книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

тогда, принимая во внимание, что е определяется по формуле (т. 2, (3.14.3))

ре = °ре + m • b = °ре + |b|2 —b • h, (2.13.24)

после подстановки (2.13.23) и (2.13.24) в (2.13.19) приводим ОТТ к следую­ щему виду:

Г. Общий вид определяющих соотношений для упругих электромаг­ нитных сред с малыми деформациями

Рассмотрим идеально-упругие электромагнитные среды, для которых ак­

Подставляя (2.13.29) в ОТТ (2.13.27), приходим к следующим определя­

(2.13.29) полагают квадратичной функцией векторных и тензорных аргумен­ тов:

%%

Здесь фо —ёо —вщ — начальное значение свободной энергии; cv{6 ) — тепло­ емкость; 4С — тензор модулей упругости; рь — симметричный тензор второго ранга — тензор магнитной проницаемости; к — симметричный тензор второго ранга — тензор диэлектрической проницаемости; и — тензор второго ранга, называемый тензором магнитоэлектричества; 3М е и 3М/г — тензоры третьего ранга, симметричные по вторым и третьим индексам (в силу симметрии тензора е): dM e = dMe , dM/j = , называемые тензором пьезоэлектрических коэффициентов и тензором пьезомагнитных коэффи­ циентов соответственно; /3 = 4С • • а (где а — тензор теплового расширения); qh — вектор пиромагнитного эффекта;

а = 4С • • в - е • 3М е - h • 3M/i - /М,

Эти соотношения совместно с (2.13.17) и (2.13.18) образуют полную систему определяющих соотношений для упругих электромагнитных сред.

Е. Уравнения термомеханики

Система уравнений термомеханики, состоящая из уравнений термоупруго­ сти и теплопроводности, для рассматриваемого типа электромагнитных сред

Эту систему дополняют выражением для пондеромоторной силы (т. 2, (2.10.16а)) с учетом малости деформаций:

Подставляя (2.13.37) в уравнение баланса энтропии (2.13.34), приходим к

где qe — вектор пироэлектрического эффекта.

Подставляя выражение (2.13.31) в (2.13.30), получаем определяющие со­ отношения для модели линейно-упругих электромагнитных сред.

Ж. Замкнутая система уравнений термомеханики и электродинамики

Система семи скалярных уравнений электродинамики (уравнения (2.13.17г) и (2.13.17д), как всегда, исключаются из общего числа), трех скалярных уравнений движения (2.13.33) и скалярного уравнения тепло­ проводности (2.13.38), в которые подставлены определяющие соотношения (2.13.18), (2.13.32), соотношения Коши (2.13.35) и выражение (2.13.36) для пондеромоторной силы, является замкнутой системой относительно семи скалярных электромагнитных функций (компонент векторов е и h, а также плотности заряда ре), трех компонент вектора перемещений и и температу­ ры в:

Граничные и начальные условия к этой системе имеют вид (2.13.7), (2.13.8), (2.13.15); к ним также добавляют условие для электрического заряда при t = 0: ре = ре0.

Все перечисленные выше уравнения образуют постановку связанной за­ дачи термоэлектроупругости для проводящих сред с поляризацией и на­ магниченностью.

Часто рассматривают постановку задачи электродинамики без учета вли­ яния напряженно-деформированного состояния. В этом случае для проводя­ щих сред с поляризацией и намагниченностью имеем следующую систему

состоящую из семи скалярных уравнений относительно семи скалярных неиз­

2.13.6. Упругие диэлектрики с поляризацией и намагниченностью

Для диэлектриков электрические заряды и электрические токи отсутству­ ют, поэтому в системе уравнений (2.13.17), (2.13.33), (2.13.38), (2.13.18), (2.13.32), (2.13.35) (2.13.36) следует принять

В результате число неизвестных в (2.13.39) и число уравнений сократится на единицу.

