Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3922 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>


	§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ		211
а) через значения параметров ив и
б) через координаты		уъ, 2<>точки касания.
3437. Найти геометрическое место оснований перпендикуля
ров, опущенных	из начала координат на касательные плоскости
к параболоиду вращения 2рг = х* + у2.
3438. Найти геометрическое место оснований перпендикуля
ров, опущенных	из начала координат на касательные		плоскости

кповерхности хуг = а3.

§4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Г р а д и е н т

3439. 1) -ф(х, у) = х2 — 2ху + 3у — 1. Найти проекции градиента

вточке (1, 2).

2)u = 5x2y — 3xtp-\-t/i. Найти проекции градиента в произволь ной точке.

3440.

2 = x*4 -g *. Найти

grad2 в точке (3, 2).

2 = У

4 + x * - f г/8. Найти

grad 2 в точке

(2,

1).

2= a rc tg y . Найти grad 2 в точке

(*о,

#>).

3441.

1) Найти

наибольшую крутизну

подъема

поверхности

2= In (х2- f 4г/*) в точке

(б,

In 100).

поверхности г = ху

Найти

наибольшую

крутизну подъема

в точке (2, 2, 4).

3442. Каково направление наибольшего изменения функции

Ф(х, у, z) = х sin z — y cos z в начале координат?

3443.

1) г е г а г с в т ^ ^ . Найти угол

между градиентами

этой

функции в точках (1, 1) и (3,

4).

2) Даны

функции

г = V x 2 + у2 и г = х — Зу + У Зху. Найти

угол между градиентами этих функций в точке (3, 4).

г =

3444.

Найти

точку,

которой

градиент

функции

= ln (x +

i - j

равен

Найти

точки, в

которых модуль

градиента

функции г =

сй (ха + уг)ьр

равен

3445. Доказать

следующие

соотношения

(ф

и ф —дифферен

цируемые функции, с —постоянная):

grad (ф+ ф) = grad ф + grad ф;

grad (с + ф) = grad ф;

grad (Сф) = с grad ф;

grad (фф) = ф grad ф+ фgrad ф;

grad (фя) = пф"-1 grad ф;

grad [ф (ф)] = ф' (ф) grad ф.

3446.

г = ф (и, v), м = ф(х,

у), о = £(х, у).

Показать, что

grad г =

grad а + ^

grad v.

3447. 1) u(xt д, г) = х2^г. Найти проекции grade в точке

(*0, Уо, 20).

2 1 2 ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

2) и(х, у, г) = У хг + у *+ г2. Найти grad и.

3448. Показать, что функция u = In (х2 + у2 + г2) удовлетворяет соотношению ы = 2 In 2 — In (grad и)2.

3449. Доказать, что если х, у, г суть функции от t, то

Z ifiх, У, г) = grad/-

где г = xi + y f + z k .

3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотно


шение для нахождения градиента функции:								(abr)i
	1) /= /*2;	2) / =	И ;	3) f = F (r2)-, 4) f = (ar)(br)-, 5) f =
где а и Ь —постоянные векторы.
		П р о и з в о д н а я по н а п р а в л е н и ю
	3451. 1) Найти		производную		функции z = х3— Зх2у +		Зля/*+ 1
в точке М (3, 1) в			направлении,		идущем от этой	точки	к	точке
(6,	5).	производную функции z = arcigxy
	2) Найти					в точке		(1, 1)
в направлении биссектрисы первого координатного угла.
	3) Найти производную функции z = x2y2 — xyi — 3y — l						в точке
(2,	1) в направлении,			идущем от этой точки к началу координат.
	4) Найти	производную функции г = \а(ех -\-еу)				в начале коор

динат в направлении луча, образующего угол а с осью абсцисс.


3452.		Найти	производную функции 2= ln(x + i/) в точке (1, 2),
принадлежащей			параболе tp = 4x, по направлению этой параболы.
3453.		Найти производную функции z—a rctg -j в точке (~ ,
принадлежащей			окружности х2 + у2 — 2х = 0, по направлению этой
окружности.								.
3554.		Доказать,		что	производная		функции	z = ~	в любой
точке	эллипса		2х2 + у2= 1			по направлению нормали			к эллипсу
равна	нулю.
3455.		1) Найти производную функции и = ху2+ 23 —хуг в точке
Л4(1,	1, 2) в направлении,					образующем с осями		координат		углы
соответственно			60°, 45Q,		60°.		w = xyz в	точке А (5,
2)	Найти производную					функции				1, 2)
в направлении, идущем от этой точки к точке В ( 9, 4, 14).
3456.		Найти производную функции u=x2t/2z2 в точке А( 1 ,— 1,3)
в направлении, идущем от этой точки к точке В (0, 1, 1).
3457.		Доказать,		что	производная		функции	и = ~ + ^ ~ j - z*
в любой		точке	М (х,	у,						с»
					г) в направлении, идущем от этой точки
к началу координат,				равна		— у , где г=Ух?+у*A-z\
3458.		Доказать, что			производная функции ы = /(х,				у, z) в на
правлении ее градиента равна модулю градиента.
3459.		Найти производную функции и = 1/г, где г2= х2 + Ф + 2*,
в направлении			ее градиента.

