Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4661 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Системы экстремального управления

..pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
33.28 Mб
Скачать
☆

Теперь рассмотрим влияние инерционности на выходе объекта. Это линейное звено (18.2.4) деформирует g (t) следующим естественным образом:

П

где QQ— стационарное

состояние выхода

объекта,

ау, Фу — амплитуда и

фаза гармонического

сигнала с

частотой и,-, проходящего через линейное звено W (р):

a[j sin (CÙJt + фу) = W (p) atj sin (ojt + fpi;). (18.2.25)

Поэтому для учета инерционности на выходе в дальней­ ших выкладках нужно всюду а,ц и ф{у- заменить соответст-

B G H H O Н й

Q ф {у .

Б. Случайные сигналы поиска. Пусть сигналы поиска fi(t)(i = 1 , ., п) являются случайными и удовлетворя­ ют условиям, указанным в конце предыдущего параграфа. Рассмотрим работу синхронного детектирования в этом случае. На выходе многомерного линейного звена полу­ чаем сигналы вида

 

Уг (0

— Ую +

/и

(*) +

+

f m

(О

 

 

 

..............................

 

 

 

(18.2.26)

 

Уп (0

— УпО +

f i n

(0 +

+

f n n

(*)>

где fij (t)

— сигнал, получающийся

на

/-м выходе при

г-м входе,

равном / г (t), и нулевых остальных, т. е.

 

 

f i j ( t ) =

W U

( p) ft {t).

 

 

(18.2.27)

Предполагая функции

(t) достаточно малыми, получаем

на выходе нелинейного звена

71

 

71 П

 

71

71

На выходе второго линейного звена получаем

П71

<?(1) = Ç. + 2 3 T§rW(p) Wi,IP)tilt). (18.2.29) ;=n=i *

После синхронного детектора, реализующего умножение на fh (0 > и фильтрации получаем

в,= j пW* +1 s -w-гShww(?)w*o>)лw *•

0

J=1i=l

*

O

 

(18.2.30)

Ho

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (P)

(p) /, (J) =

\V ;>Ji (t) f) (f -

1) dt,

(18.2.31)

 

 

0

 

 

 

где fcÿi (T) — импульсная

переходная

функция

звена с

передаточной функцией W (р) Wji (р). Подставляя

(18.2.31) в

(18.2.30) и ограничиваясь

случаем центриро­

ванных функций, получаем при Т

оо

П

11

 

СО

Т

 

Ви “ 2

3

Ж

$

м [4-$ л « /i (‘ -

т>* ] * • (18.2.32)

J=1 1=1

г

о

о

 

Интеграл в квадратных скобках является при Т ->оо корреляционной функцией к-й и /-й случайных функций

Kki(x) — lim

îk (0 /;

*0

(18.2.33)

T-+OQ

 

 

 

которая предполагается известной заранее. Теперь полу­ чаем окончательное выражение для В к:

71 П оо

Bu = 2 2

т г \ A iM * tJ(T)tfr.

j=ii=i

* ÿ

 

Обозначим

 

 

П

oo

 

— 2

j A/i CO

(0

;==10

Тогда

Вк — Ц-Щ- Sik- t=l

(18.2.34)

(18.2.35)

(18.2.36)

Как видно, задача определения составляющих градиен­

та при

случайных сигналах поиска свелась к уже рас­

смотренной выше

(18.2.23),

где lik = Sik. Для этого доста­

точно

вектор В =

Вп) преобразовать

линейно

при помощи матрицы, обратной S = ||S-tj ||.

 

Рассмотрим некоторые частные случаи.

являются

Пусть сигналы

поиска

fj{t) (/ = 1, ..., п)

независимыми случайными процессами. Взаимно корре­

ляционная функция (18.2.3)

в

этом

случае

равна

Яю

Кк(х)

при

к = /,

(18.2.37)

О

 

при

k=f=j,

 

 

 

где K k(т) — автокорреляционная

функция

процесса

/h (t). В этом случае для S tj

получаем

 

 

оо

 

 

 

 

Sik =

^ h'ki (т) Кк(т) dx.

(18.2.38)

 

О

 

 

 

 

Если возмущения /,• (t) (i =

1, ..., п) являются еще и бе­

лыми шумами, для которых

К к (т) = о* Ô(т), где of —

интенсивность шума

f h (t),

ô (t) — дельта-функция, то

в этом случае получаем для S ih следующее выражение:

S ih = hki (0) a l

(18.2.39)

Как видно, S ik=f=0, так как импульсная переходная функ­ ция не равна нулю в начале координат. Следовательно, применение независимых белых шумов в качестве поиско­ вых сигналов для такого синхронного детектирования многопараметрического инерционного объекта дает поло­ жительный результат.

