книги / Системы экстремального управления

Г Л А В А 14

МЕТОДЫ ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА

Рассматриваемые в этой главе методы поиска экстре­ мума функции многих переменных отличаются наличием процесса спуска вдоль выбранного координатного направ­ ления. Это обстоятельство сводит многопараметрическую оптимизацию к однопараметрической, что значительно упрощает процесс оптимизации.

§ 14.1. Метод Гаусса — Зайделя

Этот метод является естественным применением одно­ параметрического поиска к решению задачи многопара­ метрической оптимизации. Смысл его сводится к последо­ вательной циклической оптимизации по каждому из

Рис. 14.1.1. Блок-схема реализации метода Гаусса — Зайделя.

управляемых параметров. Эта задача решается одним одноканальным оптимизатором и блоком управления (ВУ), который последовательно переключает оптимизатор с од­ ного параметра на другой и т. д. (рис. 14.1.1) в момент, когда достигается экстремум по предыдущему каналу.

Алгоритм работы оптимизатора может быть любым цз рассмотренных в главах 4—6. При работе алгоритма

на г-м цикле поиска происходит минимизация показа­ теля качества Q по £-му параметру, т. е. решается одно­ мерная задача зкстремальпого управления

., жп). Показатель качества при этом является функ­ цией одной переменной xt; остальные же параметры оста­ ются неизменными: xj = const (/ Ф i).

Алгоритм поиска оптимального значения параметра xi в дискретном случае записывается в виде рекуррентной

— рабочий шаг, который для различных алгоритмов вы­ глядит по-разному. Так, если выбрать алгоритм с парными пробами (см. § 4.1), получаем для случая минимизации

В непрерывном случае, когда объект является непре­ рывной функцией оптимизируемых параметров, можно воспользоваться непрерывными алгоритмами поиска, ко­

Так, используя алгоритм синхронного детектирования (см. § 6.2), имеем

где / (t) — модуляция, позволяющая выделить производ­ ную показателя качества по оптимизируемому параметру.

Далее будем для простоты рассматривать лишь шаго­ вые алгоритмы одноканального поиска (14.1.2).

Теперь рассмотрим алгоритм работы блока управ­ ления. Этот блок работает так, чтобы процесс оптими­ зации, реализуемый одноканальным оптимизатором,

последовательно охватывал все переменные объекта. Для этого он осуществляет последовательное циклическое пе­ реключение оптимизатора с одной переменной объекта на другую в моменты времени, которые характеризуются определенным поведением объекта

(14.1.7)

где / — номер параметра, к которому подключается опти­ мизатор, Ô — заданный порог. При j — п следует / = 1, чем осуществляется циклическое переключение оптими­ зируемых параметров объекта. Это правило означает, что переход к оптимизации очередного параметра осущест­ вляется не раньше, чем приращение показателя качества по оптимизируемому параметру станет меньше заданного порога Ô.

Другим и наиболее простым алгоритмом БУ является программная оптимизация в течение времени Т каждого параметра. Этот алгоритм опирается на известное свой­ ство экстремального управления, которое лишь умень­ шает показатель качества (с точностью до потерь на рыс­ канье, разумеется). За время Т смещение по каждому параметру будет разным и примерно пропорциональным соответствующей частной производной.

§ 14.2. Работа метода в пространстве параметров

Рассмотрим поведение метода Гаусса — Зайделя в пространстве оптимизируемых параметров {X}. На рис. 14.2.1 показан пример двумерного объекта, который задан линиями равного уровня показателя качества. Пусть скорость изменения оптимизируемого параметра постоянна и равна а:

Тогда показатель качества в процессе оптимизации изме­ няется со скоростью

Очевидно, что в момент прохождения экстремума по t,

легко заметить, будет самым выгодным режимом опти­ мизации. Это условие выполняется в точках Х г, Х2, Х а и т. д. Определим градиент в этих точках. В силу (14.2.3) имеем

gr a d u a ) - (О ,-Ц )

ит. д., откуда следует, что градиент в точках переклю­ чения ортогонален траектории. А так как линии равного уровня ортогональны гради­ енту, то в точках переклю­ чения линии равного уровня будут касаться траектории.