Г Л А В А XI I

МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§ 1. Двойные и тройные интегралы

3460. Тонкая	пластинка (ее толщиной пренебрегаем) лежит
в плоскости хОу,	занимая область D. Плотность пластинки явля

ется функцией точки: у = у(Р) = у(х, у). Найти массу пластинки.

3461. На пластинке задачи 3460 распределен электрический

заряд

с поверхностной

плотностью

т = т(Р ) = т(х , у).

Составить

выражение для полного заряда пластинки.

3462.

Пластинка задачи 3460

вращается вокруг оси Ох с угло

вой

скоростью

со. Составить

выражение для кинетической

энер

гии

пластинки.

3463. Удельная теплоемкость пластинки задачи 3460 меняется

по

закону с = с (Р) = с (х, у).

Найти

количество

тепла, получен

ное

пластинкой

при ее

нагревании

от температуры

до

темпе

ратуры t-2.

3464. Тело

занимает пространственную область Q; его плот

ность

является

функцией точки:

у = у (Р) = у (х, у,

г).

Найти

массу

тела.

3465. В теле задачи 3464 неравномерно распределен электри

ческий

заряд;

плотность

заряда

является функцией точки:

6 =

= б (.V,

у,

г). Найти полный заряд тела.

В задачах 3466—3476 оценить интегралы:

3466.

$ $ (х + у + 10)da, где D —круг x2 + i/2 « £ 4 .

3467.

^ ^ (х2 + Aif - f 9) da, где D —круг х2 + у2^ 4 .

У + \)da,

где D —прямоугольник

3468.

J J (* +

O ^ x ^ l ,

0 < ;

3469.

$ $ ( , + x y ~ x 2— ip) da, где D — прямоугольник 0

х « S 1,

0 ^ у < 2 .

$$ ху (х + у) da,

3470.

где

D — квадрат 0 < ;л :< 2 ,

0 < ;*/ < ;2 .

где D —квадрат 0 < л < 2 ,

3471.

^ (jc .+ l^ d a ,

0 < t / < 2 .

214 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3472.	55 (х2 +	У2 —2 У х 2 + У2+ 2) da, где D — квадрат	х ^ 2 ,
0 ^ у ^ 2 .	о
0 ^ у ^ 2 .		У2 ~ 4х — 4у + 10) da, где D —область, ограничен-
3473.	(*2 +	У2 ~ 4х — 4у + 10) da, где D —область, ограничен-

	D	4#2 — 2х— 16# + 13 = 0 (включая границу).
ная эллипсом х2 +		4#2 — 2х— 16# + 13 = 0 (включая границу).
3474.	5 5 \(х? + У2 + г2)		где £2 — шар х2 + у2+ z2 ^ R2.
	о	*/+г) dv,
3475.	5 5 $ (* +	*/+г) dv,	ГД®	£2 — куб x s = l , #2=1, 22=1, x sS 3 ,
# ^ 3, 2 ^ 3 .
3476.	5 5 5 (х + 1/~2 + ^ ) £^ '			где & — шаР •г + #2+ г г £ 3 .
	Q

§ 2. Кратное интегрирование

Д в о й н о й и н т е г р а л . П р я м о у г о л ь н а я о б л а с т ь В задачах 3477—3484 вычислить двойные интегралы, взятые

по прямоугольным областям		интегрирования D, заданным усло
виями в скобках:
3477.	55 xydxdy	( 0 = s £ x < l ,	0 < # < 2 ) .
	D	(O ^ J fs S 1,	0 s£t/=sS 1).
3478.	\\e**«dxdy	(O ^ J fs S 1,	0 s£t/=sS 1).
		(Q ^ x s S 1,	0= sg # < 1).
	У е т п ?	( 0 s S x c 1, 0 ^ # < ;1 ) .
	У е т п ?
*“ •У <n $V		( Q < x < l , 0 < # < 1).
*“ •У <n $V
3482.	$ $ х sin (х + #)&<*#	(0=ssx==sл,	0 < # < я/2).
	D
3483.	55x2yex«dxdy	(0 = s = x < l,	0 < # < 2 ) .
	D
3484.	5 5 Х*Уcos (х#2) dx dy	(0 s £ x ^ n / 2 , 0 < # < 2 ) .