Несмотря на это сокращение, указанная система остается достаточно сложной, поэтому обычно принимают дополнительные допущения. Например, для модели квазистатических процессов с малым уровнем электромагнит­ ных воздействий полагают, что можно пренебречь:

1)инерционным членом в уравнении движения (2.13.33);

2)скоростями изменения электромагнитных величин в уравнениях Макс­ велла (2.13.40);

3)вкладом электромагнитных и механических величин в энтропию;

4)квадратами электромагнитных величин в уравнении движения (2.13.33) после подстановки в него (2.13.36) и (2.13.21), поскольку полагают справедливыми следующие неравенства:

Всилу отсутствия электрических токов и электрических зарядов (2.13.42),

атакже в силу допущения 2, уравнения Максвелла (2.13.17) сводятся к

следующей системе:

Первые два уравнения этой системы допускают простые интегралы:

где Ф и U — скалярные поля, называемые магнитным и электрическим потенциалами соответственно. Очевидно, что выполняются соотношения

В результате остаются только два скалярных уравнения электродинамики (2.13.44) относительно двух скалярных функций U и Ф. Эти два уравнения решают совместно с системой уравнений термомеханики (2.13.32), (2.13.33),

266 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

d = к • е + 3М е • • е + и т • h + qe $,

e = i( V ( g ) u + V (g > u T), Ь = ^ Ф , e = - W .

Граничные условия к системе (2.13.47) для электромагнитных величин обычно записывают в виде заданных значений потенциалов Ue и Фе или потоков электрической и магнитной индукции dne, Ъпе\

и \Т:и = ие, Ф|Еф = Фе или п • d |E^ = dne, n • b |Efc = bne. (2.13.48)

Механические и тепловые граничные условия имеют вид (2.13.15):

приходим к постановке квазистатической задачи термоэлектроупругости для диэлектриков с поляризацией и намагниченностью относительно шести скалярных неизвестных функций:

не связана с задачей электроупругости и может быть решена независимо. Уравнения электродинамики и теории упругости в системе (2.13.47) за счет наличия тензоров пьезоэлектрических и пьезомагнитных коэффициентов 3М е и 3М/г остаются связанными и решаются совместно.

Если же рассматривают сплошные среды, являющиеся диэлектриками, но не обладающие пьезоэлектрическими и пьезомагнитными эффектами, т. е. для которых 3М е = 0 и 3М/г = 0 (например, для изотропных сред эти тензоры всегда нулевые, см. [18]), то задачи электродинамики и теории упругости в системе (2.13.47)—(2.13.49) также становятся несвязанными.

В частном случае, когда отсутствуют еще и пироэлектрические, пиро-

которые образуют постановку задачи электростатики (2.13.52) и магнито­ статики (2.13.53).

Несложно заметить, что постановки этих задач совпадают формально с постановкой стационарной задачи теплопроводности, если температурное поле в(хг) в теле не зависит от t:

Методы решения всех трех задач (2.13.52)—(2.13.54) одинаковые.

В частности, если тело изотропное, то тензоры х, ц и Л шаровые: х = хЕ,

Г л а в а 3

У П Р У Г И Е С Р Е Д Ы С К О Н Е Ч Н Ы М И Д Е Ф О Р М А Ц И Я М И

§ 3 .1 . З а м к н у т ы е с и с т е м ы у р а в н е н и й д л я у п р у г и х ср е д в п р о с т р а н с т в е н н о м о п и с а н и и

3.1.1. вR U V F -система уравнений термоупругости

Перейдем к формулировке задач для общего случая упругих, т. е. идеаль­ ных твердых сред с произвольными конечными деформациями, определяющие соотношения для которых были установлены в т. 2, §§ 3.5-3.9. Для твердых сред с конечными деформациями эта формулировка включает в себя две группы уравнений:

•законы сохранения (т. 2, (2.12.5));

•определяющие соотношения.

Общая система законов сохранения (т. 2, (2.12.5)) в пространственном

Вообще система законов сохранения (т. 2, (2.12.5)), как отмечалось, со­ стоит из шести групп уравнений ( а = 1, ..., 6), суммарно образующих 18 скалярных уравнений: 1 + 3 + 1 + 1+ 9 + 3 = 18. Однако после добавления к этой системе определяющих соотношений необходимо исключить из системы (т. 2, (2.12.5)) одно из уравнений термодинамики. Действительно, вспомним (см. т. 2, § 2.5), что часть определяющих соотношений эквивалентна ОТТ, которое было получено суммированием двух уравнений термодинамики (см.