книги / Системы экстремального управления

оптимизатора ДАО (см. § 23.3), реализующего оптимальное уп­ равление объектами первого рода [7.25].

§ 7.6. Идея оценки установившегося значения приращения показателя качества при управлении объектом второго рода принад­ лежит В. В. Казакевичу, который ее развил для инерционностей различного порядка. Первый порядок рассмотрен в работе [7.26], второй порядок — в [7.27] и n-й порядок — в работе [7.28]. Эта идея легла в основу экстремального регулятора, оптимизирующего ра­ боту энергетического котлоагрегата [7.18].

§7.7. На задачу адаптации частоты поискового сигнала при изменяющейся инерционности экстремального объекта впервые об­ ратил внимание Р. Б. Кузин в работе [7.32]. Однако раньше В. К. Обабковым [7.33] была предложена схема адаптации фазы поиско­ вого сигнала, позволяющая компенсировать сдвиг фазы в объекте оптимизации с изменяющимися динамическими свойствами.

Кглаве 8

§8.3. Применение цепей Маркова к анализу поведения шаговой системы экстремального регулирования в обстановке помех впер­ вые сделано А. А. Первозванским в работе [8.3]. Дальнейшие иссле­ дования в этом направлении обобщены в монографии Г. А. Медведе­ ва и В. П. Тарасенко [8.5], где представлен весьма эффективный ап­ парат, разработанный авторами, опирающийся на теорию графов.

§8.4. Стохастическая аппроксимация является скорее не ме­ тодом решения экстремальных задач в обстановке помех (хотя она

иможет применяться для решения некоторых практических задач оптимизации как обычный градиентный метод), а некоей концеп­ цией, точкой зрения, позволяющей с формальных позиций рассмот­ реть проблему адаптации. Эта концепция сводится к следующему: каждое наблюдение состояния объекта, как бы парадоксально оно ни было, должно быть так использовано для перестройки параметров адаптируемого объекта, что в пределе объект будет вести себя оп­ тимально. Это обстоятельство позволило Я. 3. Цыпкину показать, что значительная часть процессов управления может быть представ­ лена как реализация процесса стохастической аппроксимации [8.6].

Более подробное знакомство с методами стохастической аппрок­ симации можно осуществить по обзору Н. В. Логинова [8.7] и кни­ ге М. Вазана [8.8].

Вопрос о применении стохастической аппроксимации к объек­ там с дрейфующими свойствами рассмотрел Я. 3. Цыпкин в ра­ боте [8.10]. Однако дрейф в этом случае должен быть регулярным

иописываться дифференциальными уравнениями, параметры ко­ торых определяются адаптивно в процессе оптимизации.

Кглаве 9

§ 9.1. Пороговая фильтрация рассмотрена в работе ав­ тора [9.1].

§ 9.3. Схемы адаптивного накопления в процессе экстремаль­ ного управления рассмотрены автором в работе [9.2].

§ 9.4. Идея применения последовательного накопления [9.5] к задачам экстремального управления в обстановке помех впервые упоминается в книге Е. А. Башаринова и Б. С. Флейшмана [9.6]. Однако систематическую разработку исследовательского накопле­ ния в экстремальных регуляторах произвел H. Е. Маджаров в ра­ ботах [9.3—9.41. Его результаты и приведены в этом параграфе.

§ 9.5. Вопрос о целесообразности применения фильтра в экст­ ремальных системах с непрерывной помехой расмотрен в работе автора [9.7].

Кглаве 10

§10.2. Глобальный оптимизатор, описанный в этом парагра­ фе, использован для автоматической настройки каскадов усиления радиопередатчика [10.1]. Поиск с разведкой разработан И. Б. Моцкусом [10.3].

§10.3. Идея поиска, минимизирующего на каждом шагу энт­ ропию, принадлежит 10. И. Неймарку и Р. Г. Стронгину [10.4],

[10.5]. Ими этот подход назван «принципом максимума информа­ ции». Существенной особенностью предложенной методики являет­ ся учет априорных сведений о характере поведения функции каче­ ства объекта. Эти сведения представляются в виде конечно-разност­ ного уравнения для функции качества, параметры которого задаются в виде дискретных вероятностных распределений. Это обстоятель­ ство позволяет построить хотя и громоздкую, но весьма эффектив­ ную процедуру поиска для объектов широкого класса. Это направ­ ление интенсивно разрабатывает Р. Г. Стронгин [10.6—10.10].

