оператор ( ) как действующий в евклидовом пространстве = R со скалярным произведением для , R :

( , ) = P .

=1

Сопряженный к оператору оператор * удовлетворяет соотношению

( , ) = ( * , ).

Для анализа условий разрешимости полученных СЛАУ необходимо доказать следующую лемму.

Лемма III. 2. Пусть — линейный оператор в евклидовом пространстве (dim = ). Тогда образ оператора совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного оператора *:

Im = (ker *) .

Доказательство. По определениям:

Im * : = * ,

ker = 0,

( , ) = 0,

-62-

Im * ker Im * (ker ) .

Так как = ker (ker ) , то

dim(ker ) = − dim ker = , где = rang .

Далее, dim Im * = dim Im = rang = (из рассмотрения матриц этих операторов в базисе).

Следовательно, Im * — подпространство (ker ) той же размерности

Im * = (ker ) .

Рассмотрим доказанное утверждение.

Для оператора *. Поучаем Im( *)* = (ker *) , т.е. утверждение лем-

мы.

Следствие. Im ker *.

Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра

Исследуем разрешимость полученных СЛАУ. Возможны два случая:

(*1) det ( ) ̸= 0 не является характеристическим числом (39).

Теорема III. 4. — Первая теорема Фредгольма.

Если не является характеристическим числом, то интегральное уравнение (38) имеет единственное решение при любом свободном члене

Замечание. В этом случае однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Действительно

det ( ) ̸= 0 ! решение СЛАУ ( ) = 0; = 0 ! ( ) = 0 —

решение (39) не является характеристическим числом (39).

(*2) det ( ) = 0, является характеристическим числом (39).

-63-

Теорема III. 5. — Вотрая теорема Фредгольма.

Если есть характеристическое число ядра ( , ), то однородное интегральное уравнение (39) и сопряженное с ним уравнение (40) имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций.

Доказательство. det ( ) = 0 = rang ( ) <

ФСР СЛАУ ( ) = 0 : 1, . . . , − ,

( − ) ЛН решений (39): 1( ), . . . , − ( ) — собственные функции характеристического числа для (39).

( − ) ЛН решений (40): 1( ), . . . , − ( ) — собственные функции характеристического числа для (40) вида

Теорема III. 6. — Третья теорема Фредгольма.

Неоднородное интегральное уравнение (38) с вырожденным ядром при характеристическом числе будет разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член ( ) будет ортогонален ко всем решениям сопря-

„Ž

| {z }

= ( )

-64-

III.3. Альтернатива Фредгольма

Замечание При выполнении условий данной теоремы уравнение (38) имеет бесконечно много решений

1( ) - частное решение неоднородного уравнения, ( ) - собственные функции однородного уравнения, - произвольные константы.

Как следствие из доказанных теорем вытекает важная

Теорема III. 7. Теорема об альтернативе.

-Если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение.

-Если же однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение в зависимости от свободного члена ( ) либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений.

III.3.2. Альтернатива Фредгольма. Общий случай

Перейдём теперь к общему случаю непрерывного ядра. Оказывается, что для каждого фиксированного неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с невырожденным ядром можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром.

Теорема III. 8. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода (38) с невырожденным ядром ( , ) ([ , ] × [ , ]) при фиксированном можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром.

Доказательство. Для любого > 0 ядро интегрального уравнения можно представить в виде суммы:

( , ) = ( , ) + ( , ),

где

( )

X

( , ) = ( ) ( )

=1

-65-

— вырожденное ядро, ( , ) — невырожденное ядро такое, что

Аппроксимировать ядро вырожденным с любой заданной точностью можно потому, что теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной полиномами функции на отрезке может быть распространена до утверждения о равномерной аппроксимации непрерывной по совокупности переменных функции на квадрате [ , ] ×[ , ] полиномами, зависящими от

двух переменных:

( , ) = X .

+ 6

Вернёмся к интегральному уравнению и запишем его в виде:

= + + ,

где — интегральный оператор с вырожденным ядром ( , ), а — интегральный оператор с невырожденным ядром ( , ).

