ДИУ_Фролов_ОТЛ

III.4. Функция Грина краевой задачи

Доказательство.

Рассмотрим разность функций Грина ( , ) и ( , ):

( , ) = ( , ) − ( , ).

Так как ( , ) и ( , ) – функции Грина одной и той же задачи, их разность обладает следующими свойствами:

4)при любом фиксированном ( , ) функция ( , ) удовлетворяет краевым условиям (50) – (51) по :

Тогда в силу пункта 3) получим, что правая часть непрерывна, в том числе

и при = , откуда

′′ ( , ) .

Но в этом случае пункт 2) влечёт, что ( , ) удовлетворяет однородному уравнению (49):

Итак, функция ( , ) = ( , ) − ( , ) есть решение однородного уравнения (49), удовлетворяющее однородным КУ (50) – (51). По условию теоремы это означает, что

( , ) ≡ 0, т.е. ( , ) ≡ ( , ).

-71-

III.4.3. Решение краевой задачи при помощи функции Грина

Теорема III. 11 (Гильберт).

h i h i

Пусть ( ) > 0 > 0 и ( ) – заданные функции, 1 , , , , и однородная (т.е. при ( ) ≡ 0) задача (49) – (51) не имеет других решений, кроме тождественного нуля.

hi

Тогда для любой функций ( ) , существует и притом единственное решение краевой задачи (49) – (51)

где ( , ) – функция Грина задачи (49) – (51).

Доказательство.

Существование решения вида (55). Пользуясь явным видом (53)-(54) построенной нами функции Грина и введя обозначение

-72-

III.4. Функция Грина краевой задачи

]( )= / ( )

= ′′( ) ( ) + ′′( ) ( ) + W[ , ]( ) ( ).

h i

Убедимся, что ( ) – решение уравнения (49): ( ) = ( ).

h ( )i ≡ ( ) ′′( ) + ′( ) ′( ) − ( ) ( ) =

=( ) ′′( ) ( ) + ( ) ′′( ) ( ) + ( )+

+′( ) ′( ) ( ) + ′( ) ′( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) =

= ( ) ′′( ) + ′( ) ′( ) − ( ) ( ) ( )+

hi

( ) =0

‚ Œ

+ ( ) ′′( ) + ′( ) ′( ) − ( ) ( ) ( ) + ( ) ≡ ( ).

| {z }

hi

( ) =0

Проверим выполнение КУ на левом конце. При → + 0

откуда

Краевое условие на правом конце проверяется аналогично. Существование решения, задаваемого равенством (55), доказано.

Единственность решения. Пусть ( ) и ( ) – два решения краевой задачи (49) – (51). Тогда их разность ( ) = ( ) − ( ) удовлетворяет однородной задаче

-73-

Но условию теоремы у такой задачи есть только тривиальное решение, т.е.( ) ≡ 0, а значит,

( ) ≡ ( ).

Замечание 1. Из теоремы III. 9 и теоремы III. 11 моментально следует,

h i h i

что при выполнении условий ( ) > 0 > 0 и 1 , , ,

функция Грина краевой задачи существует тогда и только тогда, когда однородная краевая задача имеет только тривиальное решение.

Замечание 2. Если существует функция Грина ( , ) краевой задачи (49) – (51), то , [ , ] справедливо равенство ( , ) = ( , ).

Замечание 3. Мы рассматривали только функции Грина для уравнения ( ) ′( ) ′ − ( ) = 0. Однако, точно такое же определение можно дать и для уравнения

0( ) ( ) + 1( ) ( −1) + . . . + −1( ) ′ + ( ) = 0

с линейнsыми независимыми краевыми условиями.

При этом сохранятся все свойства функции Грина, кроме симметричности.

III.5. Уравнения Фредгольма с симметричным ядром

III.5.1. Основные понятия

Рассмотрим уравнения Фредгольма II-го рода в операторном виде с

непрерывным ядром , в операторном виде

где

Z

Опр. III. 6. Ядро , интегрального оператора Фредгольма называ-

h i

ется симметричным, если , , справедливо равенство

, = , .

-74-

III.5. Уравнения Фредгольма с симметричным ядром

В этом разделе под выражением "симметричное ядро"будем предполагать, что ядро ( , ) при , [ , ] удовлетворяет следующим условиям:

8

> ( , )— вещественная функция,

>

>

>

>

>

>

> ( , ) ̸≡0,

<

(58)

>

> ( , ) — непрерывная функция по совокупности аргументов,

>

>

>

>

>

:

> ( , ) - симметричное ядро, т. е. ( , ) = ( , ).

Вспомним, что числа , при которых однородное уравнение имеет нетривиальное решение, называются характеристическими числами оператора . Само же нетривиальное решение называется собственной функцией оператора , соответствующей характеристическому числу .

h i

Введём скалярное произведение на множестве функций , :

– ™

Z Z Z Z

= , ( ) ( ) = = , ( ) ( ) =

ZZ

= ( ) , ( ) = , .

-75-

III.5.2. Свойства характеристических числел и собственных функций симметричного оператора

Теорема III. 12. Все характеристические числа оператора Фредгольма с симметричным ядром действительны.

ющая собственная функция, т.е. решение однородного уравнения (56).

