Індивідуальна робота № 2 «Вектори»

1. У ромбі АВСD діагоналі . Розкласти за даними векторами вектори, що співпадають зі сторонами ромба .

2. У правильному шестикутнику АВСDЕF дано . Розкласти за даними векторами вектори .

3. У трикутнику АВС сторона ВС розділена точкою D у відношенні т:п, тобто . Розкласти вектор за векторами .

4. Задано трикутник АВС. Виразити вектор через вектори , де Н – основа висоти, опущена з вершини А на сторону ВС.

5. З вершини А прямокутника АВСD, сторони якого 8 і 4, проведені відрізки, які сполучають середини протилежних сторін. Знайти кут між ними.

6. Довести теорему синусів: для будь-якого трикутника АВС має місце співвідношення:

, де .

7. Довести, що сума квадратів медіан трикутника дорівнює трьом четвертим суми квадратів його сторін.

8. Довести припущення: для того, щоб у Δ АВС один кут був прямим, необхідно і достатньо, щоб ,де О – центр описаного кола.

9. Обчислити тупий кут, утворений медіанами, проведеними з вершини гострих кутів рівнобедреного прямокутного трикутника.

10. Довести, що середня лінія трикутника дорівнює половині основ і паралельна їм (методом векторної алгебри).

11. Довести, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим бічним сторонам (методом векторної алгебри).

12. Довести, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

13. Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів сторін.

14. Довести, що медіани трикутника можуть утворювати трикутник.

15. Довести, що чотирикутник, у якого діагоналі діляться навпіл є паралелограм.

16. Довести, що сума векторів, які сполучають центр правильного трикутника з його вершинами, дорівнює нулю.

17. У трикутнику АВС . Знайти вектори, колінеарні бісектрисам внутрішніх кутів.

18. Довести, що діагоналі рівнобедреної трапеції утворюють з основою рівні кути.

19. Довести, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ і паралельна їм.

20. Вектори співпадають зі сторонами трикутника. Виразити медіани цього трикутника через вектори та .

Індивідуальна робота № 3 «Пряма на площині»

1.(355) Записати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 3х – 2у + 5 = 0, 4х + 3у – 1 = 0 і відтинає на вісі ординат відрізок b = -3. Розв'яжіть задачу, не визначаючи координати точки перетину даних прямих.

2.(356) Записати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 2х + у – 2 = 0, х – 5у – 23 = 0 і ділить навпіл відрізок, що обмежений точками М₁ (5; -6) і М₂ (-1;-4). Розв'язати задачу, не визначаючи координати точки перетину даних прямих.

3.(357) Дано рівняння пучка прямих (3х – 4у – 3) + (2х + 3у – 1) = 0. Записати рівняння прямої даного пучка, що проходить через центр тяжіння однорідної трикутної пластинки, вершини якої точки А (-1; 2), В (4; -4) і С (6; -1)

4.(358) Дано рівняння пучка прямих (3х – 2у – 1) + (4х – 5у + 8) = 0.Записати рівняння прямої цього пучка, що ділить відрізок прямої х + 2у + 4 = 0 навпіл, і проходить між прямими 2х + 3у + 5 = 0, х + 7у – 1 = 0.

5.(359) Задані рівняння сторін трикутника х + 2у – 1 = 0, 5х + 4у – 17 = 0, х – 4у + 11 = 0. Не визначаючи координати вершин трикутника, записати рівняння його висот.

6.(360) Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 2х + 7у – 8 = 0, 3х + 2у + 5 = 0 під кутом 45⁰ до прямої 2х + 3у – 7 = 0. Розв'язати задачу, не визначаючи координати точки перетину даних прямих.

7.(361) У трикутнику АВС задані рівняння висоти АN: х + 5у – 3 = 0, висоти ВМ: х + у – 1 = 0 і сторони АВ: х + 3у – 1 = 0. Не визначаючи координати вершин і точки перетинe висот трикутника, записати рівняння двох інших сторін і третьої висоти.

8.(362) Записати рівняння сторін трикутника АВС, якщо задана одна його вершина А (2; -1), а також відомо рівняння висоти 7х – 10у + 1 = 0 і бісектриси 3х – 2у + 5 = 0, проведеної з вершини трикутника. Розв'язати задачу, не визначаючи координати вершин В і С.

9.(363) Задано рівняння пучка прямих (2х + у + 8) + (х + у + 3) = 0. Знайти прямі цього пучка, відрізки яких, що знаходяться між прямими х – у – 5 = 0, х – у – 2 = 0, дорівнюють .

10.(368) Центр пучка прямих є вершиною квадрата, діагональ якого належить прямій х + 7у – 16 = 0. Записати рівняння сторін і другої діагоналі даного квадрата.

11.(374) Записати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 3х + у – 5 = 0, х – 2у + 10 = 0 і знаходиться на відстані d = 5 від точки С (-1; -2). Розв'язати задачу, не визначаючи координати точки перетину заданих прямих.

12.(376) Записати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 11х + 3у – 7 = 0, 12х + у – 19 = 0 на однаковій відстані від точок А (3; -2) і В (-1; 6). Розв'язати задачу, не визначаючи координати точки перетину заданих прямих.

13.(377) Задано рівняння двох пучків прямих ₁(5х + 3у – 2) + ₁(3х – у – 4) = 0, ₂(х – y + 1) + ₂(2х – у – 2) = 0. Не визначаючи їх центрів, записати рівняння прямої, що належить двом пучкам.

14.(378) Сторони AВ, ВС, СD і DА чотирикутника АВСD задано відповідно рівняннями 5х + у + 13 = 0, 2х – 7у – 17 = 0, 3х + 2у – 13 = 0, 3х – 4у + 17 = 0. Не визначаючи координати вершин цього чотирикутника, записати рівняння його діагоналей.

15.(379) Центр пучка прямих (2х + 3у + 5) + (3x – y + 2) = 0 є однією з вершин трикутника, дві висоти якого задано рівнянням х – 4у + 1 = 0, 2х + у + 1 = 0. Записати рівняння сторін цього трикутника.