с инета для метод

Указание. Для нахождения молекулярных токов можно рассчитать rot M в декартовых координатах, либо использовать выражение ротора в цилиндрических координатах, в которых, учитывая, что вектор М имеет только круговую ϕ - компоненту:

Другим способом является использование интегрального соотношения (10.12), как это было сделано в задаче 10.3.6.

Задача 10.4.5. Круговой тонкий виток, в котором течет ток силы I, лежит на плоской границе раздела вакуума и магнетика с магнитной проницаемостью µ. Найти индукцию магнитного поля на оси контура в зависимости от расстояния z от его центра.

Указание: см. решение задачи 10.3.5.

индукция в отсутствие магнетика.

Задача 10.4.6. Диск радиуса R из ферромагнетика (µ >> 1) помещен в магнитное поле с вектором индукции В0, параллельным его оси. Оценить, при какой толщине l диска индукция в центре диска будет отличаться от В0 не более, чем на величину В = ηВ0, η = 0,01.

Указание: считая в первом приближении, что внутри диска В = В0, найти поправку В как вклад от поверхностного молекулярного тока, текущего по боковой поверхности диска (см. рис. 10.10).

2µ

Ответ: l ≤ η µ −1 R .

342 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 10.4.7. Шар радиуса R имеет однородную "замороженную" намагниченность с вектором намагниченности М (рис. 10.11).

Найти: магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Н в центре шара. Решить методом молекулярных токов и методом "магнитных зарядов".

Задача 10.4.8. В однородное магнитное поле с вектором индукции В0 поместили однородный шар из магнетика с магнитной проницаемостью µ. Найти напряженность Н, индукцию В магнитного поля и намагниченность М внутри шара.

Указание. См. решение задачи 10.3.13.

Задача 10.4.9. Бесконечно длинный цилиндр из однородного изотропного магнетика с магнитной проницаемостью µ поместили в однородное постоянное магнитное поле с вектором индукции В0, который перпендикулярен оси цилиндра. Найти

Задача 10.4.10. Электромагнит с тонким сердечником квадратного сечения со стороной a, сделанный из материала с

большой магнитной проницаемостью µ, имеет тонкий плоский поперечный зазор ширины l, в котором создается магнитное поле с индукцией В. Оценить в дипольном приближении магнитную индукцию в точке А, лежащей в плоскости зазора на большом расстоянии r от его центра (r >> а, R >> а >> l, где R – средний радиус тора).

Указание. Использовать метод "магнитных зарядов".

Задача 10.4.11. Два длинных тонких цилиндрических магнита одинакового радиуса, имеющие одинаково направленные продольные намагниченности М1 и М2 соответственно, соединены торцами. Найти величину индукции магнитного поля В1,2 и напряженности Н1,2 внутри обоих магнитов. Векторы намагниченности считать постоянными и независящими от магнитного поля внутри магнитов.

Ответ: В1 = µ0 М1; В2 = µ0 М2 ; Н1,2 = 0.

Данное решение справедливо вдали от торцов цилиндров. На тор-

Указание. См. задачу 10.3.8.

Задача 10.4.12. Длинный тонкий цилиндрический соленоид с плотностью намотки n (витков/м) приставлен торцом к длинному тонкому цилиндрическому железному сердечнику того же радиуса с большой магнитной проницаемостью.

Найти величину намагниченности М сердечника, индукции магнитного поля В и напряженности Н внутри соленоида (1) и железного сердечника (2), если по соленоиду течет ток силы I.

Ответ: В1 = В2 = µ0nI, Н1 = nI, Н2 ≈0, М ≈ nI. Данное решение справедливо вдали от торцов соленоида и сердечника.

Указание. Считать, что из-за большой величины магнитной проницаемости сердечника линии индукции В, выходящие из соленоида, концентрируются в сердечнике и не выходят из его боковой поверхности.

Задача 10.4.13. Намагниченность насыщения материала составляет Мs и достигается в поле насыщения Hs. Из этого материала изготовлен тонкий тор среднего радиуса R, в котором сделан малый воздушный зазор l (l << R). На тор намотано N витков провода.

1) При какой величине силы тока Is через обмотку наступит насыщение материала? 2) Как будет меняться индукция в зазоре при I > Is?

Ответ: 1) Is = (2πRHs + Msl)/N;

Задача 10.4.16. Бесконечная плоская пластина-магнит толщины l намагничена так, что вектор намагниченности М образует угол α с нормалью к ее поверхности. Найти магнитную энергию W′ единицы площади пластины.

Ответ: W′ = (12)µ0M 2 l cos2α .

Задача 10.4.17. Длинный соленоид длины l и радиуса R с плотностью намотки n витков на метр и протекающим по нему током I погружен горизонтально до середины в парамагнитную жидкость с магнитной проницаемостью µ. Найти давление, действующее на поверхность жидкости со стороны магнитных сил и полную силу, действующую на соленоид.

Ответ: p = (12)µ0(µ – 1)n 2I 2; F = 2lRp, сила направлена вниз.