(на рис. 14.2.1 эти линии показаны пунктиром).

Это обстоятельство в зна­ чительной степени облегчает проведение траекторий при

полировать) линию равного уровня, касательную к траектории. Точка касания и

определит момент перехода на оптимизацию другого па­ раметра. Однако в действительности производная dQ/dt оценивается не точно, что приводит к переключению либо раннему, либо позднему и очень редко правильному.

Но продолжим рассмотрение особенностей процесса поиска по методу Гаусса — Зайделя в предположении о возможности точной оценки производной dQ/dt.

Рассмотрим, в каких случаях целесообразно и когда нецелесообразно обращаться к этому методу. Наиболее эффективно применение метода Гаусса — Зайделя к се­ парабельным объектам (см. § И .4), в которых нет пере­ крестного влияния параметров. Модель сепарабельного объекта имеет вид

где cpi (•) — экстремальные функции с минимумом в на­ чале координат:

Отсутствие перекрестного влияния параметров дает возможность лишь однажды обращаться к каждому па­ раметру в процессе опти­ мизации. Действительно, для сепарабельной функ­ цииположение экстремума

по каждому параметру не зависит от значений других параметров. Поэто­ му для решения задачи оптимизации достаточно сделать п спусков (по чи­ слу параметров объекта). На рис. 14.2.2 показана траектория поиска для

двумерного эллиптического объекта. Как видно, задача решается за два спуска и результат не зависит от порядка выполнения спусков.

Таким образом, можно смело утверждать, что метод поочередного изменения параметров (Гаусса — Зайделя) наиболее эффективен при оптимизации сепарабельных объектов или близких к ним.

Однако простота реализации метода стимулирует его применение и для объектов иной структуры.'Рассмотрим работу метода при оптимизации несепарабельной, квадра­

тичной формы вида Q (х1} х2) = (% — х[)2 + (х2 — х2)г —

— р (% — ху){х2 — х2). Эта ’'функция] при р = 0 стано­ вится сепарабельной. Коэффициент р, как^видно, пока­ зывает степень уклонения этой функции от сепарабель­ ной. Естественно оценить влияние этого коэффици­ ента на эффективность поиска.

Для простоты будем рассматривать случай, ко­ гда цель расположена в начале координат, т. е.

xî = х2 = 0 и функция ка* чества имеет вид Q (ж1?

положение системы после одного цикла поиска (под цик­ лом в данном случае подразумевается п однократных спусков).

Для того чтобы определить результат спуска по первой оси, нужно минимизировать по Xj функцию Q (а^, х20) =

= х\ -+- х|0 — рххх20. Ее минимум расположен в точке Zn = ^ у '■>спуск вдоль оси х2из точки (хи , х20) сводится

к минимизации функции Q (хп , х2) = Ха + х^ + рхцХ2. Ее минимум расположен в точке х21 = у р = у х20. Та­ ким образом, один цикл поиска приводит систему к состоянию, определяемому точкой Хх — |у х20, y x 20j ,

где значение показателя качества равно Qi = ^ (4 — р2)х20.

Если изменить порядок спусков, т. е. сначала сделать спуск по х2, а потом по хх, то придем в другую точку:

(у Л1о» у xJ0Y с показателем качества Q2 = ^ (4 — р2)х‘*м.

