книги / Статистический анализ временных рядов

396

СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Гл. 6 .

1„

а с — некоторая постоянная. Докажите, что если

(Ш)

R * = { x \ f t (х) >

ftJo (х) + kJ i (х)}

(iv)

[ f2 (x )d x > j /2 M dx.

Я*

(Указание. Вклад интегралов по R*

f| R в обеих частях (iv) одинаков. Сравнить

интегралы от /2(х)

по R*

П R и

П R с соответствующими интегралами o r

kjo W +

kifl (x).)

13.

(Разд. 6.3.2) Докажите, что область R

=

(—~со, с) не может удовлетворять.

сильна в противном случае соотношению

О )

Jс

( Q i

- | i )

hi (Qt I Q

0 ................... Q

, _ , ;

V

i '* ) dQt = 0 ,

где

—oo

00

vl-'VQi.)

(ii)

H

=

j

Qiht (Qi I Qo,

. . . .

Q,_i;

— 00

14.

(Разд.

6.3.2)

Пусть

для

некоторого

стационарного процесса

а (h) ~

yi+l равна

Ра — Р?

Рз — Р1 Р3 4~ P i — З р хр 2 + Р 1Р 2

1 — 2p? +

2pfp2— р\

ниц выше и на Г — j

единиц ниже главной диагонали, и равных 1, / = 0, 1, ....

..., Г — 1.

;

20. (Разд. 6.5.3) Докажите,

что матрицы Сг и

отличаются только теми;

элементами, для которых s, t <

г и (Т — s + 1), (Т — / + 1) < л

УПРАЖНЕНИЯ

39Г

26. (Разд. 6.6.1) Сформулируйте теоремы

6.4.1

и 6.4.2 для случая, когда*

S#/ = р и е — характеристический вектор матриц А0, ...,

А0.

27. (Разд. 6.7.1) Пусть вектор

у при 7 = 4

имеет плотность

(О

4

к ( у о,

Y i) e

- (v »°»+ V lQ ,)/2 ,

где

Q0= 2

Qi = y2i +

У2—И4+

уЬ< ^(То. VI) =

(То— Vi)/(2n)*

и l Y i K

/=1

распределения величин Q0и Qp

< у0. (а) Покажите, что плотность совместного

равна

(Ю

То2 - •V2

e - ( v . e . + v lQ ,)/2)

—

О <

I Q ,

I < Q 0.

(Указание. (у0 + Vi) (У\ + 4

$ и (Vo — ?i) (Уз +

у\) независимы и имеют распре­

деление ОС2с двумя степенями свободы каждая.) (Ь) Покажите, что плотность сов­

местного распределения величин Q0и г =

Qi/Q0равна

2

2

(Ш)

То -

Vi e-(v.+v.^)Q./2Qoi

| л | < 1.

8

(c) Покажите, что маргинальная плотность для Q0при yi Ф 0 равна

(iv)

Yo ~~Yl- |e~(Vo—Vl)(?<l/2—

(Vo+Vi)Qo/2]j

QO 5, Q.

4YI

(d)

Найдите условную плотность для г при заданном значении Q0. (е)

Найдите мар­

гинальную плотность для г.

28.

(Разд. 6.7.1) Пусть вектор х

имеет плотность

/ (х, 0),

где

0 £ Q. Пред­

положим, что Q — достаточная статистика для 0 и что существует группа преоб­

разований g

векторов х, порождающая соответствующую группу преобразований

g статистик Q. Предположим также существование такого значения q0статистики

Q, что для любого значения qi этой статистики

найдется такое преобразование^

при

котором gqi = q0. Тогда распределений всякой статистики г,

инвариантной-

УПРАЖНЕНИЯ

399

вав теорему

6.7.5

с Л 1 = 2 (Я* — 1) и L =

2, убедиться в справедливости (52)

для Я =

Я*.)

37.

(Разд. 6.7.4)

Докажите

теорему 6.7.4

путем обращения (69). (Указание.

н

Показать, что и =

2

(v/ — Я)

имеет (при и > 0) плотность

/- 1

1

2

е

Я) (V/— Я)я“"2

vm+i < Я < vm, /л =1........ Я — I.

/(“)

~ н -------------•

/-i

П

(v /— v*)

fc=l

кф!

400

СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Гл. 6.

0 4=

1 — 302 + 0*.

46.

(Разд. 6.7.7) Покажите, что в лемме 6.7.10

Л8=

1

— 302 — 20з = (1 — 20) (1 + 0)2,

Л4=

1

—402 =

(1 — 20) (1 + 20).

47.

(Разд. 6.7.7) Покажите, что в лемме 6.7.11

Са = 1 — 20

Cs =

1— 20 — 0а +

203 =

(1 —20) (1 — 02),

С4=

1 — 20 — 202+ 403 =

(1 — 20) (1 — 203),

С6 =

1 — 20 — 302+ 603 +

04— 206 = (1 — 20) (1 _ 3 0 2 +

04).

48.

(Разд. 6.7.7) Покажите, что если ух Ф 0 и е = (1, 1, ...» 1)'

является ха­

скому корню 1, то производящая функция моментов

получаете! из производя­

нием последней на Кг (Yo* Yi)/^o (Yo) и УУоКУъ + Yi) •

49.

(Разд. 6.7.7) Покажите,

что

F (0) G (0) =

2

| "j F(/) (0) G(n- / ) (0),

^ д е FV\&) == dfF (B)/d& и G(/)(0)

=

dJG (0)/d0^. (Указание. Провести доказатель­

ство яо индукции (по аналогии с теоремой о биноме).)

50.

(Разд. 6.7.7) Покажите, что если / (0) =

0, а / ^

(0) существует и конеч­

н а , л «

1, ..., Я — 1, то

dnfH (в)

- 0,

п = 0, 1, . . . , Я — 1.

Мп

0=0

^Указание. Использовать

предыдущее

упражнение, полагая

для доказательства

УПРАЖНЕНИЯ

401

51.

(Разд. 6.7.7) Покажите, что если G(/l) = 0, п = 0, 1, ...»

Т — 1, и ф (0) =

= F (0) [1 +

G (0)1, то

Ф (2) =

1 + 0* +

. . . ,

ф ( 4 ) =

1 + . . . .

. . .' .

ф* (3) =

1 — 0 + 02 —

(Ь)

Проверьте (116) и (117) для Т — 3.

58.

%Qlh, h =

=

1, 2, 3, 4, из соотношения Qi =

Qj +

г |.

59.

(Разд. 6.7.7) Выразите ф5, фе, Ф7и ф8с помощью v i.......

v8, не предпола­

гая выполнения условия v2/__i =

0.

60.

(Разд. 6.7.7) Для

случая,

когда

основывается

на сумме квадратов по­

следовательных разностей, покажите, используя (129), что

=

0, к =

1, 2, ...,

для Т =

1

и 2,

что v2/ =

1/(2/), / =

1 ,2 , ...,

для Т =

3 и что v2/ =

!//. / =

=

1, 2,

...,

для

Т =

4.

61.

(Разд. 6.7.7) Для случая, когда Q*j основывается на сумме квадратов по­

следовательных разностей, покажите, что ф* =

0, к =

1 ,2 , ...,

для

Т = 1 и 2,

что ф3= 5/16 и ф8=

35/128 для

Г =

3 и что ф8= 35/8 для Т — 4.

Покажите

также,

что £/-,6= 5/1024

и %г\&=

35/32768 для

Т =

3 и

что

=

112/21879

для Т = 4.

62.

(Разд. 6.7.7)

Найдите v10, ф10, SQ?10и

для модели с последователь­

ными разностями.