книги / Статистический анализ временных рядов

376 СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Гл. 6.

Таблица 6.2

ТОЧНОЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКОГО СЕРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ, СТРОЯЩЕГОСЯ ПО ОСТАТКАМ ОТ ВЫБОРОЧНОГО

*) Значения, соответствующие «бета р 4я q», получены Диксоном (1944) для бета-распределе­

b = cos 2я/7\

Хеннан (1960) предложил использовать для аппроксимации тот факт, что величина г\ + \/Т распределена приближенно как пирса

нрвский коэффициент корреляции г, построенный цо Т + 3 наблю-

6.8. АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 377

дениям. Действительно, если взять

то величина У~Т z асимптотически распределена по закону N (0, 1).

где f (Т) — достаточно просто вычисляемая функция, незначитель­ но превышающая единицу.)

Численное сравнение некоторых указанных аппроксимаций при­ ведено в табл. 6.2. Следует отметить, что бета-аппроксимация оказы­ вается здесь весьма точной для значений Т, начиная с 15 или 20. Использование г дает значительно меньшую точность аппроксима­ ции; для большинства целей ее можно считать хорошей лишь при Г > 30.

6.8.2 . Аппроксимация распределений сериальных корреляций, основанных на последовательных разностях

Точное распределение коэффициента г*{, основанного на после­

довательных разностях, было выписано в явном виде Хартом и фон Нейманом (1942) для Т = 3, 4 и 5. Для значений Т = 6 и 7 были численными методами найдены необходимые интегралы и получены

соответствующие таблицы. Для Т —8,9,... плотность распределения г* аппроксимировалась несколькими членами ряда

Последний был выбран по той причине, что коэффициент г\ имеет

симметричное распределение, принимает значения в интервале (—cos п/Т, cos л,IT) и его плотность в точках ±cos п/Т имеет поря­ док убывания 772 — 2. Из этого ряда были взяты первые четыре члена (/ = 0, 1, 2, 3). При этом коэффициенты выбирались таким образом, чтобы с точными моментами rj совпали первые три четных

момента аппроксимирующего распределения. Для Т = 7 получает­ ся хорошее согласие с точным распределением. На множестве зна­ чений функции распределения от 0.00678 до 0.07020 ошибка не пре­ восходит 1.7%. Восьмые моменты точного и аппроксимирующего

Янг (1941) рассмотрел подбор симметричного бета-распределе­ ния по второму и четвертому моментам г*. В этом случае

Следует отметить, что b соответствует здесь cos п/Т ~ 1 — 9/(2Т2). Таблицы, насчитанные Янгом (с использованием для определения b выражения (35)) для 5- и 10-процентных точек, согласуются в пре­ делах трех знаков после запятой со значениями, приведенными в табл. 6.3 (за исключением одного) для Т 8. Следующее правило

можно рассматривать пирсоновский коэффициент корреляции г, построенный по N = Т + 3 наблюдениям. Тогда, чтобы получить ЮОе-процентную точку для г\, достаточно умножить ЮОе-процент-

ную точку для г на [1 — 9/(2Т2)]. При Г > 15 значения, получае­ мые с помощью этого правила, отличаются от значений, указанных в табл. 6.3 для уровней 0.05 и 0.1, лишь в третьем десятичном знаке. Замена {1 — 9 /(2 Т2) 1 на cos л/Т приводит к еще меньшему раз­ личию.

Еще одна аппроксимация состоит в том, что полагают b = —а =

Отсюда вытекает, что вместо г\ можно рассматривать пирсоновский

коэффициент корреляции г, соответствующий N = Т + 3 наблю­ дениям. О степени приближения можно в какой-то мере судить по табл. 6.4.

Таблица 6.4

Указанный сериальный коэффициент корреляции также распре­ делен асимптотически нормально. Следует отметить, что об исполь­ зовании г здесь можно сказать то же, что и об использовании г — ИТ в циклическом случае.

Колонки табл. 6.4, обозначенные «Харт», взяты из табл. 6.3. Значения в колонке, помеченной буквой г, подсчитаны заменой г*

пирсоновским коэффициентом корреляции с N = Т + 3. Числа в колонке, обозначенной Ьг, получены умножением соответствующих им чисел в соседней колонке (неокругленных) на b — 1 — 9/(2Т2).

В качестве примера рассмотрим данные табл. 6.5, представляю­ щие собой отношений общего числа голосов, поданных за кандида-

Т&В от республиканской партии, к общему числу голосов, поданных за кандидатов от демократической партии, на выборах в палату представителей в 1920—1954 гг.

Таблица 6>5

ОТНОШЕНИЕ ОБЩЕГО ЧИСЛА ГОЛОСОВ, ПОДАННЫХ ЗА РЕСПУБЛИКАНЦЕВ, К ОБЩЕМУ ЧИСЛУ ГОЛОСОВ, ПОДАННЫХ ЗА ДЕМОКРАТОВ, НА ВЫБОРАХ В ПАЛАТУ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ

В 1920—1954 гг. *

* Statistical Abstract of the United States [Бюро переписей США (1955, табл. 390, стр. 330)].

Соответствующие статистики равны здесь

Наблюдаемое значение г* значимо отличается от 0, с уровнем значимости 0.0 1 .

6.9.СОВМЕСТНЫЕ И УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

6.9.1.Совместные распределения

Совместное распределение р сериальных коэффициентов корре­ ляции г\, ..., г* можно найти, в принципе, из характеристической

функции. Как и в случае отдельного коэффициента, распределение