с инета для метод

существенно меньше R (см. условие задачи). Амплитуда силы тока через источник ЭДС будет равна I0 = E0 R , т.к. r << R, а сопротив-

ление цепи LC2 (параллельное соединение) на частоте ω0 равно бесконечности. Очевидно, что при этом ток совпадает с E(t) по фазе.

2) Для определения второй резонансной частоты вычислим комплексное сопротивление всей цепи. Для упрощения расчетов пренебрежем влиянием резистора R, т.е. положим R = ∞. Влияние этого резистора необходимо учитывать только при частотах ω, близких к ω0, когда сопротивление параллельного контура C2L становится большим. В таком приближении комплексное сопротивление всей цепи равно

Амплитуда силы тока при этой частоте равна

I0 = E0 ,

r

и ток совпадает с E(t) по фазе. Этот случай соответствует резонансу напряжений, т.к. амплитуды напряжений на всех участках цепи r, C1, R, C2 и L будут максимальны.

Убедимся теперь в обоснованности использованного приближения R → ∞. Действительно, импеданс цепочки LC2 на частоте ωр2

будет равен 2LC , что существенно меньше R по условию задачи.

Расчет фазовращателей и мостовых схем

Задача 12.3.13. На рис. 12.11а представлена схема простейшего фазовращателя (R1 = R2 = R, С1 = С2 = С). Определить амплитуду UАВ и фазу ϕ0 выходного напряжения, действующего между точками А и В, относительно входного напряжения.

Решение

б – векторная диаграмма напряжений фазовращателя (задача 12.3.13)

Рассмотрим векторную диаграмму напряжений (рис. 12.11б). В каждой из параллельных цепей векторы напряжений на соответствующем конденсаторе и на резисторе всегда взаимно перпендикулярны, т.к. напряжение на конденсаторе отстает от напряжения на сопротивлении на 90°. Поскольку в сумме эти два вектора составляют постоянный вектор E, то точки А и В лежат на окружности с диаметром E, а UАВ = E, поскольку прямая АВ проходит через центр этой окружности и также является ее диаметром.

Угол ϕ между вектором E и вектором напряжения на резисторе

ворота вектора выходного напряжения UАВ относительно входного E вдвое больше угла ABE и равен ϕ0 = 2φ.

Этот же результат легко получить и методом комплексных амплитуд. Ток, протекающий через каждую из RC-цепей, одинаков и равен

Задача 12.3.14. Мостовая схема, изображённая на рис. 12.12 а, используется для измерения индуктивности. Мост считается сбалансированным, когда разность потенциалов (напряжение) между точками А и В равна нулю. Найти индуктивность L как функцию R и С, используя условие баланса (UAB = 0).

Решение

Для достижения баланса в произвольном мосте (рис. 12.12 б) необходимо выполнение следующего условия. Так как напряжение

на цепи ( Zˆ 1+ Zˆ 2) и ( Zˆ 3+ Zˆ 4) равны, то для равенства напряжений в точках А и В необходимо, чтобы

Задачи типа 12.3

Определение мощности в цепях переменного тока

Метод решения. Мощность на участке цепи переменного тока определяется соотношением (12.7) Р = UэIэ cos φ. Здесь Uэ и Iэ – эффективные значения напряжения на данном участке и тока через него, а φ – сдвиг фаз между током и напряжением. Для решения задач этого раздела необходимо найти соответствующие напряжения и токи, что рассматривалось в задачах раздела 12.2.1. В данном разделе эффективные значения будут далее обозначаться без индекса, амплитудные значения – с нижним индексом "0". Это же относится к модулям векторов на векторных диаграммах. Комплексные амплитуды, как и ранее, обозначаются значком "^" над символом.

Задача 12.3.15. Катушка с индуктивностью L = 0,318 Гн и активным сопротивлением R = 100 Ом подключена к источнику синусоидального напряжения с частотой 50 Гц, эффективное значение которого E= 120 В. Определить мощность, выделяемую в цепи.

