книги / Системы экстремального управления

Для последовательного накопления получаем из (9.4.9) для малых Р

(9.4.17)

Сопоставление следует производить в одинаковых услови­ ях, т. е. при одинаковых Р, что требует для первого алго­ ритма объема накопления

а для последовательного —порога (9.4.8). Подставляя эти выражения в (9.4.16) и (9.4.17), можно произвести строгое сопоставление алгоритмов.

Однако из формул (9.4.16) и (9.4.17) при высоком уровне помех сразу видно преимущество последователь­ ного накопления. Поэтому последовательное накопление при больших ст менее чувствительно к изменению наклона характеристики объекта, чем фиксированное накопление. Это обстоятельство и делает последовательное накопление более эффективной процедурой, чем фиксированное, так как при изменении наклона характеристики объек­ та вероятность ошибочных шагов при последовательном накоплении изменится в меньшей степени, чем при фикси­ рованном накоплении.

§ 9.5. Фильтрация непрерывной помехи в процессе экстремального управления

Рассмотрим случай, когда помеха является непрерыв­ ным случайным процессом е (t) с автокорреляционной функцией вида

с нулевым математическим ожиданием и нормальным распределением. Пусть объект имеет запаздывание Т07 т. е. выход Q (xi) образуется только через промежуток времени Т0. Такая схема, как легко видеть, является простой моделью инерционности, расположенной как на входе, так и на выходе нелинейности. В первом случае То — время отработки команды оптимизатора, т. е. время, необходимое на перевод оптимизируемого параметра из

На плоскости параметров системы поиска х и а,Т0 (рис. 9.5.2) заштрихована зона, где это неравенство удов­ летворяется и где введение фильтрации повышает быстро­ действие системы поиска.

Хорошо видно, что при малой инерционности Т0 или при малом значении параметра а (т. е. при медленно изме­

На рис. 9.5.3 показано поведение среднего быстродейст­ вия (9.5.4) в функции времени фильтрации для различных значений а при Т0 = 0,6 сек и х = 5. Отчетливо видно наличие максимумов быстродействия, которые определя­ ют оптимальное время фильтрации Т*. Очевидно, что время фильтрации Т всегда должно быть оптимальным и конечным, так как при Т -*■ оо быстродействие становит­ ся нулевым (система никогда не сделает рабочего шага). Более того, неправильным выбором Т можно ухудшить быстродействие, не говоря уже о том, что введение осредняющего фильтра аппаратурно усложняет систему поис­ ка. Условия оптимальной фильтрации выглядят довольно

Из этого уравнения для имеющихся параметров поиска а, Т0 и я определяется оптимальное время фильтрации Т*.

В заключение этого параграфа отметим связь, сущест­ вующую между оптимальностью системы оптимизации при максимальном быстродействии и возможностью ошибки.

Система поиска не должна быть «излишне правильной», так как в этом случае она может потерять в быстродейст­ вии и стать неоптимальной. Для иллюстрации сказанного в таблице 3 показаны некоторые режимы работы системы, оптимальные по быстродействию при высоком уровне по­ мех (а/ак = 5). Здесь же в последней графе дана вероят­ ность ошибки. Хорошо видно, что эта вероятность очень велика. Однако несмотря на частые ошибки, система работает оптимально. Так, для рассмотренных в таблице случаев из десяти шагов поиска система делает в среднем около четырех ошибочных, тем не менее она является оптимальной по быстродействию.

Таким образом, ошибочность работы системы не всегда является свидетельством ее неоптимальности. И наобо­ рот, безошибочность (или малая ошибочность) работы в обстановке помех чаще говорит о том, что параметры системы поиска выбраны не оптимально.

До этого мы рассматривали одноэкстремальные объек­ ты. Однако в практической жизни часто встречаются мно­ гоэкстремальные объекты, которые должны быть настрое­ ны на глобальный экстремум (наименьший из минимумов, или наибольший из максимумов). Рассмотрим модели таких объектов и способы отыскания глобального эк­ стремума.

§10.1. Модели многоэкстремальных одномерных объектов

1. Кусочно-линейная модель. Эта модель строится следующим образом:

1=1, ...,7 П

где т — число экстремумов, я* — положение £-го экстре­ мума, Qi — значение показателя качества в £-м экстре­ муме, ki — наклон ха­ рактеристики в районе i-ro экстремума (к{ > 0 ).

