Задача 11.4.15. Пространство между пластинами плоского конденсатора (см. рис. 11.25) заполнено двумя слоями диэлектрика. Диэлектрические проницаемости слоёв равны ε1 и ε2. Удельные проводимости равны λ1 и λ2. Генератор тока I(t) формирует ступенчатый сигнал:
I(t) = 0 при t < 0; I(t) = I0 при t > 0.
Определить, как изменяется со временем свободный заряд q(t) на границе раздела этих диэлектриков.
Ответ:
ε1,λ1
I(t)
ε2,λ2
Рис. 11.25. Конденсатор с утечкой в задаче 11.4.15
ε
λ
t
ε
λ t
2
2
q(t) = ε
I
1
−exp −
−
1
1
− exp −
1
.
0
0
λ
ε
ε
λ
ε ε
2
2
1
0
0 1
Указание. Конденсатор с утечкой можно рассматривать как параллельно соединённые конденсатор и резистор (см. задачу 11.3.7). При решении целесообразно использовать соотношение RλС = εε0 (глава 6, (6.7)).
Литература к главе 11
1.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм, – М.: Оникс 21 век, 2005, § 48.
2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III Электричество, – М.: Физматлит, 2006, §§ 122-124, 126, 129-131, 134.
3.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003, §§ 207-216.
4.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит, 2003, §§ 78-80, 89.
392
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Глава 12
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
§ 12.1. Теоретический материал
Вынужденные электрические колебания. Если электрическая цепь в своем составе имеет одну (или несколько) ЭДС, величина которых изменяется по периодическому закону, то в цепи после окончания переходных процессов установятся вынужденные электрические колебания, характер которых определяется законом изменения включенных в цепь ЭДС. Мы будем рассматривать только такие ЭДС, величина которых изменяется по гармоническому закону, то есть
E(t) = E0 cos (ωt + ϕ0).
(12.1)
Уравнение цепи в случае вынужденных колебаний
d 2 X
+ 2
β
dX
+ ω2 X = F cos(ωt + ϕ
)
(12.2)
0
dt2
dt
0
0
где X – искомая величина (заряд, напряжение или сила тока), а F0 – амплитуда, пропорциональная E0 и, в общем случае, зависящая также от частоты и параметров цепи. Решением этого неоднородного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения (11.16), которое было рассмотрено в Главе 11,
X (t) = A e
−βt cos(ω t + ϕ
0
) ,
(12.3)
1
c
где ωс – частота собственных колебаний контура, и частного решения неоднородного уравнения, которое имеет вид
X (t) = A(ω)cos(ωt + ϕ(ω)),
(12.4)
где А(ω) – амплитуда вынужденных колебаний, ϕ(ω) – сдвиг фаз между колебаниями исследуемой величины и колебаниями сигнала источника.
С течением времени свободные затухающие колебания (12.3) затухнут, и в установившемся режиме, который мы в дальнейшем и будем рассматривать, будут происходить гармонические колебания (12.4).
Цепи переменного тока – электрические цепи, в составе которых имеются один (или более) источник ЭДС, величина которой
Гл. 12. Цепи переменного тока
393
изменяется по гармоническому закону (далее частоту внешней ЭДС будем обозначать символом ω)
E(t) = E0 cos (ωt + ϕ0).
Считается, что все элементы цепи (резисторы, конденсаторы, индуктивности) не изменяют своих параметров со временем. Предполагается, что к рассматриваемому моменту все переходные процессы закончились, после чего Xi (t), т.е. все токи, напряжения и заряды, как в самой цепи, так и на отдельных её участках, также будут изменяться по гармоническому закону:
Xi (t) = Ai cos (ωt + ϕi),
где Аi – амплитуда, ϕi – сдвиг фаз между колебаниями исследуемой величины и колебаниями сигнала источника. Ввиду того, что режим стационарен, амплитуды и фазы не зависят от времени, но они могут быть разными на разных элементах цепи. Частота колебаний ω имеет одно и то же значение для всех участков цепи и совпадает с частотой ω источника ЭДС.
Строго говоря, переменные токи могут быть и негармоническими токами. Однако, как это общепринято, под термином «переменный ток» мы будем подразумевать только гармонические (синусоидальные) токи.
