книги / Системы экстремального управления

решение. Это решение принимается на базе информации, получаемой с объекта управления. Если эта информация мала, то и управление будет приближенным. Если же объем полученной информации достаточно велик и в пол­ ной мере описывает состояние объекта, то управление будет точным. Таким образом, всякому акту управления предшествует идентификация объекта, в процессе которой получается информация, необходимая для построения управления. Объем этой информации может быть разным: от минимального до максимального. В первом случае процесс поиска будет многошаговым с последовательным уточнением на каждом шагу, а во втором — может быть одношаговым, когда при идентификации получено полное описание объекта, необходимое для реализации целей управления.

Как легко заметить, первый случай в экстремальном управлении соответствует простейшему поиску, а вто­ рой — определению функции качества объекта Q (X) (точнее, определению тех сведений об объекте, по которым можно выяснить положение экстремума X*). Рассмотрим

Эти сведения должны нести информацию о том, в классе каких функций искать модель ÇM(X). Это означает, что необходимо иметь аналитическое описание модели

с точностью до конечного ряда параметров

которые должны быть определены в процессе идентифи­ кации объекта и определения модели:

где F — известная функция, заданная на основе апри­ орных сведений об объекте.

Наиболее простой формой модели может служить квадратичная форма

где а — постоянный член, А' — матрица коэффициентов п X п, А" — «-мерный вектор, а квадратными скобками

А' (ац = a,ji) и п компонент вектора А".

Как видно, описание модели в виде квадратичной формы требует при большей размерности задачи определения большего числа неизвестных постоянных. Это наиболее существенный недостаток квадратичной модели.

изведения. В этом случае существенным является выбор класса функций (фг (X)}. Эти функции для хорошей ап­ проксимации объекта должны отражать специфику объек­ та. Так, для квадратичного объекта система функций Ф (X) должна быть набором определенных квадратичных форм, линейная комбинация которых описывает объект.

Так или иначе, но предполагается, что функция QK (ХМ) известна с точностью до параметров А, которые должны быть определены в процессе идентификации объекта.

Этой мерой задача идентификации параметризуется, т. е. сводится к определению конечного числа парамет­ ров ах, a2i ., ат. Таким образом, априорные сведения об объекте необходимы только для определения вида функции Q№(Х/А). Как только вид этой функции опре­ делен, можно переходить к процедуре идентификации.

результатам замеров функции качества в заданных со­ стояниях. А во второй — определяются состояния, в ко­ торых необходимо произвести замеры, чтобы при задан­ ном N модель имела наибольшую точность, т. е. заданный

вестных параметров воспользуемся методом наименьших квадратов. Для этого составим функцию невязки объекта и его модели в наблюдаемых точках:

N

где N > т. Очевидно, что для определения А достаточно минимизировать эту невязку по параметрам А , т. е. ре­ шить систему из т уравнений:

дд (А)

да. = 0 (i = 1 , .. . ,т)

или в развернутой форме

ДdQ tX JA )

Для решения этой задачи можно воспользоваться, на­ пример, методом Ньютона, рассмотренным ниже, в § 13.4. Если вычисление частных производных dQ/dai представляет трудности или невозможно, то следует вос­ пользоваться прямой поисковой минимизацией функции

Естественно, чем меньше эта сумма, тем точнее модель.

Инаоборот.

Величина J, как нетрудно заметить, зависит от рас­

Задача оптимальной идентификации сводится к выбору такого ряда состояний Х15 ., X N ( и л и , как говорят, плана), при котором показатель J принимал бы мини­ мальное значение, т. е. к решению следующей экстре­ мальной задачи:

где S — область, в которой допустимо выбирать состоя­ ния Xi. Таким образом, задача оптимальной идентифика­ ции сводится к минимизации функционала J.

План, удовлетворяющий условию (11.5.14), называют ^-оптимальным (где D обозначает дисперсию; правильнее его было бы назвать .D-минимальным, так как дисперсия минимизируется) [11.3].

Для синтеза плана, прежде всего, нужно уметь опре­ делять функционал (11.5.13). Сначала исследуем зависи­ мость идентифицируемых параметров от плана Х г,

., XN - Пусть функция качества представляется в виде разложения (11.5.6) по заданной системе функций

к=1

где коэффициенты <pki и ф* зависят от Ху.

N

7=1

Как видно, (11.5.17) является системой линейных алге­ браических уравнений, решение которой методом Кра­ мера [11.2] имеет вид

где матрица М называется информационной матрицей

| М |— ее определитель, Мк — матрица,полученная из матрицы Фишера (11.5.21) путем замены ее к-то столбца на столбец из правых частей системы (11.5.17), т. е. стол­

11 i=i fc=x

изадача (11.5.14) сводится к минимизации функционала

где в числителе стоит сумма квадратов определителей всех

т. е. свести к максимизации определителя матрицы Фи­ шера.

П р и м е р . Пусть имеем одномерный и линейный объект

Q (X, А) = ах + а2х.

Надо построить £>-оптимальный план из N экспериментов Х1У ., X JV в зоне S : 0 ^ х ^ 1. Матрица Фишера в этом случае принимает вид

Решение очевидно: хг = 0; x2 — i или xx = 1; x2 — 0. Таким образом, задача идентификации вообще, а оптимальной идентификации в частности связана, прелю­ де всего, с процессом многопараметрической оптимиза­ ции, т. е. с решением задач (11.5.9) или (11.5.26). Оче­ видно, что идти на идентификацию следует только тогда, когда объект не допускает поиска и поэтому следует ми­

нимизировать число экспериментов с объектом.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧИ

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

§ 12.1. Задачи оптимизации в открытой области (необходимые и достаточные условия экстремума)

Рассмотрим сначала математические методы решения задачи многопараметрической оптимизации при отсут­ ствии ограничений (ограничения могут быть, но заранее предполагается, что точка экстремума удовлетворяет всем ограничениям).

Задача сводится, таким образом, к отысканию поло­

Переменные хг, ., хп при этом считаются независимыми, так как ограничений нет или, точнее, они не играют роли.

Рассмотрим сначала необходимые условия существо­ вания экстремума. Введем понятие стационарной точки [12.1]. Стационарной точкой принято называть такую точку пространства параметров, где все частные произ­ водные равны нулю. Стационарная точка может опреде­ лять положение экстремума п «седла», которое является аналогом точки перегиба в одномерной задаче.

Необходимым условием экстремума непрерывной функ­ ции является либо стационарность этой точки, либо отсут­ ствие частных производных в ней. Таким образом, для отыскания экстремума следует, прежде всего, найти ста­ ционарные точки, координаты которых определяются из следующей системы уравнений:

(12.1.2)

и точки отсутствия хотя бы одной частной производной. Однако эти точки не обязательно будут экстремумами.

Так как точка {х\, xl) предполагается стационарной, то оба слагаемых первого порядка равны нулю. Обозначим

Это — уравнение кривой второго порядка. Из теории этих кривых известно, что точка <хг = а2 = 0 является ло­ кальным экстремумом (а не седлом и т. д.), если

имаксимумом в противном случае.

Вобщем случае многих переменных достаточные ус­