Задача 10.4.18. Небольшой шарик объема V из парамагнитного материала с проницаемостью µ переместили из точки с магнитной индукцией В в точку, где магнитное поле отсутствует. Какую работу совершили магнитные силы?

B2

Ответ: A = −(µ −1)V 2µ0 .

Задача 10.4.19. Найти силу притяжения двух половинок тонкого тора радиуса R, имеющего квадратное поперечное сечение

площади S (R >> S ), сделанных из материалов с большой магнитной проницаемостью µ1 и µ2 соответственно. Обмотка на торе имеет N витков и по ней идет ток I.

Глава 11

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL, RC И RLC ЦЕПЯХ. СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

ВКОНТУРАХ

§11.1. Теоретический материал

Переходные процессы – процессы, которые возникают в электрических цепях после того, как один из параметров цепи испытал скачкообразное (очень быстрое) изменение. Например, подключенный к цепи источник ЭДС (генератор тока или напряжения) формирует прямоугольный импульс напряжения или тока, или в цепи c подключенным постоянным источником ЭДС происходит коммутация отдельных элементов цепи с помощью ключей.

Квазистационарный ток – изменяющийся со временем ток, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Для периодического тока: линейные размеры цепи l много меньше длины волны λ

l << λ = cT,

где T – период изменения процесса со временем, с – скорость распространения электромагнитной волны по цепи, которая близка к скорости света.

Для переходного непериодического процесса: линейные размеры цепи должны удовлетворять условию

l << c t ,

где t – длительность интервала времени, за который происходит скачкообразное изменение параметра цепи. Это условие позволяет пренебречь конечностью скорости распространения электромагнитных полей и считать, что в любом сечении последовательной цепи сила тока одинакова. Например, для синусоидального тока

время скачка параметров t ~ 1 нс, то l << c t ~ 0,3 м.

Для того чтобы считать изменение параметров цепи мгновенными, длительность скачка параметров должна быть много меньше τ – времени релаксации цепи: t << τ. Величина τ зависит от вида цепи и параметров входящих в нее элементов, и будет рассмотрена ниже при решении конкретных задач.

348ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2)Токи смещения малы по сравнению с токами проводимости

ω << ρεε1 0 , где ρ – удельное сопротивление среды, в которой распространяется

ток, ε – её диэлектрическая проницаемость. Для металлических проводников это условие заведомо хорошо выполняется при вы-

полнении условия 1 (ω <<1018 c−1 [1, §48]).

Предположение о квазистационарности токов позволяет при анализе процессов, происходящих в цепи, использовать те же методы, что и в цепях постоянного тока (подробнее см. главу 6).

Рассмотрим взаимосвязь между током и напряжениями на отдельных участках цепи (резистор, конденсатор, индуктивность, которые рассматриваются как элементы с сосредоточенными параметрами).

UC – напряжение на конденсаторе; IС – ток, протекающий через конденсатор; Q – заряд конденсатора, С – емкость конденсатора.

Из соотношений (11.2) следует:

где UС (0) – напряжение на конденсаторе в момент времени t = 0.

Замечания

1)Выбор момента времени t = 0 является, вообще говоря, произвольным. За этот момент времени удобно выбрать тот момент, когда происходит скачкообразное изменение одного из параметров цепи.

2)Напряжение и заряд на конденсаторе всегда является непре-

рывной функцией времени, даже в тех случаях, когда ток IС испытывает очень быстрое («скачкообразные») изменения. Это связано с

тем, что никакая система не может изменять свою энергию мгновенно.

UL –напряжение на катушке индуктивности, IL – ток, протекающий через катушку; L – индуктивность катушки. Напряжение на катушке индуктивности UL равно взятой с обратным знаком ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке. Поэтому можно либо учитывать напряжение на катушке индуктивности в сумме с другими напряжениями в контуре, либо включить этот элемент в состав ЭДС, действующих в контуре. Из соотношения (11.4) следует:

где IL(0) – сила тока через катушку в момент времени t = 0.

Реальная катушка наряду с индуктивностью L, обладает также омическим (активным) сопротивлением r, и напряжение UrL на ней равно

Замечание. Ток, протекающий через катушку индуктивности, всегда является непрерывной функцией времени, даже в тех случаях, когда напряжение UL испытывает очень быстрые («скачкообразные») изменения. Как и конденсатор, катушка индуктивности не может изменять свою энергию мгновенно.

Генератор напряжения – устройство, напряжение на выходе которого E(t) не зависит от величины тока, протекающего через этот генератор. Внутреннее сопротивление такого генератора принимается равным нулю, а в реальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением, много меньшим сопротивления внешней цепи.

Генератор тока – устройство, которое обеспечивает силу тока в цепи I(t), не зависящую от напряжений на элементах этой цепи. Такой генератор имеет бесконечное внутреннее сопротивление, а в реальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением, значительно превышающим сопротивление внешней цепи.

Правила Кирхгофа (более подробно см. §6.1 главы 6)