Теорема III. 13. Без ограничения общности можно считать, что все собственные функции оператора Фредгольма с симметричным ядром действительнозначны.

Доказательство.

Пусть функция ( ) = ( ) + ( ) – комплекснозначная собственная функция оператора Фредгольма с симметричным ядром, соответствующая характеристическому числу . Тогда равенство

=

можно переписать в виде

-76-

III.5. Уравнения Фредгольма с симметричным ядром

Поскольку R в силу теоремы III. 12, а , R, данное равенство распадается на два – для действительных частей и для мнимых частей. А именно,

Это означает, что функции ( ) и ( ) также являются собственными функциями, соответствующими одному и тому же характеристическому числу .

Таким образом, любую собственную функцию можно выразить через действительнозначные собственные функции, а следовательно всё сводится

ратора Фредгольма с симметричным ядром, соответствующие разным

Доказательство.

Напомним, что все линейно независимые собственные функции оператора Фредгольма с симметричным ядром могут быть выражены через действительнозначные собственные функции, и мы для удобства ими и ограничиваемся.

Пусть 1 ̸= 2. Так как они различны, то хотя бы одно из этих чисел

– не ноль. Пусть это будет 1 ̸= 0.

1 ( , ) = ( , ) = 2 ( , ) =

= в силу симметричности = 2 ( , ) .

Отсюда

Отсюда,

1 , ≡ ( , ) = 0.

-77-

Приведём без доказательства...

Теорема III. 15. Оператор Фредгольма с симметричным ядром удовлетворяющим требованиям (58) имеет по крайней мере одно характеристическое число, не равное нулю.

На основании перечисленных утверждений может быть доказана следующая теорема:

Теорема III. 16. O cуществовании ортонормированной системы собственных функций симметричного ядра.

1)Существует конечная или бесконечная последовательность линейно независимых собственных функций и соответствующих характеристических чисел ядра ( , ), удовлетворяющего требованиям (58).

2)Собственные функции, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональны. Ранг любого характеристического числа конечен. Всю систему собственных функций можно

ортонормировать, так чтобы были выполнены соотношения

Z

( ) ( ) = 0 ( ̸= ),

2( ) = 1.

3)Каково бы ни было > 0, может существовать лишь конечное число характеристических чисел, удовлетворяющих неравенству | | < . Если все число характеристических чисел бесконечно и их расположить в порядке возрастания абсолютной величины

В дальнейшем будем считать, что система собственных функций приведена к ортонормированному виду.

Опр. III. 7. Ядро ( , ) называется положительно определённым, если все его собственные значения удовлетворяют неравенству > 0.

Теорема III. 17. (теорема Мерсера).

Для положительно определённого ядра ( , ) справедливо равенство

причём ряд сходится абсолютно и равномерно по совокупности аргументов при [ , ], [ , ].

-78-

III.5. Уравнения Фредгольма с симметричным ядром

III.5.3. Теорема Гильберта–Шмидта

В Теореме III. 16 было cказано, что существует ортонормированная последовательность собственных функций однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Тем самым, для любой ( ) [ , ] можно построить ряд Фурье по этим собственным функциям. Возникает вопрос: при каких условиях построенный ряд Фурье будет сходиться к функции ( )? Ответ на поставленный вопрос даёт теорема Гильбер- та–Шмидта.

Определение. Будем говорить, что непрерывная функция ( ) представима через ядро ( , ) (или истокопредставима), если существует непрерывная на [ , ] функция ( ) такая, что

Теорема III. 18. (теорема Гильберта–Шмидта).

Если ( ) представима через симметричное ядро ( , ), то она может быть разложена в ряд по ортонормированная последовательности собственных функций { ( )}

=1

где

Z

= ( ) ( ) ,

причём ряд (66) сходится на [ , ] к ( ) абсолютно и равномерно.

Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма второго рода:

Z

в котором ( ) является вещественной, непрерывной на [ , ] функцией, ядро ( , ) симметричное, а — заданное число. Исследуем вопрос существования решения уравнения (67).

Теорема III. 19. Пусть ядро ( , ) удовлетворяет требованиям (58). Тогда если не совпадает ни с одним характеристическим числом ядра

-79-

( , ), то решение неоднородного интегрального уравнения существует, единственно и представимо в виде

Доказательство. Исследуем вопрос существования решения уравнения (67).

Допустим, что решение существует. Положим ( ) = ( ) − ( ). Обозначая, как и раньше, оператор Фредгольма с ядром ( , ) через , имеем из (67):

Отсюда видно, что ( ) представима через ядро ( , ). Следовательно, по теореме Гильберта–Шмидта, функция ( ) может быть разложена в ряд:

∞

X

( ) = ( ),

=1

где ( ) — собственные функции ядра ( , ), а = ( , ) — коэффициенты Фурье (если ядро имеет конечное число собственных функций, то( ) представляется, соответственно, конечной суммой ряда).

Из (69) следует, что

= ( , ) = ( + , ) = + ,

где = ( , ). Таким образом, если решение ( ) существует, то

=1

где определяется соотношением

По условию ̸= , т. е. параметр не совпадает ни с одним характеристическим числом ядра ( , ). В этом случае из (71) получаем

= ,−

откуда с учетом (70) следует формула (68).

-80-