Решение

Полная мощность, выделяемая в цепи переменного тока, равна мощности источника ЭДС P = EI cosφ. Здесь E и I – эффективные значения ЭДС и силы тока, а φ – сдвиг фазы между этими величи-

нами. В последовательной цепи импеданс равен Z = R2 + ω2L2 , сила тока I = EZ , а сдвиг фаз между ЭДС и током cos φ = RZ . Используя эти соотношения, получаем мощность

В рассматриваемом случае P = 72 Вт.

Ввиду того, что вся мощность выделяется только на активном сопротивлении, ее можно также найти из выражения P = I 2R.

Задача 12.3.16. Катушка с индуктивностью L и активным сопротивлением r соединена последовательно с резистором (сопротивление равно R) и подключена к источнику переменного напряжения частоты ω и с эффективным напряжением E. При каком зна-

ляющуюся в катушке, если эффективные значения напряжений на сопротивлении и катушке равны, соответственно, UR и UL .

Решение

Мощность, которую надо определить, равна Р = ULI cos φ. Ток в цепи равен I = UR . Отсюда Р = URUL cos φ.

RR

Чтобы найти косинус сдвига фаз между током и напряжением на катушке индуктивности cosϕ, рассмотрим векторную диаграмму данной цепи (рис. 12.13).

UR напряжения на сопротивлении R должен равняться вектору ЭДС, приложенной к цепи: E= UL + UR. Возведём в квадрат правую и левую части этого равенства:

E2 = UL2 + UR2 + 2 (ULUR) = UL2 + UR2 +2ULUR cos φ. Выражая отсюда cosϕ и подставляя в выражение для мощно-

сти, окончательно получаем: PL= 1 (E2 – UL2 – UR2). 2R

Ответ: PL= 1 (E2 – UL2 – UR2).

2R

Задача 12.3.18. К источнику синусоидального напряжения с амплитудой E0 подключили последовательно соединённые сопротивление R и катушку с активным сопротивлением. Найти мощность, потребляемую катушкой, если разность фаз между током в цепи и напряжением источника равна φ, а падение напряжения на сопротивлении R и катушке равны по величине

Решение

1) Способ 1. Решение методом векторных диаграмм

Используем результат, полученный в задаче 12.3.17:

где учтено, что в нашем случае UL = UR = U, а E = E0 2 . Для определения U используем векторное равенство UL = E – UR (рис. 12.13) и тот факт, что напряжение на резисторе и ток в цепи совпадают по фазе. Тогда

UL2 = E2 + UR2 – 2 E UR = E2 + UR2 – 2EUR cosφ,

где φ – сдвиг фаз между током и напряжением источника. Ис-

2) Способ 2. Аналитическое решение.

Пусть r – неизвестное активное сопротивление катушки, ω – круговая частота тока, L – индуктивность. Поскольку напряжения на сопротивлении R и катушке равны по величине, их импедансы также равны:

R = r2 + ω2L2 .

Сдвиг фаз между напряжением и током в последовательной LR цепи определяется очевидным соотношением

ωL tgϕ = R + r .

Решая совместно систему этих двух уравнений, находим

Учитывая, что импеданс всей цепи равен Z = (R + r)2 + ω2L2 , а ток I = E , мощность, выделяемая на катушке, будет равна

Z

Задача 12.3.19. Найти суммарную среднюю мощность обоих источников переменной ЭДС для схемы с элементами R, L, C, показанной на рис. 12.14. ЭДС источников равны E1(t) = E10 cosωt;

E2(t) = E20 sinωt, ω = 1/ LC , стрелки на источниках указывают по-

Используем метод контурных токов. Выберем направления контурных токов в левой и правой половине контура (пунктир на рис. 12.14) и запишем уравнения Кирхгофа, обходя контуры по направлению токов

Учитывая, что, по условию задачи, ω = 1/ LC , из первого уравнения сразу получаем

Iˆ2 = iωCE10 .

Суммарная мощность P обоих источников ЭДС выделяется в виде тепла на резисторе R:

Ответ: P = 1 (ωCE10 )2 R . 2

Дополнение. Найдем среднюю мощность P1,2 каждого источника