Теперь оцепим эффективность цикла поиска при по­ мощи отношения

Q foil, *21, . Жп1)

(14.2.8)

Q (х\о, хца, . жп0)

Эта величина характеризует степень уменьшения пока­ зателя качества за один цикл поиска. Для рассматрива­ емого примера получаем в первом случае

16(1+ т3 — рт) ’

где

^ _а-м

хю '

Характерно, что эффективность q зависит лишь от отно­ шения т начальных условий. Определим наихудшее соот­ ношение начальных условий, когда q — max (qmm = 0 при

т = 0). Получаем стандартным приемом qmax = ^ • А начальные условия в этом самом неблагоприятном слу­ чае должны удовлетворять уравнению = 1. Однако

это — самые худшие условия для поиска. Для того чтобы оценить эффективность поиска «в среднем» достаточно представить, что вектор начальных условий Х 0 = (ж10 х20) распределен равномерно по всем направлениям. Это оз­

Из этого выражения видно, что независимо от значения интеграла эффективность поиска уменынаехся с ррстрм параметра ц.

Таким образом, чем более объект отличается от сепа­ рабельного, тем менее эффективно применение метода поочередного изменения параметров.

Значение показателя качества после N циклов равно

Q U N ) 1? U ,) = î f 'V Q U , ) - (14-2.9)

Эта формула обобщает (14.2.8). Здесь qx — значение па­

Как видно, траектория поиска в этом случае пред­ ставляет собой ломаную линию. Определим линии точек

Проведем через точки Х[ и Х'2, а также Х г и Х 2 прямые. Из линейной зависимости векторов Х х и Х2следует, что

2

прямая х2 — — хх является геометрическим местом точек И-

реверса траектории при переходе от оптимизации по параметру хх к оптимизации по параметру х2. Аналогич-

ц

но прямая х2 = -J- ххявляется геометрическим местом точек

излома траектории оптимизации при переходе с пара­ метра х2 на параметр хх (см. рис. 14.2.3). Хорошо видно, что при р. 2 обе прямые неограниченно сближаются, что приводит к крайне невыгодному процессу поиска. В этом случае поиск практически останавливается, так как рельеф превращается в очень узкий овраг.

Бели же перейти к другой системе координат

Ух — Хх “Ь #2, Уй — *1 *2)

то функция качества приобретает сепарабельный вид

Q (ух, У*) = (2 + р) у\ + (2 — |i)ÿ|. Отсюда следует очень важный вывод: метод Гаусса — Зайделя очень

чувствителен к выбору системы координат. В случае, когда соответствующим выбором координатных осей можно добиться сепарабельности, этот метод дает значительпый эффект. Если же добиться этого не удается, эффективность метода существенно снижается.

Рассмотрим работу метода Гаусса — Зайделя в об­ становке ограничений. Пусть, например, следует решить экстремальную задачу вида

X* = (Vs. гк)- Однако, как видно из рисунка, применение

овраг, «дно» которого совпадает с биссектрисой первого квадранта (на рис. 14.2.5 это дно обозначено пунктиром).

Легко показать, что система, однажды попав в про­ цессе поиска в любую точку дна оврага х1 = х2, уже не сможет двигаться дальше с использованием метода Гаус­ са — Зайделя. Для этого рассмотрим поведение в точке

минимум этой функции расположен в точке хх = х1й = 1 и в процессе поиска по хх система должна остаться в том

же состоянии. Если же варьировать второй переменной

убедиться. Следовательно, при варьировании х2 система не выйдет из состояния х2 = 1. На рис. 14.2.5 показаны эти зависимости на дополнительных графиках.

Это позволяет утверждать, что, попав на дно такого

применение метода Га­ усса — Зайделя для решения таких задач чаще всего ука­ зывается нецелесообразным.

В заключение отметим, что достоинства рассмотрен­ ного метода заключаются, прежде всего, в простоте его практической реализации. Его целесообразно применять при оптимизации сравнительно простых объектов. Слож­ ные многопараметрические объекты с большим числом ограничений и оврагов функции качества лучше оптими­ зировать другими методами.

Рассмотрим некоторые модификации метода Гаусса — Зайделя, которые расширяют его возможности.

§ 14.3. Модификации метода Гаусса — Зайделя

Указанные в предыдущем параграфе недостатки могут быть частично устранены за счет определенных модифи­ каций алгоритма. Рассмотрим некоторые из них.

А. Релаксационный поиск. Эта модификация опи­ рается на метод релаксации, рассмотренный в § 13.3.