Будем считать, что фиксировано, и перепишем уравнение в виде:

( − ) = + .

Если по заданному выберем > 0 так, чтобы

1

| | < ( − ),

то станет «малым» для оператора , и оператор ( − ) будет обра-

тимым:

( − )−1 = + ,

где — интегральный оператор с ядром ( , , ). Введём новую функцию:

( − ) = .

В силу обратимости оператора ( − ) имеет место взаимно однозначное соответствие: ↔ . Отсюда:

= ( + ) + .

Ядро интегрального оператора + вырождено, так как ядро оператора вырождено, и

-66-

III.4. Функция Грина краевой задачи

Тем самым, мы показали, что любому интегральному уравнению с невырожденным ядром эквивалентно некоторое интегральное уравнение с вырожденным ядром.

Замечание. Все доказанные для случая вырожденного ядра теоремы Фредгольма будут верны и для случая, когда ( , ) — непрерывная функция по совокупности переменных на [ , ]×[ , ]; ( ), ( ) — непрерывные на [ , ] функции.

III.4. Функция Грина краевой задачи

3)при любом фиксированном ( , ) первая производная ′( , ) имеет в точке = разрыв первого рода, причём

4)при любом фиксированном ( , ) функция ( , ) удовлетворяет краевым условиям (50) – (51) по :

-67-

(51) не имеет других решений, кроме тождественного нуля. Тогда существует функция Грина краевой задачи (49) – (51).

Доказательство.

Сначала построим функцию ( , ), а потом убедимся, что она удовлетворяет всем пунктам определения III. 5.

n o

Шаг 1. Для начала найдём ФСР ( ), ( ) уравнения (49) такую, чтобы

h i h i

Γ = 0, Γ = 0. (52)

Начальные данные здесь подобраны так, чтобы были выполнены условия (52).

По Теореме существования и единственности решения задачи Коши для однородного линейного уравнения так как все коэффициенты уравнения непрерывны, а старший ещё и отделён от нуля ( ( ) > 0 > 0), то при любых начальных данных решение каждой задачи существует и притом единственно. Назовём их ( ) и ( ).

Итак, есть пара решений уравнения L[ ] = 0, удовлетворяющие каждое своему КУ.

Убедимся, что пара , образует ФСР – максимальную линейно независимую систему решений уравнения (49). Поскольку (49) – уравнение второго порядка, его ФСР должна состоять из двух решений. Поэтому осталось проверить их линейную независимость. Предположим противное: они линейно зависимы, т.е. R : = (либо = ). Тогда функция (либо, соответственно, ) удовлетворяет обоим КУ и, следовательно, является решением однородной краевой задачи. По условию это

-68-

III.4. Функция Грина краевой задачи

означает, что ≡ 0, что невозможно, так как мы её строили как решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным данным

Полученное противоречие гарантирует линейную независимость и .

Шаг 2. Строим функцию Грина.

Пусть

no

Вронскиан пары функций ( ), ( ) .

Согласно формуле Остроградского–Лиувилля, Вронскиан двух решенийи уравнения

0( ) ′′ + 1( ) ′ + 2( ) = 0

равен выражению:

-69-

Проверим теперь выполнение для функции (54) условий 1) – 4) из определения III. 5.

выражение непрерывно и даже дважды непрерывно дифференци-

3)При любом фиксированном ( , ) первая производная ′( , ) имеет в точке = разрыв первого рода, причём

4)При любом фиксированном ( , ) функция ( , ) удовлетворяет краевым условиям (50) – (51) по :

III.4.2. Единственность функции Грина

Теорема III. 10. Пусть ( ) > 0 > 0 и ( ) – заданные функции,

h i h i

1 , , , , и однородная (т.е. при ( ) ≡ 0) задача (49) – (51) не имеет других решений, кроме тождественного нуля.

Тогда не может быть двух разных функций Грина ( , ) и ( , ) краевой задачи (49) – (51).

-70-