книги / Системы экстремального управления

Уравнение идентификации имеет вид

Блок-схема системы идентификации, работающей в

Рис. 21.3.2. Блок-схема модели динамического объекта.

объекта нелинейным образом. В последнем случае опре­ деление градиента функции невязки уже представляет серьезные трудности.

С другой стороны, очень часто модель объекта может быть без труда реализована схемно, в то время как ее ма­ тематическое описание крайне затруднительно.

Эти обстоятельства заставляют обратиться к дифферен­ циальной схеме идентификации, смысл которой сводится к следующему [21.6].

Градиент невязки модели и объекта следует не вычис­ лять, а определять путем замены операции дифференци­ рования операцией вычитания в соответствии с известной

для одномерного объекта (к - =т = 1); многомерные объекты (к 1) могут быть рассмотрены аналогично.

Как видно из (21.3.20), для оценки одной производной нужно иметь две мо­ дели, одна из которых определяет Q {U +

+ etgi) (ее г-й пара­ метр увеличен, на ве­ личину g{), а другая дает возможность оп­ ределить Q (U — etgi)

(ее i-й параметр соот­ ветственно уменьшен

на gi)-

На рис. 21.3.4 по­ казана блок-схема

дифференциальной системы беспоисковой идентификации (показано управление только г-м параметром, осталь­ ные параметры управляются аналогично). Здесь М — модель объекта, а исполнительный механизм реализует

П р и м е р 2. Идентификация четырехполюсников [21.5]. Зная структуру (схему) четырехполюсника, можно его идентифицировать по наблюдениям его выхода. Для этого воспользуемся дифференциальным методом. На рис. 21.3.5 показана блок-схема беспоисковой иденти­ фикации фильтра (показана лишь цепь определения

С . В результате работы этой схемы идентификации при

§21.4. Беспоисковое экстремальное управление

смоделью

Рассмотрим другую схему беспоискового экстремаль­ ного управления динамическим объектом, когда его ди­ намические характеристики должны удовлетворять оп­ ределенным требованиям, т. е. имеется эталонная модель, которой должен соответствовать объект.

Для этого «нарастим» исходный объект дополнитель­ ным динамическим управляемым звеном, параметры ко­ торого U могут изменяться, и будем управлять этими па­ раметрами так, чтобы уже управляемый объект (исходный объект и дополнительное звено) имел заданные динамиче­ ские характеристики, которые отражены в эталонной модели.

Пусть W0 (р)—передаточная функция объекта, Wa (р)— эталонной модели, a W (р, U) — дополнительного звена. Пусть дополнительное звено, как в предыдущем парагра­ фе, образуется в виде суммы п параллельно соединенных

где Wj ip) — передаточные функции образующих звеньев. Блок-схема такого звена ранее была показана на рис. 21.3.2. Передаточная функция управляемого объекта теперь равна W0 (р) W (р, U). Невязка выходов эталонной

модели и нового объекта равна

Q ( U ) = * {[vretp)- W„(p) I UjWiip)]*(<)}’, (21.4.2) a ее градиент

grad Q (U) = - 2 (ya - y) W 0(p ) W (p) * (i), (21.4.3)

где вектор W (p) определен в (21.3.18).

Блок-схема беспоисковой системы экстремального уп­ равления, работающей по этому алгоритму, показана на

Рис. 21.4.1. Блок-схема беспоисковой системы управления динами­ ческого объекта с моделью.

рис. 21.4.1. Здесь исполнительный механизм ИМ, как обы­ чно, реализует градиентный алгоритм. Заметим, что в вы­ ражение для градиента вошла передаточная функция объ­ екта W0 (р), которая изменяется (если бы она не менялась, не было бы нужды в системе экстремального управления). Однако ввиду того, что

величину W0 (р)х (t) можно снять прямо с выхода исход­ ного объекта, избежав тем самым необходимости синтеза модели объекта. Таким образом, введение управляемого звена (см. УЗ на рисунке) дает возможность реализовать беспоисковую оптимизацию весьма простыми средствами.

Г Л А В А Д2

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 22.1. Постановка задачи. Призеры

До сих пор рассматривались задачи экстремального управления с одним критерием качества, т. е.

