книги / Системы экстремального управления

Дворецкого. Однако при определенных видах показателя качества некоторые из требований (16.4.4) можно снять. Так, для объектов типа квадратичной формы процесс поиска будет сходиться быстрее, если g = const и а — = const, т. е. величины пробных и рабочих шагов не уменьшаются. Это связано с тем, что квадратичная форма гарантирует несмещенность оценки (16.5.2), о чем говори­ лось в § 15.1. С другой стороны, градиент квадратичной формы уменьшается по мере приближения к цели, что и обеспечивает сходимость поиска.

Как видно, априорные сведения об объекте могут зна­ чительно убыстрить сходимость процедуры стохастической аппроксимации.

Метод стохастической аппроксимации гарантирует отыскание точного положения экстремума функции ка­ чества в обстановке помех при N оо. Однако при реше­ нии практических задач такой необходимости пет. Реаль­ ные задачи всегда решаются с конечной точностью — нужно попасть в заданный район цели. Это заставляет модифицировать метод, изменяя характер зависимостей

O .N = f (N) и gN = ф (N).

Методы случайного поиска отличаются от регулярных (детерминированных) методов оптимизации намеренпым введением элемента случайности. Это означает, что в од­ ной и той же обстановке решение о направлении рабочего шага, принятое по методу случайного поиска, будет раз­ ным. Однако подобное «случайное» поведение является не только целесообразным, но в большом числе случаев и более эффективным, чем регулярное поведение.

Метод случайного поиска является прямым развитием известного метода проб и ошибок, когда решение ищется случайно, и при удаче принимается, а при неудаче отвер­ гается с тем, чтобы немедленно снова обратиться к слу­ чайности как к источнику возможностей. Такое «случай­ ное» поведение разумно опирается на уверенность, что случайность содержит в себе все возможности, в том числе и искомое решение во всех его вариантах.

Метод проб и ошибок является универсальным методом решения задач при недостаточной априорной информации об объекте. Он моделирует случайный поиск, имеющий место в природе, которую по праву можно считать изобре­ тателем случайного поиска.

Одним из проявлений эффективного случайного поиска в природе являются законы эволюции, открытые Ч. Дарвиным,— естественный и искусственный отбор. Здесь элемент случайности проявляется в виде мутаций, которые имеют случайный характер. Эти мутации могут либо улуч­ шить, либо ухудшить приспособительные свойства особи. В первом случае эта особь имеет больше шансов на выжи­ вание и, следовательно, на закрепление полученной мута­ ции в потомстве, чем во втором. Так, случайные мутации с последующим отбором (искусственным или естественным) являются могучим фактором прогресса в живой природе. А это не что иное, как случайный поиск.

параметров. Положительная реакция R+ следует за вы­ полнением в объекте цели управления, т. е. при устойчи­ вой реакции гомеостата. Она сохраняет в объекте те па­ раметры, которые привели к достижению цели. Алгоритм такого поведения удобно записать так:

при R ,

(17.1.7)

при R

Как легко заметить, такой алгоритм работы системы во­ обще и гомеостата в частности имеет целесообразное пове­ дение, направленное на поиск и сохранение в системе стабильного состояния, которое обеспечивает положи­ тельная реакция 7?+. Этот алгоритм естественно назвать алгоритмом с «наказанием» случайностью, так как слу­ чайное воздействие S вводится как реакция на неудачу в процессе управления.

Таким образом, смысл и содержание рассмотренного алгоритма случайного поиска заключается в том, чтобы случайно перебирать параметры системы до тех пор, пока не будут найдены такие, которые обеспечивают выполнение заранее сформулированных условий. В случае гомеостата таким условием является отыскание устойчивого состояния системы. Очевидно, что такой способ поведения представ­ ляется наиболее целесообразным в том случае, когда у управляющего устройства нет никаких сведений о струк­ туре объекта, т. е. он представляет собой «черный ящик».

Однако для работы этого алгоритма необходимо фор­ мально определить, что считать устойчивой и неустойчи­ вой работой гомеостата. Известно, что система однородных дифференциальных уравнений вида (17.1.1) имеет един­ ственное устойчивое решение хг — хг = х3 = ж4 = 0. Поэтому в основу критерия устойчивости можно положить

ние сделать не мгновенным, а инерционным, т. е. реагиро­ вать на состояние системы не мгновенно, а через некоторое время наблюдения. За это время переходные процессы в системе затухнут и указанный критерий будет объек­

Естественно теперь задать вопрос: всегда ли можно найти параметры, при которых гомеостат окажется устой­

ложительную реакцию, т. е.

обеспечивающие устойчивость гомеостата. Решение за­ дачи заключается, таким образом, в случайном отыскании хотя бы одного элемента второго множества за конечное число шагов поиска (под шагом поиска здесь подразуме­ ваются однократный случайный выбор параметров гомео­ стата и определение, к какому классу они относятся, т. е. проверка устойчивости). Ясно, что для этого необходимо, чтобы оба подмножества были примерно одинаковы. Это означает, что при случайном переборе всех возможных параметров «представители» подмножества {Л*} должны встречаться не слишком редко. Тогда при случайном пе­ реборе элементов множества всех возможных параметров

вероятности процесс поиска закончится в конечное время и гомеостат обязательно придет в устойчивое состояние.