§ 18.3. Экстремальное управление с синхронным детектированием

Рассмотрим динамику экстремального управления многомерных безынерционных систем с применением син­ хронного детектирования.

На рис. 18.3.1 показана блок-схема системы экстремаль­ ного управления этим методом. Здесь выход синхронных детекторов заведен по каналам обратной связи А г, ...,Ап на исполнительные механизмы ИМ , которые реализуют

операцию интегрирования с весом р

0.

Коэффициент

р выполняет роль коэффициента обратной

связи — при

р = 0 связь разорвана и управление

не

реализуется.

Рис. 18.3.1. Блок-схема экстремального управления методом син­ хронного детектирования.

Заметим, что в данном случае фильтры Ф определяют текущее среднее на базе Т:

В{ = -jr [ А&.

(18.3.1)

i—T

 

Рассмотрим работу этой схемы.

Уравнения движения записываются в виде

 

 

 

t

 

 

 

 

 

■JT- — — у -

^

А (0 Q [®i +

А(0> • • • >хп+

/п(01^1

 

 

 

t - T

 

 

 

 

“5Р = —

jr

^

/п (0 Q [^î +

А (0» • • • >хп+

/п (01 dt.

 

 

 

t - T

 

 

 

(18.3.2)

 

 

 

 

 

 

 

Как

обычно,

рассмотрим случай

малых сигналов поиска

fi (0

(i = 1 , ..., п)

и достаточно

гладкой функции каче­

ства Q (X), так что можно ограничиться линейными чле­

нами в ее разложении:

 

 

 

d

 

*

 

 

 

п

 

 

 

S

[ < ? ( * »

.

+

 

( i = l , 2 , . . . , n ) . (18.3.3

Предположим далее, что коэффициент обратной связи р,

мал. Тогда

производные — (i =

1,

, re) также малы и

функция

Q (t) = Q [х1(г),..., хп

(i)]

является медлен­

но изменяющейся функцией времени. В этом случае

компоненты градиента

показателя качества dQ/dxi

тоже

медленно

изменяются во

времени

по сравнению

c/i (t)

(i = 1 , ...,

re).

позволяет

вынести

медленно из­

Это обстоятельство

меняющиеся функции за знак интеграла в выражении (18.3.3). В результате получаем

dx.

 

\

г*

Ш ~

H' Q

• • • ? Z n ) ~jT

\ f i ( t ) d t

n

t

 

- | * 2 ^ - F

( М Ш №

( i - 1 , •••.'>)•

 

(18.3.4)

 

 

3=1

i

t—T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем

рассматривать

регулярные

 

сигналы

 

поиска,

а точнее,

гармонические колебания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i

( t ) =

a i sin

t

( i

= 1,

..., re).

 

 

(18.3.5)

Для этих сигналов получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t

 

2а, sin. (а>,Т/2)

 

,

 

/

 

у

\

 

 

i*

/ , ( (

'

s

x

f ) ,

 

 

U

) * - -=- - -Ш<Г

 

 

 

i n o

(

t —

 

 

 

 

a.a. sin .CD, — CD,L Г cos (ш, — а>;)

 

 

 

 

4 -

$ м < ш о * =

 

 

(“ 4 —

 

 

T

 

 

 

 

 

l- T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

(Ш|Д ) У

sin

"’‘ a"* r«o»(<m+ a^(t-4-)

 

(‘ + Л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18.3.6)

 

-7Г S/“(*)

 

 

Sin

 

C0S 2c0*

~

x )

•

« - T

г

Хорошо видно, что при больших значениях параметров Г, (0{ и (ùj имеем

4" $ fi(t)dtæ О,

 

t—T

 

(18.3.7)

I

' 0 при

Ьф],

4 " 5

а\

при

i = /.

(—Г

 

Рассмотрим сначала именно этот простой случай. Здесь получаем для (18.3.3)

dx1.

0Q

(i = 1 , . . . , н).

(18.3.8)

dt

2 &r.

 

1

 

 

Вектор скорости движения системы при больших значе­ ниях T<ùt (i = 1 , ..., п) равен

Косинус угла между этим вектором и градиентным направлением равен

cos<p =

[Г, grad Q]

| V|*|grad Q I

 

 

[24Ш Г 2[ ( ^ ) Т

 

(18.3.10)

Как видно, эта величина существенно отрицательна, что означает

- | - < Ф < - у - -

(18.3.11)

Именно это неравенство гарантирует настройку объекта. Действительно, пусть объект представляет собой цен­ тральное поле вида

П

<?(*„•••, X.) = Ç, + к [ 2

4 Г

(18.3.12)

1=1

J

 

В этом случае движение под острым углом к антиградиентному направлению представляет собой и-мерную спираль

Архимеда (рис. 18.3.2). Эта спираль описывается точкой, движущейся с постоянной скоростью | V | cos ф вдоль