Квазистационарное приближение. При анализе цепей переменного тока принимается, что можно пренебречь запаздыванием распространения электромагнитной волны вдоль контура. Для этого требуется, чтобы размер контура был много меньше длины электромагнитной волны. Квазистационарное приближение позволяет применять к цепям переменного тока те же уравнения, что и для цепей постоянного тока.
При расчётах и анализе линейных цепей переменного тока обычно используются два метода: метод комплексных амплитуд и метод векторных диаграмм.
Метод комплексных амплитуд. Это основной метод расчета любых линейных цепей переменного тока, основанный на формуле Эйлера
eiωt = cosωt + isinωt .
В этом методе все гармонически изменяющиеся величины вида Acos(ωt + ϕ) (т.е. токи, напряжения и ЭДС) заменяются на соответ-
394
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ствующие комплексные переменные Aeiϕeiωt , а комплексная вели-
чина Â = Aeiϕ называется комплексной амплитудой (далее комплексные амплитуды будут обозначаться значком "^" над символом). Модуль комплексной амплитуды Â равен амплитуде А соответствующей реальной переменной физической величины, а аргу-
мент ϕ комплексной экспоненты eiϕ определяет фазу.
Так как частота стационарных вынужденных колебаний на всех участках линейной цепи одинакова, то при подстановке решения в
виде Aˆieiωt множитель eiωt во всех уравнениях сокращается и его можно сразу отбросить, и остаются линейные алгебраические уравнения для комплексных амплитуд Aˆi .
Удобство метода комплексных амплитуд при расчете линейных цепей связано с тем, что линейные операции намного проще проводить с экспонентой, чем с синусом и косинусом. Например, n-кратное дифференцирование по времени приводит просто к умножению комплексной амплитуды на множитель (iω)n, благодаря чему линейные дифференциальные уравнения переходят в алгебраические уравнения.
После проведения расчета в комплексной форме нужно вернуться к реальным физическим переменным, взяв действительную
часть от полученного комплексного решения Âeiωt .
Отметим, что и мнимая часть от Âeiωt даст то же самое решение, но записанное в виде Asin (ωt + ϕ′), где, разумеется, фаза ϕ′ будет уже другой. Выбор формы записи решения определяется удобством согласования с начальными условиями задачи и не является принципиальным (например, см. далее задачу 12.3.7).
При нелинейных операциях (например, возведение в степень и др.) появляются слагаемые с разными частотами, кратными ω, и метод комплексных амплитуд теряет свои преимущества. В таких случаях, например при расчете мощности, нужно пользоваться реальными переменными.
Закон Ома для участка цепи для комплексных переменных
Û =
ˆˆ
,
(12.5)
ZI
где Û – комплексное напряжение на участке цепи, Zˆ – комплексное сопротивление участка цепи, Î – комплексная амплитуда тока.
Гл. 12. Цепи переменного тока
395
Комплексные сопротивления элементов цепи
Резистор: активное сопротивление
Zˆ = R
(12.6)
– действительная величина, не зависящая от частоты. Ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе
ÛR = RÎR.
Катушка индуктивности: индуктивное сопротивление
Zˆ (ω) = iωL,
(12.7)
где L – величина индуктивности катушки. Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток (ϕ = +π/2):
ÛL = iωLÎL = ωLÎL e+iπ / 2 .
Конденсатор: емкостное сопротивление
Zˆ (ω) =
1
.
(12.8)
iωC
Напряжение на конденсаторе отстаёт по фазе от тока (ϕ = –π/2):
ÛC =
Iˆ
=
Iˆ
e
−i π / 2
.
iωC
ωC
Правила Кирхгофа в комплексном представлении имеют вид, полностью аналогичный правилам Кирхгофа для постоянного тока (глава 6):
1) В любой точке разветвления токов, вследствие закона сохранения заряда, выполняется
∑Iˆk = 0 ,
(12.9)
k
2) для любого замкнутого контура, выбранного в цепи,
∑Zˆk Iˆk
= ∑Eˆm ,
(12.10)
k
m
где Îk – комплексная амплитуда тока, Zˆk – комплексное сопротивление k-ого участка цепи (импеданс), Eˆm = Em0eiϕm – комплексная амплитуда m-ой ЭДС, входящей в выбранный контур, ϕm – ее фаза.
Соотношение (12.10) является следствием подразумеваемого везде в данном разделе квазистационарного приближения, которое
396
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
позволяет применять к цепям переменного тока условие потенциальности электрического поля (см. § 11.1 главы 11).