Д в о й н о й и н т е г р а л . П р о и з в о л ь н а я о б л а с т ь

В задачах 3485— 3497 найти пределы двукратного интеграла

55/(*> У)dx dy при данных (конечных) областях интегрированияD:

3485. Параллелограмм	со сторонами х = 3, х = 5, Зх — 2# +
+ 4 = 0, Зх — 2# + 1 = 0.
3486. Треугольник со сторонами х = 0 , у—(У, х + # = 2 .
3487. ха+ у2*=£ 1, х === 0,	у^ 0.

$ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

215

3488.

je +

i/ sgl,

х — y ^ U

x^sQ.

3489.

ySzX2, У < А —X2.

3490.

^- + ^

3491.

( * - 2 ) 2 +

(г/ -3)2< 4 .

3492.

D ограничена

параболами

y = x2 и у = У х .

3493.

Треугольник со

сторонами

у — х,

у = 2х и х + у — 6.

3494.

Параллелограмм

со

сторонами

у = х,

у = х-\-3,

у=>

<= —2х-\-1,

у = — "2%-f 5.

3495.

у —2 x ^ 0 ,

2у — х ^ 0 ,

х у ^ 2 .

3496.

1/2< ; 8х, у

2х,

у-\-4х —24=^0.

3497.

ограничена

гиперболой

ф — хг = \ и

окружностью

дса + ^а = 9 (имеется

в виду

область,

содержащая

начало

коор

динат).

задачах 3498— 3503

изменить порядок

интегрирования!

У у

у) dx.

Vl— х*

3498.

\ d y \ f (дс,

3499.

$ f{x , у) dy.

—l

У2гх—х*

'i—x*

V 2

3500.

$ dx

f{x,

у) dy.

3504 .

f ix, y) dy.

—2

- —

2х

2 6 - *V2

3502.

[d x \ fix ,

y) dy.

3503.

\dx

]

fix ,

y)dy.

l x

3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное

выражение в

виде

одного

двукратного интеграла:

2—х

\dx\fix,

y)dy+ \ dx $

fix , y)dy;

*»

(3— x )/2

l d x \ fix ,

y)dy+ \ dx

fix ,

y)dy;

* !/a

1 — У4Х — x‘ — 3

$dx

fix , y)dy+ \ dx

y)dy.

3505. Представить двойной интеграл \\f ix, y)dxdy, где D —

области, указанные на рис. 62, 63, 64, 65, в виде суммы дву кратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 64 и 65, составлены из прямых линий и дуг окружностей.

В задачах 3506— 3512 вычислить данные интегралы:

	a	Vx	1	Ч			3)	2	In у
3506.	1) \dx [ dy, 2)		i	dx	j	dy;	3)	$ dy \| e*dx.
	0	0	i	x				1	0
3507,	\\ у<Жх<1#НЭ.= руг				+	г/8	R*.

216 гл. ХП. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3508.	^ ( х 2		у) dxdy, D —область, ограниченная		параболами
У = Х2 И	о
У = Х2 И	—
3509.	^	^ *, dx dtj, D —область, ограниченная прямыми х = 2,
	*о			1.
у — х и гиперболой х у =				1.
3510.	55 cos (x-\~y)dxdy, D —область, ограниченная прямыми
	‘о	и у = х.
х = 0, у = я		и у = х.
3511.	^	V \— х2 — у2 dx dy, D —четверть круга х2 +			у2 < 1, ле-
	D
жащая в первом квадранте.
3512.	5 5		V I — х3 — У* dx dy, D —область, ограниченная ли-
	о
нией jc3+	t/3= l		и осями	координат.
3513.	Найти		среднее	значение функции z — \2 — 2x — 3y в об
ласти, ограниченной прямыми 12 —2лс — Зу= 0, х = 0,					у = 0.

3514.	Найти	среднее значение функции z = 2x + y в треуголь
нике, ограниченном осями			координат и прямой х-\-у = 3.
3515.	Найти	среднее значение функции г = х			6у в треуголь
нике, ограниченном прямыми у = х,				у = Ьх и х — \.
3516.	Найти	среднее	значение	функции z =	У R2 — х2 — у2
в круге	x2+ y 2^ R 2.

s 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

217

Тр о й н о й и н т е г р а л

Взадачах 3517— 3524 вычислить интегралы:

3517.