Представим работу гомеостата как функционирование некоторого стохастического автомата, действующего в слу­ чайной среде. С точки зрения управления гомеостат следует «расслоить» на среду и управляющее устройство УУ (рис. 17.1.3). Под средой здесь подразумевается динами­ ческая система (17.1.2), а управляющее устройство рабо­ тает в соответствии с алгоритмом случайного поиска (17.1.8). Динамическую систему следует привести в устой­

да Q. Стохастическая матрица, характеризующая функцио­

очевидно, существенно зависит от величины Р. Чем боль­ ше Р, тем быстрее находится решение и тем эффективнее работает гомеостат.

Стохастический характер поведения гомеостата, как видно, определяется двумя факторами: оператором слу­ чайного шага S и неопределенностью среды, которая зависит от неизвестного случайного фактора ситуации Е.

Граф алгоритма работы гомеостата показан на рис. 17.1.4. Здесь кружками обозначены события — поло­ жительная и отрицательная реакции, а стрелками — условные переходы между ними. В скобках записаны усло­ вия этих переходов. Пунктирная стрелка показывает пере­ ход, не предусмотренный алгоритмом и соответствующий

потере устойчивости гомеостата за счет случайного воз­ действия Е.

Отметим, в заключение, некоторые характерные осо­ бенности алгоритма управления гомеостатом/: В этом управлении имеются два резко противоположных режима работы поиска. В первом, «наказуемом», системе предла­ гаются различные случайные варианты управления. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено удовлетворительное решение ((? ^ Ô), после чего включа­ ется второй режим, когда в виде «поощрения» система сохраняет найденные в первом режиме параметры.

Щ > 9 )

Рис. 17.1.4. Граф алгоритма гомеостата (линейная тактика).

Будем такой способ поведения называть линейным, а тактику такого поиска — линейной тактикой.

Как видно, линейная тактика отличается сохранением того управления, которое привело к успеху. Эта тактика имеет несколько «педантичный» характер, но вполне ра­ зумна и обоснованна при управлении не слишком слож­ ными системами (под сложностью в данном случае подра­ зумевается не число параметров, а структура задачи). В большинстве случаев линейная тактика управления приводит к эффективным результатам.

§ 17.2. Случайный поиск с линейной тактикой

Линейная тактика, как сказано выше, отличается тем, что действие, которое привело к удаче, сохраняется и далее. Применим эту тактику для оптимизации объекта.

Одним из алгоритмов случайного поиска, использую­ щего линейную тактику, является гомеостатический поиск построенный по алгоритму гомеостата (17.1.9)

Здесь определяется такой вектор оптимизируемых пара­ метров X*, который обеспечивает выполнение неравенства

распределенный равномерно в зоне допустимых парамет­ ров, т. е. S G S.

Гомеостатический поиск представляет собой случайное сканирование и его целесообразно применять только тогда, когда вероятность Р отыскания решения, удовлет­ воряющего неравенству (17.2.2), достаточно велика. Эта вероятность определяет среднее число шагов случайного поиска, необходимых для решения задачи:

Как видно, при малых значениях вероятности Р среднее число шагов поиска велико.

Рассмотрим пример применения этого алгоритма — один из способов решения системы линейных алгебраиче­ ских уравнений:

П

i= l

где ац и cj (i, / = 1, . ., гг) — заданные величины, — неизвестные. Образуем функцию невязки

3=1 i= 1

минимум которой равен нулю и, следовательно, соответствует решению задачи X*. Уравнение

определяет гиперэллипсоид в пространстве искомых пере­ менных {X}. Если теперь взять точки Xi (i = 1, . т\, равномерно распределенные внутри этого гиперэллип­ соида:

то их среднее определяет центр гиперэллипсоида и, сле­ довательно, является оценкой решения X*:

т

Задача, таким образом, сводится к отысканию случайных точек Xi, удовлетворяющих неравенству (17.2.8). Это проще всего сделать, используя случайный поиск, рас­ смотренный выше. Успех этого поиска в значительной мере определяется величиной вероятности Р. Если она мала, то целесообразность применения этого алгоритма

нение этого алгоритма явно не оправдано, так как связано с большими временными затратами. Причина этого заклю­ чается в том, что рассмотренный гомеостатический алго­ ритм случайного поиска решает вопрос об отыскании ре­ шения в принципе. Он лишь гарантирует конечность вре­ мени отыскания решения. Вопросы же быстродействия не решаются этим алгоритмом, так как он предназначен для управления объектами самого широкого класса с един­ ственным ограничением, связанным с конечностью вероят­ ности отыскания решения.

Однако в задачах экстремального управления часто имеются дополнительные сведения об объекте, напримёр о характере поведения его показателя качества при”раз­ личных управлениях. Эта информация дает возможность применить новые алгоритмы управления, уже решающие вопросы быстродействия с учетом имеющихся дополни­ тельных сведений об объекте. Такие дополнительные све­ дения об объекте оптимизации, прежде всего, несет его функция качества Q (X), которую требуется минимизи­ ровать. Нетрудно заметить, что сведения о гладкости ги­ перповерхности Q — Q (X) могут помочь в значительной степени убыстрить процесс оптимизации, так как при этом