книги / Системы экстремального управления

Пусть вектор градиента по первому определению равен grad'Ç (X) = (6 Х, Ьа). (11.3.16)

Тогда его модуль по определению равен

|grad'<?(X)| = / ï f + ^ = - ^ i = Vr“f+ ^ . (Н.3.17)

а направлен он вдоль вектора е (11.3.14), т. е.

и оба определения градиента идентичны. (Аналогичные рассуждения позволяют распространить это утверждение

то градиент ортогонален к касательной линии равного уровня.

На рис. 11.3.6 показаны примеры линий равного уровня с нанесенными градиентами. Как видно, векторы

ортогональны к линиям равного уровня и по модулю обратно пропорциональны расстоянию между этими ли­ ниями.

Еслидвигаться вдоль градиентного направления, отсле­ живая его в каждой точке траектории, то получается линия, называемая градиентной. На рис. 11.3.7 пока­ заны примеры антиградиентных линий, двигаясь вдоль которых можно быстро попасть в минимум.

§11.4. Модели многопараметрических объектов

•Рассмотрим несколько наиболее типичных моделей многопараметрических объектов. В качестве таких моде­

лей можно предложить функции определенного вида. Отличительным свойством этих функций является то, что они отражают различные особенности связи между вхо­ дом и выходом реальных экстремальных объектов. Про­ стейшей является линейная функция.

Рис. 11.4.1. Линин равного уровня линейного объекта.

скалярное произведение. В скалярной форме линейная функция записывается так:

Как видно, вектор А этой функции совпадает с ее гра­ диентом

Следовательно, при А = const градиент линейной модели не зависит от положения системы X. На рис. 11.4.1 по­ казан характер поведения поверхностей равного уровня Q (X) = const, которые для линейной формы являются гиперплоскостями.

Линейная модель хорошо описывает гладкие объекты в малой окрестности. Действительно, разложим функцию качества объекта Q (X) в ряд Тейлора в окрестности точки Х0 и ограничимся линейными членами разложения:

Как видно из этого выражения, при Х 0 = 0 оно совпадает с (11.4.1). Это означает то, что линейное представление (11.4.1) возможно для любой достаточно гладкой функции качества в малой окрестности исходной точки (гладкость здесь необходима для того, чтобы можно было ограни­ читься линейным приближением).

Линейная модель применяется обычно при исследо­

неубывающая функция, равная нулю в экстремуме: /( 0 ) =

где г = | X — X* | — расстояние до цели в пространстве оптимизируемых параметров {X}. Как видно, значение показателя качества этой функции зависит только от расстояния до цели г.

t o Z = T f p

Как видно, первая модель (11.4.11) имеет постоянный модуль градиента (это конус, двумерный случай кото­ рого приведен на рис. 11.4.3, a), a градиент второй модели (11.4.12) увеличивается по мере удаления от экстремума

в районе цели. Наиболее распространенная форма эллип­

Однако и эта модель не отражает всех особенностей пове­

имеется перекрестное влияние параметров. Наиболее про­ стой моделью этого типа является

Д. Квадратичная модель. Она записывается в виде

Q (X ) = Q* + 1А,Х] + [X, (ВХ)]. (11.4.20)

Здесь А = (а1( . ., ап), квадратными скобками обозна­ чено скалярное произведение, В — квадратная матрица вида

Ьц &12 •. • Ь1п о &21 Ьц ... Ь2п

квадратичной формы моделирует наличие минимума в объекте. Рассмотрим, какие условия налагаются при этом на коэффициенты матрицы В.

Для того чтобы квадратичная форма была положитель­ но определенной [11.2], необходимо и достаточно, чтобы

Рис. 11.4.6. Пример квадратичиои модели (А = 0).

все диагональные определители матрицы В были строго положительны, т. е.

Ьц &12 • • •

^kl а • • • bkk

В случае моделирования максимума квадратичная форма должна быть отрицательно определенной, т. е. быть отрицательной всюду, кроме начала координат. На ее параметры при этом налагаются следующие условия:

Положительно определенная квадратичная форма в про­ странстве параметров имеет поверхности равного уровня q (хх, ., хп) — const в виде концентрических эллипсо­ идов с центром в начале координат, ориентация которых в пространстве параметров может быть произвольной (рис. 11.4.6). Часто представляет интерес определить направления главных осей этих эллипсоидов. Делается это следующим образом,

Квадратичная форма считается приведенной к глав­ ным осям, если она имеет вид

g(Êi, in) = h l l + b , l t + + &«& (11.4.30)

Это уравнение является полиномом п-то порядка отно­ сительно X и имеет п корней, которые и определяют ка­ нонический вид квадратичной формы (11.4.23).

Если квадратичная форма положительно определен­ ная, то все ее характеристические числа больше нуля, т. е. bt > 0 (i = 1, ., re). Действительно, если хотя бы одно из них, например bj, было отрицательным, то, пола­

нию положительной определенности квадратичной формы. Таким образом, процедура приведения квадратичной формы к главным осям позволяет свести квадратичную модель (11.4.20) к эллиптической (11.4.30). Действи­ тельно, линейные члены в выражении (11.4.20) не изме­ няют формы поверхностей равного уровня q (хг, ., хп) = = const, а лишь смещают их в пространстве параметров, не меняя при этом ориентации главных осей. Отбрасывая линейные члены, мы смещаем экстремум в начало коор­ динат. Далее, приведя квадратичную форму к главным

осям, получаем эллиптическую модель (11.4.30).

§ 11.5. Идентификация объектов оптимизации

Под идентификацией объекта понимается процесс определения его математического описания, т. е. создание математической модели объекта. Эта задача в той или иной степени возникает на каждом этапе управления вообще и экстремального управления в частности.

Действительно, для того чтобы осуществить управля­ ющее воздействие, его нужно синтезировать, т. е. принять