ДИУ_Фролов_ОТЛ

II.2. Тригонометрические системы

Следствие 2. ( ) [− , ] тригонометрический ряд Фурье сходится к этой функции на указанном сегменте в среднем (вытекает из теоремы II. 4).

Доказательство. Учитывая равномерную сходимость последовасти ( )

к ( ) имеем

√

| ( ) − ( )| 6 / 2 ‖ ( ) − ( )‖ 6

Согласно Теореме II. 1 cреди всех сумм вида ( ) наименьшее отклонение от элемента по норме евклидова пространства имеет -я частичная суммаряда Фурье. Тогда ‖ ( ) − ( )‖ 6 ‖ ( ) − ( )‖ 6 .

Следствие 3. ( ) [− , ] ee тригонометрический ряд Фурье можно почленно интегрировать на этом сегменте

В математическом анализе доказывается теорема: eсли последовательность { ( )} сходится в среднем на сегменте [ , ] к функции ( ), то эту последовательность можно почленно интегрировать на сегменте [ , ].

Следствие 4. Если тригонометрический ряд Фурье функции ( ) [− , ] сходится равномерно на некотором содержащемся в [− , ] сегменте [ , ], то он сходится на сегменте [ , ] именно к функции ( ).

Доказательство. Пусть ( ) — та функция, к которой сходится равномерно на [ , ] тригонометрический ряд Фурье функции ( ). Докажем, что ( ) ≡ ( ) всюду на сегменте [ , ].

Так как из равномерной сходимости на сегменте [ , ] вытекает сходимость в среднем на этом сегменте, то тригонометрический ряд Фурье функции ( ) сходится к функции ( ) на сегменте [ , ] в среднем. Это означает, что для произвольного > 0 найдётся номер 1, начиная с которого-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье ( ) удовлетворяет неравенству

С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность ( ) сходится к ( ) в среднем на всём сегменте [− , ], а стало быть, и на сегменте [ , ], т. е. для фиксированного нами произвольного > 0 найдётся номер2, начиная с которого

-31-

Из (26) и (27) и из неравенства треугольника

‖ ( ) − ( )‖ 6 ‖ ( ) − ( )‖ + ‖ ( ) − ( )‖

вытекает, что ‖ ( ) − ( )‖ < . Из последнего неравенства и из произвольности > 0 следует, что ‖ ( ) − ( )‖ = 0, а отсюда, на основании первой аксиомы для нормы, заключаем, что ( ) − ( ) есть нулевой элемент пространства кусочно-непрерывных на [ , ] функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте [ , ].

Следствие 5. Тригонометрическая система (13) является полной.

ВытекаетИз из теорем II. 7 и II. 5

Следствие 6. (Разложение по синусам и по косинусам.) Cистема

является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерывных на сегменте [0, ].

Доказательство. В самом деле, всякая кусочно-непрерывная на сегменте [0, ] функция ( ), ортогональная на этом сегменте всем элементам системы (28) после нечётного продолжения на сегмент [− , 0] оказывается ортогональной на сегменте [− , ] всем элементам тригонометрической системы (13). В силу полноты системы (13) эта функция равна нулю на [− , ], а стало быть, и на [0, ].

Совершенно аналогично доказывается, что система

является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерывных на сегменте [0, ].

II.2.3. Простейшие условия сходимости и дифференцируемости тригонометрического ряда Фурье

Опр. II. 7. Будем говорить, что функция ( ) имеет на сегменте [ , ]

кусочно-непрерывную производную, если производная ′( ) существует и непрерывна всюду на сегменте [ , ], за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция ′( ) имеет конечные правое и левое предельные значения.

-32-

II.2. Тригонометрические системы

Опр. II. 8. Будем говорить, что функция ( ) имеет на сегменте [ , ]

кусочно-непрерывную производную порядка > 1, если функция ( −1)( )

имеет на этом сегменте кусочно-непрерывную производную в смысле определения II. 7.

Теорема II. 8. Если функция ( ) непрерывна на сегменте [− , ], имеет на этом сегменте кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условию (− ) = ( ), то тригонометрический ряд Фурье функции ( ) сходится к этой функции равномерно на сегменте [− , ].

Доказательство. Достаточно доказать, что ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции ( ),

сходится равномерно на сегменте [− , ], ибо отсюда будет вытекать равномерная на сегменте [− , ] сходимость самого ряда.

В силу признака Вейерштрасса для доказательства равномерной на сегменте [− , ] сходимости ряда (29) достаточно доказать сходимость мажорирующего его числового ряда

Обозначим через и тригонометрические коэффициенты Фурье функции ′( ), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производная функции ( ).

Производя интегрирование по частям и учитывая, что функция ( ) непрерывна на всём сегменте [− , ] и удовлетворяет соотношениям (− ) = ( ), мы получим следующие соотношения, связывающие тригонометрические коэффициенты Фурье функции ′( ) и самой функции ( )2:

-33-

и для доказательства сходимости ряда (30) достаточно доказать сходимость ряда

и из сходимости рядов

первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочнонепрерывной функции ′( ), а второй — в силу интегрального признака Коши–Маклорена.

Теорема II. 9. Пусть функция ( ) и её производная непрерывны на сегменте [− , ] и удовлетворяют условиям: (− ) = ( ), ′(− ) = ′( ).

Пусть, кроме того, функция ( ) имеет на сегменте [− , ] кусочнонепрерывную производную 2 порядка.

Тогда тригонометрический ряд Фурье функции ( ) можно почленно дифференцировать на сегменте [− , ].

Доказательство. В результате почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье функции ( ) получается ряд

Для всех из сегмента [− , ] этот ряд Фурье, мажорируется сходящимся числовым рядом

и по признаку Вейерштрасса сходится равномерно на сегменте [− , ], а это обеспечивает возможность почленного дифференцирования исходного ряда Фурье. Доказательство сходимости ряда (32) полностью аналогично доказательству сходимости ряда (30), приведенное в Теореме II. 8.

-34-

II.2. Тригонометрические системы

II.2.4. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.

Пусть ( ) — произвольная кусочно-гладкая на сегменте [− , ] функция. Эту функцию мы периодически (с периодом 2 ) продолжим на всю бесконечную прямую.

Обозначим через ( , ) частичную сумму тригонометрического ряда Фурье функции ( ) в точке , равную

Утверждение II. 4. Частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции ( ) может быть выражена формулой

Доказательство. Вставляя в правую часть (34) значения коэффициентов Фурье :

1 Z

0 = − ( ) ,

и учитывая линейные свойства интеграла, мы получим, что для любой точки бесконечной прямой

Заметим при этом, что каждая из функций ( ) и ( ) является периодической функцией переменной с периодом 2 . Вычислим сумму (37). Для

-35-

этого заметим, что для любого номера и любого значения справедливо

равенство:

2 sin 2 cos = sin + 12! − sin − 12! .

Суммируя это равенство по всем номерам , равным 1, 2, . . . , , получим:

В результате получаем формулу (37). cправедливое в любой точке бесконечной прямой.

Замечание. Из формулы (35) и из того, что все частичные суммы( , 1) функции ( ) ≡ 1 равны единице, вытекает следующее равенство:

Рис. II. 1.. Ядро Дирихле при n=7, n=21

-36-

II.2. Тригонометрические системы

II.2.5. Принцип локализации.

Покажем, что вопрос о сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно-непрерывной функции ( ) в данной точке 0, решается лишь на основании поведения функции ( ) в малой окрестности этой точки.