Алгоритм, описанный в этом параграфе, пе учитывает априор­ ных сведений о характере поведения функции качества. С одной сто­ роны, это удобно, так как далеко пе всегда такие сведения имеются. Но при наличии априорных данных изложенный алгоритм будет менее эффективен (потребует большего количества экспериментов для достижения того же эффекта), чем алгоритм, способный учиты­ вать априорные данные [10.10].

Кглаве 11

§11.2. Пример задачи о распределении припуска взят из кни­ ги Э.З. Гачинского и Л. Н. Фицнера [11.1].

§11.5. В этом параграфе приведен подход к оптимизации, ти­ пичный для методов планирования экстремальных экспериментов

[11.3—11.5]. Этот метод следует отнести к экстраполяционным ме­ тодам оптимизации, так как за идентификацией должна последовать операция определения экстремума на полученной модели. Он весь­ ма эффективен при простой структуре показателя качества, когда аппроксимация (11.5.6) эффективна. Однако существует широкий класс объектов даже не очепь сложных, для которых очень трудно определить систему функций, по которым разлагается выход объек­ та. Именно это обстоятельство заставляет обращаться к другим ме­ тодам поиска экстремума показателей качества сложных систем.

Кглаве 12

§12.3. Более подробно с методом штрафных функций, его теорией и многочисленными примерами можно познакомиться по книге [12.3].

Кглаве 13

Математюеские основы многопараметрической оптимизации связаны с вычислительными методами решения систем уравнений. Поэтому более подробно ознакомиться с методами, рассмотренны­ ми в этой главе, можно по руководствам учебного и справочного характера. К ним, прежде всего, следует отнести [13.1, 13.2].

К главе 14

Для первоначального знакомства с методами покоординатного спуска следует рекомендовать книгу А. А. Первозванского [14.5]. С теорией метода более подробно можно ознакомиться по книге Л. С. Гурина [14.7] и статье P. С. Гутера [14.8].

Глобальность шагового метода покоординатного спуска при случайном выборе координаты спуска показана впервые И. Л. Ан­ тоновым [14.2], которому удалось определить вероятностные свой­ ства такого поиска в замкнутой форме, т. е. в виде формул, что само по себе является примечательным фактом, так как это чрез­ вычайно сложная задача даже в простейшей ситуации.

§ 14.5. С методом параллельных касательных более подробно можно ознакомиться по книге Д . Уайлда [14.6].

К главе 15

Метод градиента является одним из наиболее разработанных методов оптимизации. С теорией метода можно ознакомиться по книге Л. С. Гурина и др. [15.3] и отатьям Т. Б. Поляка [15.4] и С. М. Мовшовича [15.5].

Кглаве 16

§16.2. Метод наискорейшего спуска, предложенный Л. В. Кан­ торовичем, является наиболее теоретически обоснованным мето­ дом. Это связано прежде всего с тем, что он является эффективным вычислительным средством [16.1, 16.7, 16.11, 16.12] решения сис­ тем алгебраических уравнений. Однако для плохо обусловленных овражных задач метод обычно не применяется ввиду слабой сходи­ мости.

§ 16.3. С теорией метода сопряженных градиентов можно ознакомиться по монографии [16.10] и учебнику [16.12].

§ 16.4. Идея метода «тяжелого шарика» для целей оптимиза­ ции впервые предложена японцами [16.3] и получила развитие

в работе [16.4], Следует отметить, что инерционность алгоритма поиска является типичной формой адаптации алгоритма к длитель­ ному спуску в одном направлении.

§16.5. См. комментарии к § 8.4.

Кглаве 17

Идея использования случайного поиска для целей оптимизации впервые предложена в работе [17.8] и нашла свое развитие в работах автора [17.3, 17.5, 17.7] и его сотрудников [17.9]. Многочисленные применения случайного поиска (см., например, [17.10—17.12]) дают основания считать, что он является перспективным методом оптими­ зации сложных миогопараметрическнх систем. Подробная библио­ графия работ по теории и применению случайного поиска [17.19] содержит 760 наименований.

§ 17.5. Идея использования коллектива независимых стоха­ стических автоматов принадлежит 10. И. Неймарку [17.13], который совместно со своими учениками исследовал возможности оптимизи­ рующего коллектива [17.14—17.16]. Этот метод был применен для определения структуры игрового автомата [17.17]. Коллектив име­ ет весьма интересную бионическую подоплеку. Он моделирует вза­ имодействие биологических систем и их частей. Эта идея дает боль­ шую пищу для интуиции, столь полезной при синтезе новых методов управления вообще и экстремального управления в частности [17.18].