где Q (X)—скалярная функция. Однако в последнее время практика оптимизации выдвинула новый класс задач, в ко­ торых критерий Q (X) является не скаляром, а вектором:

Q (X) = [?1 (X), q2 (X), . . ., qh (X)], (22.1.2)

и задача состоит в одновременной экстремизации к кри­ териев:

где S — множество допустимых состояний X. Предполагая, что все критерии минимизируются (это­

го легко добиться, если у максимизируемых критериев изменить знак на обратный), задачу многокритериальной (векторной) оптимизации можно записать в виде

тимального проектирования как одноэкстремальная зада­ ча экстремального управления вообще и задача оптимиза­ ции в частности. Эта экстремальная задача возникала как определенная трансформация реальной задачи,

в которой обычно добиваются не одной, а нескольких экстре­ мальных целей. Среди них, как правило, фигурируют вес конструкции, ее габариты (если они не оговорены заранее), надежность, стоимость изготовления, технологичность и т. д. В процессе оптимального проектирования указан­ ные критерии подлежат экстремизации путем соответству­ ющего выбора структуры и параметров конструкции, ко­ торые кодируются вектором X. Поэтому задача оптималь­ ного проектирования является типичной задачей много­ критериальной оптимизации. Сведение ее коднокритериаль­ ной задаче путем выделения основного критерия встреча­ ет по крайней мере две трудности.

Во-первых, необходимо определить один главный кри­ терий, который будет экстремизироваться. Эта процедура связана с огрублением задачи, и такое огрубление следует сделать с минимальным ущербом для исходной задачи, что само по себе превращается в проблему. Другая про­ блема возникает при переведении остальных критериев в класс ограничений, образующих множество S. Для это­ го для каждого критерия необходимо определить верхнюю

серьезные трудности, так как речь идет об ограничении критерия, который по сути своей должен иметь экстремаль­ ный характер.

Таким образом, сведение задачи оптимального проек­ тирования к одноэкстремальной является вынужденной и очень трудоемкой операцией. Это — существенно много­ критериальная задача вида (22.1.5).

П р и м е р 2. О т л а д к а к о н с т р у к ц и и . Еще труднее выбрать и сформулировать скалярный критерий оптимизации на стадии отладки конструкции. В этом слу­ чае число экстремальных критериев настолько велико, что их простое перечисление уже представляет трудность. Другой и специфический аспект проблемы многокрите­ риальной оптимизации конструкции на стадии ее отладки представляет принцип «минимального вмешательства» в конструкцию. Это означает, что в процессе отладки из­ менения конструкции должны быть минимальны, т. е. наименьшим образом отклоняться от проектного задания. Этот принцип, как видно, также представляет собой допол­ нительный источник экстремальных критериев вида qj =

§ 22.4. Второй подход—синтез глобального критерия

Идея этого подхода проста: построить глобальный скалярный критерий

как функцию исходных критериев, причем минимум это­ го критерия должен соответствовать решению многокри­ териальной задачи. Тогда решение поставленной задачи сведется к обычной оптимизации

где ci — любое постоянное число. Это означает, что дол­ жно выполняться условие:

Действительно, от добавления к любому из критериев постоянной составляющей решение многокритериальной задачи не должно изменяться.

2) Функция W (Q) должна быть инвариантна к изме­ нению масштаба любого критерия

где li — любое положительное число. Это означает, что должно выполняться условие

Функция W (X ) должна быть инвариантна по отношению, и к этому преобразованию.

Рассмотренные требования естественны и необходимо должны выполняться.

Первому требованию (22ЛЛ) удовлетворяет конструк ция вида

Эти условия необременительны, так как всегда можно добавить к критерию постоянную составляющую.

Для удовлетворения требований инвариантности от­ носительно преобразования (22.4.7) необходимо, кроме

qi, ввести новый параметр — максимальное значение кри­ терия:

где, как обычно, дг (X) — минимизируемый критерий, а множество S должно быть ограниченным.

Тогда всем требованиям можно удовлетворить при помощи функции вида

н•

в этом легко убедиться при помощи простой подстановки (22.4.3) и (22.4.5) в (22.4.12).

Рассмотренные выражения глобальной функции могут быть представлены как нормализация критериев по

формуле

:g. — д

Это выражение определяет относительную эффективность при оптимизации по t-му критерию, причем

Теперь рассмотрим способы определения весов a* (i =

=1 ,2 , . ., к). Эти способы имеют экспертный характер. Первый способ заключается в экспертной оценке

доли- i-ro критерия ^ в глобальном W. Для этого доста­ точно запросить у экспертов эти оценки

i=l

(Заметим, что это нормирование не принципиально и лишь позволяет сделать сопоставление с другими способами оценки otj.)

В соответствии с этим способом экспертам для оценки предпочтения предъявляются несколько (р) пар ситуаций :

Х Р и Х[2) (i = l, ., р). (22.4.17)

Эксперты этим парам ставят в соответствие один из трех знаков -< или —. Это приводит к появлению одного из трех соотношений:

W (ХР) = W {Xf) (i = 1, . . ., jt>). (22.4.18)

Врезультате получаем систему из р линейных неравенств

иравенств относительно неизвестных весов а*. Приведем