Характер поведения этой модели наглядно виден из рис. 1 0 .1 .1 , где показан пример кусоч­ но-линейной многоэкст­ ремальной характери­ стики при определенном значении параметров ki,

X* и Qi. Здесь S* — зо­ на притяжения глобаль­ ного экстремума. Эта

модель удобна тем, что она легко анализируется и просто синтезируется в аналоговой схеме. На рис. 10.1.2 показа­ на аппаратурная блок-схема кусочно-линейной модели многоэкстремального объекта.

2.Экспоненциальная модель с тп экстремумами имеет

вид

ТП

Q (я) = <?0 — 2 °i ехР {— h (х — я*)2}* (Ю.1.2)

1=1

Здесь х* — примерное положение i-ro экстремума (при­ ближенность здесь связана с тем, что оказывают влияние

Рис. Ю.1.2. Блок-схема кусочно-линейной модели.

соседние экстремумы, с увеличением 6г это влияние уменьшается), с* — вес i-ro экстремума (величина Q0 + с,- примерно равна значению показателя качества в i-м эк­ стремуме). Характер поведения экспоненциальной моде­ ли многоэкстремальной функции наглядно виден из

Рис. 10.1.3. Экспоненциальная модель.

рис. 10.1.3, где пунктиром показаны колоколообразные кривые, из которых состоит модель. S* — зона притяже­ ния глобального экстремума.

3. Стохастическая модель строится как ломаная, вер­ шины которой (Xi, Qi) являются случайными величинами

с заданными законами распределения р (х) и р (Q). Например, р (х) — равномерный закон в допустимой области, а р (Q) — логарифмически нормальный закон, который получается из нормального заменой переменной

где Q* — значение глобального экстремума, о2 — диспер­ сия исходного нормального закона, т — его математиче­ ское ожидание. Уравнение стохастической модели можно записать в виде

Аналогично можно построить и другие модели много­ экстремальных объектов.

§ 10.2. Глобальный поиск на объектах без помех

Существует много алгоритмов глобального поиска. Рассмотрим некоторые из них.

А. Сканирование. Простейшим алгоритмом глобаль­ ного поиска является так называемое сканирование, кото­ рое состоит в последовательном переборе всех допустимых

конечное множество допустимых состояний объекта. Тог­ да алгоритм отыскания глобального экстремума методом сканирования записывается в виде

при этом содержимое памяти алгоритма изменяется сле­ дующим образом:

Начальное значение памяти (?о выбирается заведомо боль­ шим экстремального. Здесь содержимое памяти обозначено верхним нулевым индексом. Смысл этих выражений оче­ виден: запоминается лишь то состояние, показатель ка­ чества которого меньше хранимого в памяти.

После перебора всех состояний объекта в памяти оста­ нется положение х* глобального (в данном случае наи­ меньшего) экстремума

к изменению оптимизируемого параметра с постоянной скоростью а и запоминанию при этом наименьшего зна­ чения показателя качества. На рис. 40.2.1 показана

Рис. 10.2.1. Блок-схема глобального оптимизатора.

блок-схема глобального оптимизатора. Его работа состоит из двух этапов.

На первом этапе производится сканирование, т. е. рав­ номерное изменение параметра х исполнительным меха­ низмом ИМ, включенным при помощи ключа Kv Блок памяти П запоминает лишь наименьшее значение (ключ К2 при этом разомкнут).

Во втором этапе ключ К2 замкнут, система начинает двигаться из исходного положения (или реверсируется) и движется до тех пор, пока выход объекта не совпадает со значением, хранимым в памяти П. После этого сработает пуль-орган НО, который выключит ключ Кг и остановит исполнительный механизм, чем и обеспечивается настрой­ ка объекта на глобальный экстремум. Последующее ска­ нирование производится либо в программном режиме (по времени), либо по команде извне, либо при отклонении выхода Q (х*) от значения, хранимого в памяти Q0.

Особенность и преимущество сканирования заключа­ ются в независимости процесса поиска от вида и харак­ тера функции качества Q (.г). Действительно, порядок перебора всех состояний системы никак не связан