[dx\dy\dz.

3518.

$ d x \dy j (x + y + z)dz.

3519.

\dx\dy^xyzdz,

3520.

^dx^dy $ x3y3z dz.

t — 1

e— x — 1

x + y + e

3521.

{

(

dx du dz

^ — область, ограниченная

плоско-

(X+ y -|-г+ 1)3'

= 0,

x +

г/+г = 1.

стями x =my =

3523.

^^xydxdydz,

£2 — область,

ограниченная гиперболиче-

//= 1 H Z =

0 ( Z ^ 0 ) .

ским параболоидом z = xy и плоскостями х +

3524.

SSS ycos(z~\-x)dxdydz,

Q — область, ограниченная ци-

линдром y = Y x

и плоскостями

г/ — 0,

z = 0

и х + г = л/2.

§3. Интегралы в полярных, цилиндрических

исферических координатах

Д в о й н о й и н т е г р а л

задачах

3525—3531

перейти

двойном

интеграле

$ J / (х,

y)dxdy

к полярным координатам р

и <р (х = р cos <р, у =

= psin«p), и расставить пределы интегрирования:

3525.

D —круг:

х2+

у2

/?2;

2) х2+ у2«г: ах\ 3) х2-\-tf^ b y .

3526.

D —область,

ограниченная окружностями

х2 + у1 = 4х,

х2 + у* = 8х и прямыми у = х

и у = 2х.

3527.

D —область,

являющаяся

общей

частью

двух

кругов

и r2+j/2< l)}(.

прямыми у = х, у = 0 и х = 1.

3528.

D —область, ограниченная

3529.

D —меньший

из

двух

сегментов,

на

которые

прямая

х + у =

рассекает

круг х2 -j- у1==s 4.

3530.

D —внутренняя

часть

правой

петли

лемнискаты Бер

нулли

(х2 + у2)2 = а2 (х2— у2).

у ^ 0 ,

3531.

D —область,

определенная

неравенствами x;s=0,

(х2+

у2)3с

4а2х2у2.

двойные

интегралы

преобразовать к по

задачах

3532— 3535

лярным

координатам:

VR‘ -X ‘

V'lRy—y1

3532.

/ (х, у) dy.

3533.

$ dy

/ (x,

у) dx.

R/2

2 1 8 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

V R 2 - *

3534.

$ 4 *

/ (*2 + У2) dy.

V«*—

R / V 1 + й*

8535.

* j j ( £ ) < i y +

Я / / 1

+ « !

задачах 3536— 3540 с помощью перехода к полярным коор

динатам вычислить двойные

интегралы:

YR1—х»

3536.

$ dx

In (1 + х2 +

у2) dy.

3537.

$ $ /

dx dy,

где

область

определяется

нера-

y^ Q .

венствами х* + У2;®£1» xSsQ ,

3538.

^ ( h — 2x — 3y)dxdy,

где

D —круг х2+ у 2*^1Р.

3539. \ \ У R2 — x* — у2 dx dy, где D — круг

x2 - f

3540.

^ J

arctg у

dx dy, где

D — часть

кольца

х2 + 1 / ^

x2+

f ^

?/<xVr3.

3541.

Показать, исходя из геометрических соображений, что

если

декартовы

координаты

преобразовать

по

формулам

х =

= а р costp,

«/ = 5psin ф

(а

и Ь —постоянные), то

элементом пло

щади будет

da = abpdpd(p.

В задачах 3542—3544, используя результат

предыдущей за

дачи

и выбрав

подходящим образом а

и Ь, преобразовать двой

ные интегралы:

3542.

$$/(* . y)dxdy,

где

область

ограничена

эллипсом

3543.

\\f(x,

у) dx dy, где

D — область,

ограниченная линией

(*2 +

f )2 =

3544.

£ |* f(^/~4 —^

dx dy, где D —часть эллиптического

кольца,

ограниченная

эллипсами ^

^ =

и ле

жащая

перром квадранте.

$ 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

2 t9

3545.

Вычислить

интеграл

tydxdy,

где £>— область,

огра-

ниченная эллипсом

х? .

лежащая

первом

квадранте.

^ +

3546.

Вычислить интеграл $ \ V xydxdy, где D —область, огра-

ниченная линией

и лежащая в первом квадранте.