Если в цепи имеется только один источник ЭДС, то его начальную фазу в формуле (12.10), то его начальную фазу можно взять
равной нулю и тогда Eˆ = E0 (действительная величина). При наличии нескольких несинфазных ЭДС фазу одной из них также удобно положить нулевой, а фазы остальных задать относительно нее (например, см. задачу 12.3.19).
Ввиду формальной аналогии закона Ома и правил Кирхгофа для цепей переменного и постоянного тока сохраняют силу все рассмотренные в главе 6 правила учета знаков при составлении уравнений Кирхгофа, а также метод контурных токов.
Для правильного учета знаков слагаемых в уравнениях (12.9), (12.10) сначала надо выбрать (произвольным образом) направления токов во всех участках цепи, принятые за положительные. При суммировании токов в узлах в уравнениях (12.9) знаки ставятся в соответствии с этими направлениями.
При составлении уравнений (12.10) при обходе контуров напряжение на участке цепи считается положительным при его проходе по выбранному направлению тока, знак минус будет – при противоположном проходе. При наличии в цепи нескольких переменных ЭДС нужно учесть их относительные фазы, заданные в условии задачи (пример с двумя сдвинутыми по фазе ЭДС разобран ниже в задаче 12.3.19).
В отличие от цепей постоянного тока, где отрицательный знак в полученном решении для тока означал, что его истинное направление противоположно ранее выбранному, в цепях переменного тока отрицательный знак означает сдвиг по фазе на 180° (–Â= Âeiπ).
При последовательном соединении элементов цепи (ток на всех участках одинаков) общее сопротивление цепи, как это можно видеть из (12.10), равно сумме комплексных сопротивлений отдельных элементов.
При параллельном соединении элементов цепи, когда одинаково напряжение на всех элементах, удобнее использовать не комплексное сопротивление, а комплексную проводимость Ŷ = 1/ Zˆ . В этом случае (параллельное соединение) проводимость всей цепи равна сумме проводимостей отдельных элементов.
Гл. 12. Цепи переменного тока
397
Если к цепи подключен один источник ЭДС, то ток Î через ис-
а ее модуль Z0 – полным сопротивлением цепи. Здесь Re( Zˆ ) и Im( Zˆ ) – это действительная и мнимая части Zˆ .
Сдвиг фаз ϕ напряжения относительно тока определяется соотношением
tg ϕ = Im Zˆ . Re Zˆ
Метод векторных диаграмм. В данном методе токи, напряжения и ЭДС, действующие в цепи, представляются в виде векторов. Модуль вектора равен амплитуде. Угол между векторами численно равен сдвигу фаз ϕ между ними. Обычно один из векторов выбирается в качестве исходного направления, от которого отсчитываются все сдвиги фаз, т.е. направления остальных векторов.
Метод векторных диаграмм можно рассматривать как графическую интерпретацию метода комплексных амплитуд, поскольку комплексное число – это вектор на комплексной плоскости, и алгебраические операции (сложение, вычитание) с комплексными числами эквивалентны графическим операциям с векторами.
Напомним, что векторы обозначаются прямым жирным шрифтом, абсолютные значения – курсивом.
В последовательной цепи удобно в качестве исходного направления выбрать вектор тока, в параллельной цепи – вектор напряжения.
Вектор напряжения на резисторе UR = RI параллелен вектору тока I (сдвиг фаз ϕ = 0).
Модули векторов, отображающих напряжения на индуктивно-
I
сти и ёмкости, соответственно равны UL = ωLI и UC = ωC . Вектор
UL повернут относительно вектора I на угол +900 (против часовой стрелки), а вектор UC – на угол (–900), т.е. по часовой стрелке.
Правила Кирхгофа в векторном представлении удобно за-
398
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
писать так:
∑Ik вход
= ∑Im вых ;
∑Uk
= ∑En , (12.11)
k
m
k
m
где Ik вход и Im вых – векторы токов, входящих и выходящих из каждого узла, векторы Uk – напряжение на k-ом участке выбранного замкнутого контура, En – вектор n-ой ЭДС.
В отличие от общего метода комплексных амплитуд, метод векторных диаграмм целесообразно применять только для простых цепей с малым числом элементов, поскольку при большом числе векторов диаграммы становятся слишком сложными и теряют свою наглядность.
Мощность в цепи переменного тока. Мгновенная мощность
Р(t) = U(t) I(t).