Следует отметить, что «обычные» алгоритмы случайного поиска, рассмотренные в §§ 17.1—17.4, также имеют автоматную интер­ претацию. Она рассмотрена подробно в книге автора и К. К. Ри­ ны [17.20]. Разница с подходом 10. И. Неймарка заключается в том, что коллектив автоматов принимает решение о направлении шага детерминированно (17.5.1), а изменяет свое состояние случай­ но. В противоположность этому случайный поиск с самообучением (§ 17.4) обучается детерминированно (17.4.21), а принимает реше­ ние случайно. Однако во многом эти алгоритмы эквивалентны, что показано в [17.20].

Кглаве 18

§18.4. Предложенный Л. Н. Фицнером алгоритм [18.2] и его модификация [18.3] работоспособны на инерционном объекте за счет эффекта уменьшения влияния инерционности при снижении

скорости управляющих воздействий (см. § 2.2). Говоря строго, это

— алгоритмы управления безынерционным объектом, но приспособ­ ленные для управления объектами с незначительной инерцион­ ностью.

Кглаве 19

§19.1. Понятие овражной ситуации впервые введено И. М. Гельфандом и М. Л. Цетлиным в работе [19.1]. Овражность функ­ ции качества является весьма распространенным свойством

реальных задач оптимизации. Это объясняет многочисленные неудачи решения практических задач некоторыми распространенными ло­ кальными методами (градиента, наискорейшего спуска и т. д.). Так, плохая обусловленность задач представляет собой не что иное, как наличие оврагов, что и порождает трудности в их решении гра­ диентными методами. Предложение о введении «шага по оврагу» позволяет снять или во всяком случае смягчить плохую обусловлен­ ность задачи.

§ 19.4. Процедура овражного поиска, предложенная И. М. Гельфандом и М. Л. Цетлиным, подразумевает одномерность дна оврага. Это и объясняет ее неэффективность при наличии оврагов с многомерным дном. Для решения последней задачи указанную про­ цедуру следует модифицировать. Это сделано автором [19.3].

К главе 20

Задачи глобальной оптимизации многоэкстремальных объектов представляют собой наиболее широкий класс задач поисковой оп­ тимизации. Именно поэтому в последнее время возник острый инте­ рес к методам решения таких задач. Довольно полный обзор методов глобальной оптимизации имеется в работе [20.26].

§ 20.5. Идея организации глобального поиска, использующего теорему Бернштейна [20.5], принадлежит Д . Б. Юдину, [20.5, 20.6] и Р. 3. Хасьминскому [20.7]. Доказанная ими сходимость имеет асимтотический характер. К сожалению, автору не известны рабо­ ты, где бы блуждающий поиск применялся для решения конкрет­ ных задач глобальной оптимизации.

Идея введения случайных скачков в процессе градиентного по­ иска использовалась давно. На этой основе предложено много ком­ бинированных алгоритмов (см., например, [20.14, 20.15]). Но эти процедуры не гарантировали сходимости к глобальному экстремуму. Э. М. Вайсбордом и Д. Б. Юдиным предложено варьировать момент появления скачка так, что процесс асимптотически сходится при определепеых не очень обременительных условиях. Этот алгоритм по сути своей является комбинированным, так как со­ четаются пспрерывная и градиентная оптимизация и дискретные скачки.

§ 20.6. Использование самообучения случайного поиска для его’ «глобализации» предложено автором [20.8].

§ 20.7. Идея применения сглаживания многомерной функции для целей сведения многоэкстремальной задачи к одноэкстремальцой принадлежит Д. Б. Юдину [20.5]. Она довольно быстро завое­ вала признание и получила широкое развитие в работах И. Петер­ сена [20.20], В. В. Захарова [20.21] и В. Я. Катковника [20.18, 20.25]. Интересное развитие этой идеи предложил Я. 3 . Цыпкин [20.24], который ввел понятие сглаженного рандомизированного функционала. Рандомизация здесь появилась в связи с тем, что сглаживание происходит путем введения случайных вариаций пара­ метров. Плотность распределения этих вариаций эквивалентна весовой функции. Я. 3 . Цыпкиным показано, что в зависимости от различного вида плотности распределения можно получить извест­ ные алгоритмы градиентного и случайного поиска.