» IV I sia ф

луча, вращающегося с угловой скоростью со = -—!---—

вокруг тПчки экстремума, где г — расстояние до точки экстремума. Как видно, эта спираль «наматывается» на по­

ложение экстремума и попадает в него при t = — | у | cos у~ ’

где го — исходное расстояние до цели. Указанное имеет место лишь при неодинако­ вых амплитудах поисковых сигналов. Угол ф равен ну­ лю, т. е. система движется строго в аптиградиентном на­ правлении, если

ttj — 6^2 —

— Дд ■—CL»

 

Тогда

 

(18.3.13)

Рис. 18.3.2. Траектория опти­

 

 

мизации в центральном поле

F = - J ^ l g r a d

Q\

(18.3.14)

при ф ф л.

 

именно поэтому такой способ экстремального управления часто называется градиентным.

Теперь рассмотрим более общий случай произволь­ ных значений параметра Т, когда выражения (18.3.7) имеют место лишь с точностью до колебательных состав­ ляющих. Уравнение (18.3.4) можно записать теперь в виде

dx.

pa2

dQ

[

 

 

2a sin

—

 

__г

—

 

-<?(*!, •••,*«)-----^

----

X

dt

 

 

 

 

п

Г sin (“ xi —

J T

 

 

X sin со.i (* —i r ) + *a 2гЩ

[

( « ,,- « \)T

cos

X

 

 

sin

(CDj +

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f — r ) -------- й ;т ^ ) г—

cos

^

(‘ — x )_

 

— dx. '~2^.T' Sin

C0S 2 (ùi (* ""I")}

(« = !.•••.»)•

 

’

1

 

 

 

 

 

(18.3.15)

Выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой колебательную составляющую с нулевым средним значением и амплитудой, равной или не превышающей величины

 

 

 

t»i

 

 

 

 

+

 

 

г=}Ь]

г

j

 

+

dQ) а )

(г =

1 , . . . , ге).

(18.3.16)

дх

 

Г Ч )

 

 

 

Следовательно, в среднем система будет двигаться в антиградиентном направлении, что и обеспечивает ее попада­ ние в район экстремума. На это движение будут наклады­ ваться колебания с различными комбинационными часто­

тами (®г+ °>j)-

Рассмотрим движение системы в районе экстремума. Здесь частные производные показателя качества равны

нулю

и

 

 

 

dx.

2ца

(û.T

/

т \

— =

 

<? («îi- • •, хп) s i n - | -

sin <a^f----g-|(i = 1 ,-.. ,re).

 

 

 

 

(18.3.17)

Интегрируя эти выражения, получаем уравнение предель­ ного цикла

/А

=

•

. 2uaQ *

.

ю .Г

Г

T

I.

Т

\Т

( 0

* i

+

s m

— j -

|^COS û)i~2------ COS ©i\ t

H

J

 

 

 

 

 

 

 

(i =

1 , ... , re),

(18.3.18)

где

в

экстремуме

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

Q* = Q (x[, xl,

..,

Xn).

(18.3.19)

Определим потери на рысканье в районе экстремума. Пусть для простоты ге = 2; юх = о»; ©2 = 2©; Q* = 0.

Тогда на входе в объект имеем

xi — xi + а sin

х%— х% Q sin 2 uit,

Исключая из этих выражений t, получим уравнение предельного цикла

(х2— Яг)2 = 4 (ÆJ — xl)2

1

- 1~ / l)' ] '

<18-3-21)

 

 

который показан на рис. 18.3.3. Это типичная фигура Лиссажу.

Потери на рысканье для центральной функции качества

R —

^ Isin2соt +

о

+ sin22ш£] dt = ка2. (18.3.22)

Как видно, потери не зави­ сят от частоты поисковых сигналов, а лишь от их ам­ плитуды.

Эллиптическая функция качества

X* X,

Рис. 18.3.3. Предельный цикл для случая ©2 = 2©!-

Q =Q* + к г — х|)2 + к2 (х2 — х2)2 (18.3.23)

дает потери на рысканье R = -^г{кг + к2). И в общем случае

 

П

 

=

h •

(18.3.24)

1=1

Как видно, эти потери зависят лишь от амплитуды воз­ мущения и свойств объекта.

§ 18.4. Непрерывная оптимизация инерционных объектов

В случае, когда объект имеет значительные инер­ ционные свойства, применение синхронных методов оцен­ ки градиента показателя качества ограничено. Поэтому приходиться обращаться к иным подходам. Один из таких подходов предложен в работе [18.2].

Поясним смысл этого поиска на одномерном объек­ те. Блок-схема оптимизации показана на рис. 18.4.1. Здесь показатель качества объекта Q (х) подается на

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности