II.2. Тригонометрические системы

Рис. II. 2.. Ядро Фейера при n=6, n=20

легко убедиться в том, что тригонометрический ряд Фурье (17) с коэффициентами Фурье (18) приводится к виду

∞

X − , (50)

=−∞

в котором комплексные коэффициенты имеют вид

и выражаются через коэффициенты (18) по формулам

-41-

II.3. Преобразование Фурье и интеграл Фурье

II.3.1. Интеграл Фурье

В случае, когда функция ( ) задана на всей бесконечной прямой и не является периодической ни с каким конечным периодом, эту функцию естественно раскладывать не в тригонометрический ряд, а в интеграл Фурье.

Опр. II. 9. Функция f(x) называется абсолютно интегрируемой на числовой прямой, если сходится несобственный интеграл

Z ∞

−∞

Опр. II. 10. Кусочно-непрерывная на сегменте [ , ] функция ( ) называется кусочно-гладкой на этом сегменте, если её производная ′( ) существует и непрерывна во всех точках сегмента [ , ], за исключением, быть может, конечного числа точек, а в этих точках (где ′( ) не существует

или разрывна) существуют левый и правый пределы ′( ) (т. е. существуют ′( − 0) и ′( + 0)).

Опр. II. 11. Будем говорить, что ( ) 1(R), если она определена на всей числовой прямой, является кусочно-гладкой на любом сегменте и абсолютно интегрируема на числовой прямой.

Опр. II. 12. Пусть функция ( ) абсолютно интегрируема на числовой прямой. Интеграл

+∞

Z

0

где коэффициенты ( ) и ( ) определяются из формул:

называется интегралом Фурье функции ( ).

Замечание. Оба несобственных интеграла ( ) и ( ) сходятся, так как функция ( ) абсолютно интегрируема на числовой прямой.

Подставив в (53) выражения (54) для ( ) и ( ) и воспользовавшись тем, что

cos cos + sin sin = cos ( − ),

-42-

II.3. Преобразование Фурье и интеграл Фурье

получим, что функции ( ) сопоставляется интеграл Фурье:

Следующая теорема указывает условия, при которых знак можно заменить на знак равенства.

Теорема II. 12. о представлении функции в виде интеграла Фурье. Если функция ( ) 1(R), то в каждой точке (−∞, +∞) интеграл (55) сходится и равен

1h i

2 ( − 0) + ( + 0) ,

в частности, в точках непрерывности ( ) справедливо равенство:

А если ( ) — нечётная функция, то:

Если функция ( ) определена и абсолютно интегрируема на полупрямой [0, +∞) и является кусочно-гладкой на любом сегменте этой полупрямой, то в точках непрерывности её можно представить как в виде (57), так и в виде (58), продолжив ( ) на полупрямую (−∞, 0) в первом случае чётным, а во втором — нечётным образом.

Интеграл Фурье как предельная форма ряда Фурье

Интеграл Фурье можно рассматривать как результат предельного перехода при → +∞ в формуле для ряда Фурье:

-43-

При этом коэффициенты переходят в функцию-коэффициент ( ):

а коэффициенты — в функцию-коэффициент ( ):

При этом суммирование по переходит в интегрирование по , а ряд Фурье — в интеграл Фурье:

И полученный интеграл сходится к той же самой функции ( ), по которой были найдены его коэффициенты ( ) и ( ), так же как и ряд Фурье сходится к соответствующей функции.

Подставим в (59) выражения для коэффициентов , :

Учитывая это, получаем выражение (56).

-44-

II.3. Преобразование Фурье и интеграл Фурье

II.3.2. Преобразование Фурье

Пусть функция ( ) 1(R). Для упрощения записи будем считать, что в точках разрыва

Тогда для любого (−∞, +∞) имеет место равенство (56) — представление функции ( ) в виде интеграла Фурье. Это представление можно записать иначе, используя комплексную форму интеграла Фурье:

При этом следует иметь в виду, что:

∙внутренний интеграл (по переменной ) понимается как обычный несобственный интеграл (он сходится абсолютно);

∙внешний несобственный интеграл (по переменной ) понимается в смысле главного значения, т. е.

Опр. II. 13. Функция ^( ), определённая формулой

называется образом Фурье функции ( ), а переход от функции ( ) к функции ^( ) по формуле (65) называется преобразованием Фурье функции ( ).

Теперь равенство (64) можно записать в виде:

где несобственный интеграл понимается в смысле главного значения.

Опр. II. 14. Функция ( ) по отношению к своему образу ^( ) называется оригиналом, а переход от образа ^( ) к оригиналу ( ) по формуле (66) называется обратным преобразованием Фурье или восстановлением оригинала по его образу.

-45-

Взаимосвязь между преобразованием Фурье и интегралом Фурье

Утверждение II. 5. Если функция комплексная форма интеграла Фурье функции ( ) 1(R) (64) сводится к действительной форме (53).

Поскольку ( ) — функция чётная (это сразу следует из её определения (54)), а sin( ) — нечётная, то произведение ( ) sin( ) — нечётная по функция. Интеграл от нечётной функции по любому симметричному относительно нуля промежутку равен нулю. Поэтому

Аналогично, произведение ( ) cos( ) — нечётная по функция. Поэтому

-46-

II.3. Преобразование Фурье и интеграл Фурье

Итак, последний интеграл правой части (68) равен нулю, и из (68) мы получаем равенство

+∞

( ) = 1 Z ( ( ) cos( ) + ( ) sin( )) .

−∞

которое полностью совпадает с формулой (53).

Преобразование Фурье и свёртка функций

Опр. II. 15. Пусть 1( ) и 2( ) — принадлежат ( ) 1(R). Функция

−∞

называется свёрткой функций 1( ) и 2( ). Операция свёртки обозначается знаком «звёздочка» (*).

Отметим два важных свойства свертки

Доказательство. В правой части формулы (69) 1 заменим в соответствии с теоремой II. 12 интегралом (65):

Ввиду того, что 2( ) сходится абсолютно, можно изменить порядок интегрирования (строгое доказательство не приводится). Тогда с учётом формулы (64), получим:

−∞

что и доказывает соотношение (71).

-47-

Глава III.

Интегральные уравнения

III.1. Классификация интегральных уравнений.

называются интегральным уравнением

Фредгольма II-го рода,

Фредгольма I-го рода,

Вольтерры II-го рода,

Вольтерры I-го рода, соответственно.

При этом функция ( , ) называется ядром интегрального уравнения или ядром интегрального оператора, а число – параметром.

В случае, когда функция правой части ( ) ≡ 0, любое из этих уравнений называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Интегральные уравнения Вольтерры являются частными случаями интегральных уравнений Фредгольма с (вообще говоря, разрывным) ядром

49

Опр. III. 2. Соотношения

рассматриваемые в некотором метрическом пространстве, называются операторным уравнением

Фредгольма II-го рода,

Фредгольма I-го рода, соответственно.

По данному определению интегральные уравнения Вольтерры, если их рассматривать как операторные уравнения, являются операторными уравнениями Фредгольма.

Опр. III. 3. Числа , при которых однородное уравнение

имеет нетривиальное решение, называются характеристическими числами оператора , а всё множество таких называется спектром оператора .

Замечание III. 2. Легко заметить, что если характеристическое число не равно нулю, то число 1 есть собственное число оператора :

= 1 .

III.2. Метод последовательных приближений

Рассмотрим уравнение вида (5). Если оператор ограничен, решение такого уравнения при достаточно малых может быть найдено методом последовательных приближений как предел равномерно сходящейся последовательности функций ( ), определяемых рекуррентным соотношением

где 0( ) — произвольная непрерывная функция.

III.2.1. Норма интегрального оператора Фредгольма

Обозначим через интегральный оператор Фредгольма:

Z

-50-