Идею упрощения мпогоэкстрсмальной задачи с последующим се усложнением в процессе локальной оптимизации предложил В. Н. Варыгин [20.29]. Это — сугубо эвристическая процедура, опи­ рающаяся на гипотезу о том, что многоэкстремальность можно снять путем упрощения задачи. Предложенный алгоритм дает воз­ можность решать чрезвычайно сложные задачи оптимизации дина­ мических систем автоматического управления.

К главе 21

Проблеме беспоискового решения задач оптимизации посвяще­ на большая литература. Это направление имеет ярко выраженный математический характер, так как математическая модель объек­ та предполагается известной и задача оптимизации сводится к зада­ че построения вычислительного алгоритма решения соответствую­ щей вариационной задачи. Аналитические методы решения этой за­ дачи могут быть подразделены на два класса: итерационные и алго­ ритмические (неитерационные). В свою очередь среди итерацион­ ных методов выделяются градиентные методы, которые реализуют аналитически известный градиентный метод оптимизации. Именно эти методы и образуют основу для создания беспоисковых систем экстремального управления.

§21.2. Впервые понятие чувствительности применил для ре­ шения задач оптимизации М. Л. Быховский [21.1].

§21.3. Беспоисковая идентификация статического объекта рассмотрена впервые H. С. Райбманом и В. М. Чадеевым [21.4]. Динамический объект рассматривался в работах С. М. Юсупова [21.2, 21.7]. Дифференциальный метод оптимизации с моделью пред­ ложен В. И. Васильевым [21.6] и реализован для идентификации

четырехполюсников автором совместно с Л. К. Лапковским [21.5]. § 21.4. Схему беспоисковой оптимизации динамического объек­

та с моделью исследовал И. Е. Казаков [21.3].

К главе 22

Многокритериальные задачи оптимизации являются, пожа­ луй, самым молодым направлением экстремального управления. Основной проблемой здесь является изыскание эффективных спо­ собов введения дополнительной информации, которая необходима для отыскания единственного решения.

§ 22.4. Пути синтеза скалярного глобального критерия, ми­

Организация глобального критерия в виде взвешенной суммы нормированных критериев и экспертный способ определения ве­ сов предложены В. Л. Волковичем [22.3, 22.4].

К главе 23

Создание промышленных экстремальных регуляторов и универ­ сальных оптимизаторов связано с именами В. В. Казакевича [23.4, 23.6], Л. И. Фицнера [23.1—23.3], H. М. Александровского [23.17], К. Б. Норкина [23.5], автора [23.20] и других [23.14—23.16]. Всего было предложено много схем и конструкций. Однако внедрены не­ многие. Основным препятствием к внедрению автоматических опти­ мизаторов является наличие поисковых сигналов, которых не

П.14. И в а х н е н к о А. Г., Самообучающиеся системы распозна­ вания и автоматического управления. «Техника», Киев, 1969, стр. 53 -147 .

П.15. П е р в о з в а н с к и й А. А., Поиск. «Наука», 1970.

П.18. Самонастраивающиеся системы. Под общей ред. П. И. Чинаеева. «Паукова думка», Киев, 1969, стр. 25—117.

1.8.Теория автоматического управления. Под ред. А. В. Нетушила. «Высшая школа», ч. 1, 1.968; ч. II, 1972.

1.14.Основы автоматического управления. Под ред. В. С. Пуга­ чева, Физматгиз, 1963.

1.15.Современная теория систем управления. Под ред. К. Т. Леоп-

1.18.К а з а к е в и ч В. В., Об экстремальном регулировании. Сб. «Автоматическое управление и вычислительная техника», вып. 6. «Машиностроение», 1964.

№6,. 1960.

1.23.Автоматическая оптимизация управляемых систем. ИЛ, i960.

Кглаве 2

2.1.С о л д а т о в В., Математическое программирование. «Нау­ ка», 1966.

2.2.Ю д и н Д. Б ., Г о л ь ш т е й н Е. Г., Линейное программи­ рование. Теория, методы и приложения. «Наука», 1969.

2.3.10 д и н Д . Б., Г о л ь ш т е й н Е. Г., Линейное программи­ рование. Теория и конечные методы. Физматгиз, 1963.

2.6.Г а с с С., Линейное программирование (методы и приложе­ ния). Физматгиз, 1961.