Т р о й н о й и н т е г р а л

задачах

3547— 3551

перейти

тройном

интеграле

Ш / ( * . у, z) dxdydz

цилиндрическим

координатам р,

ср, г

г/ = р sin ф,

2= 2)

или

сферическим координатам р, б,

(x= p coscp ,

<р ('JC= р cos ф sin 6,

г/ =

р sin ф sin 0,

г =

pcosQ)

и расставить

пре

делы интегрирования:

3547.

Я — область,

находящаяся в первом октанте и ограничен

ная

цилиндром

зР+ tf — R2 и

плоскостями

2= 0,

2 = 1 ,

у — х и

y = x V 3.

3548.

Я — область,

ограниченная цилиндром х2+ у2 = 2х,

пло

скостью

2= 0

и параболоидом z — x2 + y2.

3549.

Я — часть

шара

д^+ ^ + г 2^ / ? 2,

лежащая

первом

октанте.

3550. Я — часть

шара

лежащая

внутри ци

линдра (х24- у2)2= R2 (х2— г/2)

(х ^ О ).

х2-\-у*-Yг* ^

х2+

3551. Я —общая

часть

двух

шаров

+ y2 + ( z - R ) 2^ R 2.

интегралы с помощью пере

В задачах 3552—3556 вычислить

хода

к цилиндрическим

или

к сферическим координатам:

Y l —x*

У2х— х*

а _ _ _ _

3552. \dx

dy\dz.

3553.

^dx

dy\zV x2-\-tj*dz.

У«а—х2

___

У Нг—х2—у‘

3554.

(х2+ if) dz.

— л

— _______0

Y i -

У 1 —хг—y'a

___________

3555.

\dx

У x2 + y2 + z2 dz.

3556. ^l\(x2 + y2)dxdydzt

где

область

определяется

нера

венствами 2^

d x d y d z --------- ^

рде

й _

ш а р

х 2 + у г +

г г ^

3557 •ш У ^ + у 2+ ( г - 2)2‘

3558.

dxdydz

где

Я — цилиндр

х%+

ф У jp + jP + k - * )2

220 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§4. Применение двойных и тройных интегралов

Об ъ е м т е л а . 1

Взадачах 3559—3596 найти двойным интегрированием объ емы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в усло вия задач параметры считаются положительными):

3559. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 я <f=4 и параболоидом вращения z = x2 + tf-{-1.

3560. Плоскостями координат, плоскостями х = а, у = Ь и

эллиптическим параболоидом 2= ^ + ^ -

3561. Плоскостью ~ - + у + ^- = 1 и координатными плоско

стями (пирамида).			у —0,	2= 0, 3x+i/ = 6,
3562.	Плоскостями				3x + 2i/= 12		и
x-\-y-\-z = 6.
3563.	Параболоидом вращения z = х2 + у2, координатными пло
скостями	и плоскостью х + у = 1.
3564.	Параболоидом		вращения г — х2-\-\^ и плоскостями г = 0,
у = 1, у = 2х и у = 6 —х.				у = 2 У х и плоскостями г = 0
3565.	Цилиндрами	у = У х ,					и
x + z = 6.	Координатными плоскостями, плоскостью 2х-\-Зу—12= 0
3566.
и цилиндром г — ф/2.		2= 9 — 1/®,
3567.	Цилиндром			координатными	плоскостями		и
плоскостью 3.с + 4«/= 12			(i/SsO).
3568.	Цилиндром	2= 4 — х2,		координатными	плоскостями		и
плоскостью 2x + y = i		(ДС5гО).
3569.	Цилиндром 2i/ = x, плоскостями -£ + у				+ 4- =	1 и г = 0.
3570.	Круглым цилиндром радиуса г, осью которого					служит

ось ординат, координатными плоскостями и плоскостью ~ + -| -= 1.


3571.		Эллиптическим цилиндром Х^“- + i/®= 1, плоскостями			2 =
е= 12 — 3* —4у И 2 = 1 .			х2+ у2 = R2 и x2 + z2 = R2.
3572.		Цилиндрами
3573.		Цилиндрами	х2
			2 = 4 — 1/®, у = у и плоскостью 2= 0.
3574.		Цилиндрами	л^э	и плоскостью	2= 0
			x2-\-y2 = R2, г = ^
(х ^ 0 ).		Гиперболическим параболоидом z = х2 — у2 и плоскостями
3575.
2 = 0,	А’= 3.			г = ху, цилиндром yt=>
3576.		Гиперболическим параболоидом
= У х	и плоскостями		x - f у = 2, у = 0 и 2 = 0.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3922 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб127Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб173Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб15Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб142Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб14Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб26Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб81Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб18Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб28Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб46Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб128Сборник задач по подземной гидравлике..pdf