Фролов_Вопросы_по_ДиИУ_2026-2

Вопросы к экзамену по курсу

"Дифференциальные и интегральные уравнения"

лектор Фролов И.В., 2026 г.

02.06.2026

Понятия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решения системы ОДУ. Примеры устойчивого и неустойчивого решений.

Автономные системы. Свойства траекторий автономных систем (формулировки).

Сведение исследования устойчивости решения к исследованию устойчивости нулевого решения.

Критерий устойчивости решений линейной неоднородной системы.

Определения фундаментальной матрицы и матрицы Коши линейной системы ОДУ

Лемма об оценке элементов матрицы Коши

Теорема об устойчивости линейной однородной системы ОДУ с постоянными коэффициентами.

Устойчивые многочлены. Необходимое условие устойчивости.

Критерий Рауса–Гурвица (формулировка).

Понятие производной функции в силу системы ОДУ.

Исследование устойчивости с помощью функции Ляпунова.

Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости. Пример.

Теорема Четаева о неустойчивости. Пример.

Теорема Ляпунова об исследовании устойчивости по первому приближению (формулировка).

Классификация фазовых портретов систем двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Поведение фазовых линий вблизи точек покоя.

Первые интегралы системы ОДУ. (формулировки).

Критерий первого интеграла.

Теорема о существовании независимых первых интегралов.

Теорема о функции от первых интегралов

Уравнения с частными производными первого порядка (формулировка). .

Линейное однородное УЧП и характеристическая система ОДУ.

Свойства решений линейного однородного УЧП. Теорема о представлении общего решения.

Задача Коши для линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка. Теорема существования и единственности решения.

Метрические и нормированные пространств. Определения. Примеры

Определения сходящейся и фундаментальной последовательностей точек в МП

Бесконечномерное евклидово пространство. Неравенство Коши–Буняковского. Пример.

Ортонормированная система. Пример. Понятие общего ряда Фурье.

Теорема о наименьшем отклонении от элемента частичной суммы его ряда Фурье. Тождество Бесселя. Неравенство Бесселя.

Замкнутая ортонормированная система (ОНС). Теоремы о равенстве Парсеваля и сходимости ряда Фурье для замкнутой ОНС.

Полная ОНС. Теоремы о полноте замкнутой ОНС и об однозначности представления элемента его рядом Фурье.

Свертка двух периодических функций. Свойства

𝛿-образная последовательность. Лемма о свертке

Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами. Теорема Вейерштрасса.

Определение тригонометрической системы .

Теорема о замкнутости тригонометрической системы в евклидовом пространстве кусочно непрерывных функций на [−π, π] и её следствия.

Ядро Дирихле Вывод интегрального представления частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.

Принцип локализации. Лемма Римана (формулировка) и ее следствие

Сумма Фейера. Вывод её интегрального представления. Свойства ядра Фейера. Теорема Фейера.

Теорема о простейших достаточных условиях равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Достаточное условия почленного дифференцирования ряда Фурье

Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье

Интеграл Фурье (формальный вывод). Теорема о представлении функции интегралом Фурье (формулировка).

Преобразование Фурье. Взаимосвязь между преобразованием Фурье и интегралом Фурье

Полное нормированное пространство. Примеры полного и неполного нормированных пространств функций, непрерывных на отрезке.

Линейные операторы в нормированном пространстве. Определение и свойства нормы.

Теорема о существовании обратного к оператору (I-A)

Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

Классификация линейных интегральных уравнений.

Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра.

Теорема о представлении решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с помощью резольвенты при малых значениях параметра.

Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Вольтерры второго рода.

Теорема о представлении решения интегрального уравнения Вольтерры второго рода с помощью резольвенты.

Теорема о связи уравнения Вольтерры с задачей Коши

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром и их эквивалентность системам линейных алгебраических уравнений.

Теорема об эквивалентности интегрального уравнения Фредгольма второго рода с невырожденным ядром уравнению с вырожденным ядром при фиксированном значении параметра.

Теоремы Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.

Краевая задача для линейного ОДУ второго порядка. Функция Грина краевой задачи. Теорема о существовании функции Грина.

Теорема о представлении решения краевой задачи с помощью функции Грина.

Свойства характеристических чисел, собственных значений и собственных функций интегрального оператора Фредгольма с непрерывным симметричным ядром.

Теорема Гильберта-Шмидта.

Теорема о представление решения соответствующего неоднородного уравнения второго рода рядом Фурье по ОНС собственных функций.

Теорема о связи интегрального уравнения Фредгольма II рода с краевой задачей (формулировка).