Лемма II. 1. Если каждая из функций ( ) и ( ) периодична с периодом 2 , ( ) непрерывна на всей числовой оси, а ( ) кусочно-непрерывна на сегменте [− , ], то тригонометрические коэффициенты Фурье функции( , ) = ( − ) ( ) при разложении её по переменной

сходятся к нулю (при → ∞) равномерно относительно на сегменте [− , ] (а стало быть, и на всей бесконечной прямой).

Доказательство. Для любой фиксированной точки сегмента [− , ] функция ( , ) = ( − ) ( ) является кусочно-непрерывной функцией аргумента на сегменте [− , ], и, стало быть, для этой функции справедливо равенство Парсеваля:

Из равенства (42) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке сегмента [− , ] и сходимость к нулю коэффициентов (40).

Указанный ряд (42) состоит из неотрицательных членов, непрерывны каждая функция ( ) и ( ), а также сумма ряда, стоящая в правой части (42) (как свертка непрерывной и кусочнонепрерывной функций). В силу теоремы Дини сходимость ряда будет равномерной. Необходимым условием равномерной сходимости ряда является равномерная сходимость к нулю его коэффициентов.

Лемма II. 2. (Риман). Если функция ( )

∙кусочно-непрерывна на сегменте [− , ]

∙периодически (с периодом 2 ) продолжена на всю бесконечную прямую,

-37-

∙ обращается в нуль на некотором сегменте [ , ],

то для любого положительного числа , меньшего −2 , тригонометрический ряд Фурье функции ( ) равномерно сходится к нулю на сегменте

[ + , − ].

Доказательство. Пусть — произвольное положительное число, меньшее−2 . Частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции ( ) в произвольной точке бесконечной прямой определяется равенством (35).

Если учесть, что

sin + 12! = cos · sin 2 + sin · cos 2,

и применить предыдущую Лемму II. 1, беря в (40) вместо ( ) функцию( ) · sin 2, а в в (41) - вместо ( ) — функцию ( ) · cos 2.

Непосредственным следствием доказанной леммы является

Теорема II. 10. Если функции ( ) и ( )

∙кусочно-непрерывны на сегменте [− , ]

∙периодически (с периодом 2 ) продолжены на всю бесконечную прямую,

∙совпадают на некотором сегменте [ , ],

то из равномерной сходимости на сегменте [ , ] тригонометрического ряда Фурье функция ( ) следует равномерная сходимость на этом сегменте тригонометрического ряда Фурье функции ( ).

-38-

II.2. Тригонометрические системы

Доказательство. Применяя ЛеммуII. 1 к разности [ ( ) − ( )], мы получим, что тригонометрический ряд Фурье разности [ ( ) − ( )] при любом из интервала 0 < < −2 сходится к нулю равномерно на сегменте [ + , − ], а отсюда и из равномерной на сегменте [ , ] сходимости тригонометрического ряда Фурье функции ( ) вытекает равномерная на сегменте [ + , − ] сходимость тригонометрического ряда Фурье функции

( ).

II.2.6. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических

Мы уже отмечали, что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной и периодической (с периодом 2 ) функции может быть расходящимся.Докажем, что этот ряд тем не менее всегда суммируем (равномерно на всей бесконечной прямой) методом Чезаро (или методом средних арифметических).

Теорема II. 11. (теорема Фейера) . Если функция ( ) непрерывна на сегменте [− , ] и удовлетворяет условию (− ) = ( ), то средние арифметические частичных сумм её тригонометрического ряда Фурье

сходятся (к этой функции) равномерно на сегменте [− , ] (а в случае, если функция с периодом 2 продолжена на всю бесконечную прямую, — равномерно на всей бесконечной прямой).

Доказательство. Из равенства (35) для ( , ) получим, что

-39-

ибо левая часть (49) равна среднему арифметическому частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции ( ) ≡ 1, а все указанные частичные суммы тождественно равны единице.

Далее

На основании Утверждения II. 3 свертка (45) равномерно сходится к

( ).

II.2.7. Комплексная форма записи тригонометрического ряда

-40-