Усредненная по периоду мощность, рассеиваемая в участке электрической цепи
Р = UэIэ cos ϕ,
(12.12)
где ϕ – сдвиг фаз между током и напряжением в данном участке, Uэ и Iэ – эффективные значения напряжения и тока, являющиеся среднеквадратичными значениями соответствующих параметров за период Т:
1
t+T
1
t+T
I =
∫
I 2
(t)dt , U =
∫
U 2
(t)dt .
T
T
э
э
t
t
Если переменный ток является синусоидальным, то
Iэ =
I
0
, Uэ =
U0
,
(12.13)
2
2
где I0 и U0 – амплитудные значения тока и напряжения.
На индуктивных и емкостных элементах РL,C = 0 поскольку cos ϕ = 0. Мощность выделяется только на активном сопротивлении
P = Uэ Iэ = Iэ2 R.
(12.14)
Мощность источника синусоидальной ЭДС с амплитудой E0 и эффективной величиной ЭДС Eэ определяется соотношением
Гл. 12. Цепи переменного тока
399
Pэдс =
1
E0I0 cosϕ = EэIэ cosϕ,
(12.15)
2
где ϕ – сдвиг фаз между ЭДС источника и током через него. Поскольку на реактивных элементах средняя мощность равна нулю, в любой цепи суммарная мощность источников ЭДС равна суммарной мощности, выделяющейся на активных сопротивлениях, входящих в цепь
∑Pэдс m = ∑Iэk2 Rk .
mk
Замечание. В приведенные выше формулы для нахождения средней мощности входят только действительные переменные. Если цепь рассчитывалась методом комплексных амплитуд, то для получения мощности надо предварительно перейти от комплексных переменных к действительным.
Впрочем, мощность на участке цепи можно легко найти и через комплексные амплитуды тока и напряжения на этом участке
P =
1
Re (ÛÎ*) =
1
Re (Û*Î),
(12.16)
2
2
где Re – реальная часть, (*) означает комплексное сопряжение. Эта формула справедлива и для мощности источника ЭДС, если Û за-
менить на Eˆ.
§12.2. Основные типы задач (классификация)
12.1.Задачи с неразветвлёнными цепями.
12.2.Задачи с разветвлёнными цепями. Расчет фазовращателей и мостовых схем.
12.3.Задачи на определение мощности в цепях переменного тока.
§ 12.3. Методы решения и примеры решения задач
Задачи типа 12.1
Задачи с неразветвлёнными цепями
Метод решения: 1) При расчёте тока и напряжений, дейст-
400
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
вующих в последовательной цепи, вначале рекомендуется определить комплексную амплитуду тока Î. Этот ток (см. (12.10)) равен
Iˆ =
Eˆ
.
∑Zˆk
k
где
Eˆ = ∑Eˆm
m
– суммарная ЭДС всех последовательно соединенных источников с учетом их относительных сдвигов фаз. Затем определяется амплитудное значение тока и сдвиг его фазы относительно ЭДС. Напряжение на резисторах, индуктивностях и конденсаторах рассчитывается по формулам (12.6) - (12.10).
2). При расчёте модуля полного сопротивления цепи часто бывает удобно использовать следующее выражение для модуля комплексного сопротивления:
Z0 = Re( Zˆ )· 1+ tg2ϕ .
(12.17)
Этот результат легко получить, используя комплексную форму представления
Im(Zˆ)
Zˆ
= Re( Zˆ ) + i Im( Zˆ ) = Re( Zˆ ) 1
+ i
.
ˆ
Re(Z)
Сдвиг фаз
tg φ = Im(Z) . Т.е. Zˆ = Re( Zˆ ) (1 + i tg φ). Re(Z)
Модуль этой величины равен вышеприведенному значению Z0.
3) Вначале рекомендуется ознакомиться с решениями базовых задач 12.3.1-12.3.3, т.к. при решении ряда последующих используются результаты, полученные в этих задачах.
Задача 12.3.1 (базовая задача). Конденсатор емкостью 20 мкФ и резистор, сопротивление которого равно 159 Ом, соединены последовательно с генератором переменного напряжения (частота ν = 50 Гц, эффективное напряжение Uэ = 120 В).
Определить зависимость от времени силы тока в цепи I(t) и напря-
(Re Zˆ)2 + (Im Zˆ)2 ,
