с инета для метод

362 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Тогда получим зависимость напряжения на резисторе от времени: UR (t) = E0e−(t−Tи )τ , где время релаксации τ = RL .

График этой зависимости представлен на рисунке 11.3в. Ответ: UR (t) = E0 (1− e−tLR ), при 0 < t < Tи;

Задача 11.3.4. Незаряженный конденсатор, резистор и генератор напряжения E(t) соединены в последовательную цепь (рис.11.4а). Определить зависимость от времени напряжения на конденсаторе UС(t), если генератор напряжения формирует пилообразный сигнал (см. рис.11.4б):

E(t) = 0 при t < 0, t > T0;

E(t) = αt при 0 < t < T0.

Решение

Так как пилообразный сигнал нельзя описать одной функцией, рассмотрим отдельно случаи 0 < t < T0 и t ≥ T0.

Интервал 0 < t < T0

ЭДС в цепи не равна нулю, следовательно, конденсатор будет заряжаться. Второе правило Кирхгофа (11.8) для этого случая имеет вид:

RI + q = αt ,

C

где I – ток в цепи, q – заряд конденсатора.

364 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 11.3.5. Конденсаторы С1 и С2, предварительно заряженные соответственно до напряжений U1(0) и U2(0) в полярности, указанной на рис.11.5, соединяют последовательно с резистором R. Определить зависимость от времени силы тока в цепи и напряжений на конденсаторах С1 и С2 после замыкания ключа К.

При расчёте положить U1(0) > U2(0).

Решение

После замыкания ключа К резистор R и конденсаторы С1 и С2 составляют последовательную замкнутую цепь. Внешнего источника – генератора напряжения, в этой цепи нет. Поэто-

занной на рисунке 11.5 полярности подключения конденсаторов и выбранного направления тока запишется в виде:

−Q1 + Q2 + RI = 0 . C1 C2

Здесь I – сила тока в цепи, Q1 и Q2 – заряды конденсаторов С1 и С2 .

Продифференцируем по времени правую и левую часть этого уравнения. Тогда учитывая, что согласно закону сохранения заряда

сила тока в цепи равна I = − 1 dQ1 = 1 dQ2 , получим:

C1 dt C2 dt

Решением этого уравнения по аналогии с базовой задачей 11.3.2 будет функция

I(t) = I(0)e−tτ ,

где I(0) – начальное значение тока в цепи, τ = R C1C2 – время ре-

C1 + C2

лаксации.

Определим I(0). Так как напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, то сразу после замыкания ключа К напряжения на конденсаторах С1 и С2 имеют то же значение, что и до замыкания ключа, то есть U1(0) и U2(0). Таким образом, напряжение на рези-

366 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

UDB (t) = U∞ + [U2 (0) −U∞ ]e−tτ ,

где τ = RC1C2 .

C1 + C2

Определим установившееся значение напряжения на конденсаторах С1 и С2.

Суммарный заряд, сосредоточенный как на “верхних” (точки А и D), так и на “нижних”(точка B) обкладках конденсаторов не изменяется во время переходного процесса, то есть

Q1(0) + Q2(0) = Q1(t)+Q2(t)= Q1(∞) + Q2(∞).

получим установившееся значение напряжения U∞.

Результаты для напряжений UAB и UDB , полученные первым и вторым способом, хотя и имеют разный вид, являются эквивалентными. Покажем это для UAB:

UAB (t) = U1(0) − (U1(0) −U2 (0))C2 (1− e−tτ ) =

C1 + C2

UAB (t) = U1(0) − (U1(0) −U2 (0))C2 (1− e−tτ ) .

C1 + C2

UDB (t) = U2 (0) + (U1(0) −U2 (0))C2 (1− e−tτ ) .

C1 + C2

Задача 11.3.6. Параллельно соединённые резисторы сопротивлением R и R/99 соединены последовательно с катушкой индуктивности L и генератором постоянного напряжения E0 (рис.11.6а). Определить, как изменяется со временем напряжение U(t) между точками A и B при замыкании и размыкании ключа K.

Решение

1) Ключ замыкают

Используя правило Кирхгофа (11.8), составляем уравнение для тока I, который протекает через индуктивность L и источник ЭДС E0.

dU + R0 (U − E0 ) = 0. dt L

Время релаксации при замыкании ключа равно τ1 = LR0 .

Для определения начального условия U(0) используем тот факт, что ток в цепи сразу после включения ключа I(0) имеет то же значение, что и до включения:

I(0) = E0 .

R

Тогда при t = 0 имеем

368 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

U(0) = I(0)R0 = E0 R0 .

R

Установившееся значение исследуемого напряжения равно U∞ = E0 (так как катушка не обладает омическим сопротивлением).

Проводя аналогичные расчеты и учитывая изменившиеся начальные условия (U(0) = E0), получим

Схематично графики этих релаксационных процессов показаны на рис. 11.6 б.

Рис. 11.6б. Зависимость напряжения между точками А и В от времени при замыкании и размыкании ключа (задача 11.3.6)

Замечание. Времена релаксации в рассматриваемых случаях имеют существенно разные значения

Задача 11.3.7. Параллельно соединенные резистор R и конденсатор C подсоединены к генератору тока I(t) (рис. 11.7а), который формирует ступенчатый сигнал (рис. 11.7б).

I(t) = 0 при t < 0,

I(t) = I0 при t > 0.

Определить, как изменяется со временем напряжение U на конденсаторе и ток, протекающий через конденсатор.

Решение

Используя первое правило Кирхгофа (11.7), можем записать

I0 = IR + IC.,

Здесь IR и IC – токи, протекающие через резистор и конденсатор, а I0 – полный ток в цепи, создаваемый генератором тока.

Так как резистор и конденсатор соединены параллельно, второе правило Кирхгофа (11.8) запишется в виде

UR = UС = U .

Тогда, используя выражения для напряжений на резисторе и конденсаторе (11.1) и (11.2), можно записать

Получим уравнение цепи

C dU + U = I0 dt R

370 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

или, приводя к стандартному виду (11.9)

Напряжение на конденсаторе не может мгновенно измениться, поэтому начальное условие в нашем случае имеет следующий вид:

U(0) = 0.

Установившееся значение напряжения на конденсаторе

U∞ = I∞R = I0R.

Используя выражение (11.10), получим

U(t) = U∞ − [U∞ −U(0)]e−tτ = I0R(1− e−tτ ) , где τ = RC .

IC (t) = C d (I0R(1− e−tτ ))= I0e−tτ . dt

Ответ: U(t) = I0R(1− e−tτ ) , IC (t) = I0e−tτ , где τ = RC .

Задача 11.3.8. Квадратная рамка со стороной а находится в однородном магнитном поле индукции B. В начальный момент плоскость рамки параллельна направлению поля. Затем её очень быстро

поворачивают на 90 0 , так, что ее плоскость становится перпендикулярной направлению магнитного поля. Индуктивность рамки равна L, омическое сопротивление проводника, из которого сделана рамка, равно R. Определить, как изменится ток в рамке после ее поворота. До поворота ток в рамке был равен нулю.

Решение

1. При быстром повороте рамки из-за изменения величины потока магнитной индукции внешнего поля через плоскость рамки согласно закону электромагнитной индукции возникает ЭДС ин-

дукции E(t) = − dΦ и, как следствие, появляется индукционный ток dt

I(t).

В процессе поворота рамки полный поток магнитной индукции Φ(t) через плоскость рамки складывается из потока ФВ(t), обусловленного наличием внешнего магнитного поля, и потока ΦI(t), создаваемого индукционным током

Φ(t) = ΦB (t) + ΦI (t) ,