ДИУ_Фролов_ОТЛ

I.2. Понятие евклидового пространства

É

qq

6 ( , ) + 2 ( , ) · ( , ) + ( , ) =

Опр. I. 7. Если бесконечномерное евклидово пространство полно по введенной норме, то оно называется гильбертовым пространством

Таким образом, всякое гильбертово пространство является банаховым.

а норма - по формуле (6).

hi

Сходимость по норме , называется сходимостью в среднем. В курсе математического анализа было доказано, что из равномерной сходимости следует сходимость в среднем. Из сходимости же в среднем не следует не только равномерная, но даже поточечная сходимость.

Любое неполное нормированное пространство можно пополнить. Если

hi

пополнить пространство , , то мы получим гильбертово пространство

hi

2 , .

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Аксиома симметрии очевидна. Что касается аксиомы тождества, то, как нетрудно видеть, ( , ) = 0 ̸=> ( ) ≡ ( ) на [ , ].

Тождественными считаем функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль. Таким образом, элементами [ , ] являются, по существу, не функции, а классы функций.

Помимо пространства непрерывных функций будем рассматривативать пространство кусочно-непрерывных функций.

-11-

I.2.2. Пространство кусочно-непрерывных функций

hi

Опр. I. 8. Пространство , всех кусочно-непрерывных на некотором сегменте 6 6 функций - пространство функций ( ), непрерывных всюду на сегменте [ , ], за исключением, быть может, конечного числа точек ( = 1, 2, . . . , ), в которых функция имеет разрыв первого рода, причём в каждой точке разрыва эта функция удовлетворяет условию

а cкалярное произведение двух любых элементов ( ) и ( ) [ , ] и норма элемента ( ) [ , ] задаются формулами (7) и (6).

hi

Теорема I. 3. Пространство , всех кусочно-непрерывных на некотором сегменте 6 6 функций является евклидовым.

Доказательство. Существование интеграла (7) от произведения двух кусочно-непрерывных функций не вызывает сомнений. Легко проверить справедливость для скалярного произведения (7) аксиом 1 –4 . Справедливость аксиомы 1 очевидна. Справедливость аксиом 2 и 3 вытекает из линейных свойств интеграла.

Остановимся на доказательстве справедливости аксиомы 4 . Поскольку очевидно, что всегда ( , ) > 0, то достаточно доказать, что

из равенства ( , ) = 0 вытекает, что ( ) ≡ 0, т. е. является нулевым элементом изучаемого пространства. Так как ( ) кусочно-непрерывна на сегменте [ , ], то этот сегмент распадается на конечное число частичных сегментов [ −1, ], на каждом из которых ( ) непрерывна. (При этом значения ( ) в граничных точках −1 и каждого сегмента [ −1, ] мы полагаем соответственно равными предельным значениям ( −1 + 0)

каждому частичному сегменту и в точках разрыва справедливо соотношение (9), то ( ) ≡ 0 на всём сегменте [ , ]. Справедливость аксиомы 4 установлена.

-12-

I.2. Понятие евклидового пространства

I.2.3. Ортонормированная система

Опр. I. 9. Два элемента евклидова пространства и называются ортогональными, если скалярное произведение ( , ) этих элементов равно нулю.

Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве некоторую последовательность элементов

1, 2, . . . , , . . . (11)

Опр. I. 10. Последовательность (11) называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице.

-13-

I.3. Линейные операторы в НП

Пусть X – линейное нормированное пространство, и на нём действует линейный оператор : X →X.

Опр. I. 11. Линейный оператор называется ограниченным, если он определён на всём и существует такая постоянная > 0, что

Здесь ‖ ‖ — норма в пространстве — норма в пространстве .

Опр. I. 12. Пусть X – линейное нормированное пространство, и на нём действует линейный ограниченный оператор : X →X. Тогда число

называется нормой оператора .

Опр. I. 13. Пусть X – линейное нормированное пространство, и на нём действует линейный ограниченный оператор : X →X. Тогда число

Утверждение I. 6. Определения I. 12 и I. 13 эквивалентны.

Доказательство. Действительно, числовые множества

совпадают:

во-первых, очевидно, ′ ; во-вторых,

А раз совпадают числовые множества, то совпадают и их точные верхние грани.

-14-

I.3. Линейные операторы в НП

Утверждение I. 7. Совокупность линейных ограниченных операторов, действующих в линейном нормированном пространстве образует линейное нормированное пространство.

Доказательство. В самом деле, для каждого оператора определена норма этого оператора ‖ ‖ — неотрицательное число, определяемое формулой (13), и остаётся лишь проверить выполнение аксиом нормы.

Аксиома положительности и однородности следует следует из свойств нормы пространства Проверим выполнение аксиом треугольника.

‖ + ‖ = sup ‖( + ) ‖ =

‖ ‖=1

= sup ‖ + ‖ 6 sup {‖ ‖ + ‖ ‖} 6

6 sup ‖ ‖ + sup ‖ ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖,

‖ ‖=1 ‖ ‖=1

так что аксиома треугольника для норм оказывается выполненной.

Можно показать, что если — полное пространство, то пространство линейных ограниченных операторов действующих на нем также полное.

Утверждение I. 8.

Доказательство. Для = 0 – нулевого элемента X – неравенство (14) превращается в равенство и выполняется.

Пусть ̸= 0. По определению I. 12

Доказательство. Пусть = 1.

|{z}

=1

-15-

Доказательство. Прежде всего заметим, что (16) является обобщением формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим частичную сумму ряда (16):

= X

=0

и применим к ней − :

=0

− .

Аналогично,

=0

к− .

Получим формулы (17).

-16-

I.3. Линейные операторы в НП

I.3.1. Принцип сжимающих отображений

неравенство:

Опр. I. 15. Точка * X называется неподвижной точкой отображения

: X →X, если * = *.

Замечание I. 1. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность → , → ∞, переводит в сходящуюся последовательность → , → ∞, а предел последовательности – в предел ее образа.

X

Действительно, если – сжимающий оператор, взяв в (18) = −→ ,

X

→ ∞, получим, что −→ , → ∞.

Теорема I. 5 (Принцип сжимающих отображений).

Пусть X – полное метрическое пространство, а отображение : X →X является сжатием. Тогда имеет и притом единственную неподвижную точку.

Проверим, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле,

+1, = +1 , = , .

-17-

Поэтому при любом фиксированном N и для всех натуральных> и N в силу неравенства треугольника

=0

Так как < 1, правая часть полученного неравенства −→ 0 при → ∞, поэтому для последовательности { } выполнено определение фундаментальности:

фундаментальности последовательности { } и полноты пространства X, предел этой последовательности также принадлежит X:

Убедимся, что точка * – неподвижная точка отображения . Действительно,

* = *,

т.е. * – неподвижная точка.

Докажем её единственность. Для этого предположим, что

* X : * = *.

Тогда

( *, *) = ( *, *) 6 ( *, *) .

Отсюда

1 − ( *, *) 6 0,

-18-

I.3. Линейные операторы в НП

Приведем обобщение теоремы I. 5, часто встречающееся в приложениях.

Теорема I. 6 (Обобщённый принцип сжимающих отображений).

Пусть X – полное метрическое пространство, а отображение : X →X таково, что оператор = с некоторым N является сжатием. Тогда имеет и притом единственную неподвижную точку.

Доказательство. При = 1 получаем теорему I. 5.

-19-