книги / Системы экстремального управления

интегратор (Ир), выход которого I

сравнивается с постоянным порогом А . Здесь Тх — пос­ тоянная времени интегратора. При достижении интегра­ лом/ (t) порога .4 сра­ батывает нуль-орган НО, который посыла­ ет импульс на реверс исполнительного эле­ мента ИМ и на сброс интеграла I (х) = А.

Реверс ИМ осуществ­ ляется двустабиль­ ным элементом ДЭ (триггер в счетном режиме), выход кото­ рого может прини­

мать только два значения + а. В зависимости от вели­ чины функции качества момент т срабатывания НО будет различным. Чем больше функция качества, тем бы­ стрее интеграл (18.4.1) до­ стигнет порогового значе­ ния и тем раньше насту­ пит реверс. Этим осуществ­ ляется селекция удачного и неудачного направления.

Действительно, при дви­ жении к экстремуму функ­ ция качества уменьшается, время т увеличивается и система дольше движется

вэтом направлении, чем

вобратном (напомним, что скорость движения по мо­

дулю постоянная и рав­ на а). Однако, для того что­

бы в среднем система двигалась к экстремуму, недостаточно только реверсировать скорость изменения оптимизируе­

этих величин влияние инерционности может быть сведено к нулю.

Рассмотрим теперь оптимизацию многомерного объек­ та. Для этого достаточно повторить многократно блок, показанный пунктиром на рис. 18.4.1. При этом необхо­ димо сделать так, чтобы периоды всех блоков были раз­ ными (для этого достаточно взять разные пороги At). В этом случае процесс оптимизации идет одновременно по всем параметрам объекта. Требование разночастотности каналов в данном случае аналогично требованию разно­ частотности при синхронном детектировании.

Г Л А В А 19

ОВРАЖНЫЙ ПОИСК

§ 19.1. Существенные и несущественные переменные. Понятие оврага

В предыдущих главах рассматривались объекты, оп­ тимизируемые параметры которых были равноправным, т. е. процесс поиска по каждой из координат был одина­ ковым. Однако на практике встречается большое число объектов, параметры которых существенно по разному влияют на поведение функции качества, и поэтому ес­ тественно по-разному строить поиск вдоль этих пара­ метров.

Разобьем все параметры объекта xlt ..., хп на две группы [19.1]. К первой группе отнесем параметры, не­ значительное варьирование которых приводит к значи­ тельному иёмбЦевгйю показателя качества. Частные про­ изводные для этой группы параметров велики по модулю и для определенности будем считать, что они удовлетво­ ряют условию

первой группы называть «несущ ественными» перемен­ ными, подразумевая под этим простоту организации по­ иска вдоль этих параметров.

Действительно, любой локальный поиск будет, преж­ де всего, оптимизировать именно эти параметры. «Несу­ щественной» эта группа параметров названа именно по­ тому, что от этих параметров легко избавиться обычными локальными средствами поисковой оптимизации.

К другой группе отнесем параметры или их, функции, изменение которых приводит к относительно небольшому изменению показателя качества, т. е. частные производные

остальных направлений функция качества возрастает и очень интенсивно. На рис. 19.1.1 показана овражная ситуация. Пунктиром показано «дно оврага»,, а сектор минимизирующих направлений заштрихован. Хорошо видно, что применение методов локальной оптимизации^ не приводит к цели на дие оврага, так как градиентные направления здесь резко изменяются (см. стрелки на ри­ сунке). Следовательно, локальный поиск приведет объект лишь на «дно оврага» и там практически прекратит эф­

только существенные переменные. В этом и состоят трудность овражной ситуа­

ции и сложность задачи овражного поиска, предназначен­ ного оптимизировать функцию качества с оврагами.

Очевидно, что дно оврага может иметь размерность больше единицы (на рис. 19.1.1 показан одномерный ов­ раг). В этом случае в пространстве параметров имеется подпространство, в котором функция качества изменяется очень незначительно. Остальная же часть пространства параметров имеет большой градиент функции качества.

Для обнаружения овражности можно воспользоваться следующим приемом. В районе точки Х0, которая, как предполагается, расположена на дне оврага, проведем сферу малого радиуса е. Пусть X — произвольная точка на поверхности этой сферы, т.е. | X — Х0 | = е. Оп­ ределим приращение показателя качества при переходе из исходной точки Х0 в X:

Если точка X на поверхности сферы будет выбираться случайно, то AQ также будет случайной величиной и

Модели овражной функции качества можно скон­

На дне оврага функция качества должна иметь вид Q0 (X ). Тогда овражная функция качества с этими свойствами записывается следующим образом:

п—m

чивающие существование п — т несущественных перемен­ ных задачи.

Как видно, конструкция овражной функции качества достаточно проста. Это — сумма обычной функции каче­ ства и добавки, равной нулю на дне оврага, но значитель­ ной при некотором удалении от этого дна.

Например,

Здесь дном оврага является гиперплоскость х1 = х2= ...

стоятельство дает возможность неограниченно синтези­ ровать овражные задачи из безовражных, но с ограниче­ ниями первого рода (типа равенств). Действительно, вся­ кая задача оптимизации с ограничениями первого рода, решаемая методом штрафных функций, является овраж­ ной с оврагами, направленными вдоль ограничений.

В качестве характерного примера объекта с оврагом рассмотрим одну из задач обработки результатов наблюдений. Эта задача заключается в определении неизвест­ ных параметров теоретической формулы по результатам экспериментов.

Пусть

— известная теоретическая зависимость и от z, включаю­ щая неизвестные параметры х15 ..., хп. В эксперименте получены значения ut для zi {i = 1, N > п). По этим данным необходимо определить параметры а^, ..., хп. Решение этой задачи сводится к минимизации функции не­ вязки, характеризующей степень несоответствия (невяз­ ки) друг другу теории и экспериментальных данных:

N

Q (*1. • . ■ , хп) = 2 Г/ (zi* *1» • • • »хп) — Wi]2. (19.3.2) i=l

Как показывает опыт расчетов, эта функция очень часто

а экспериментальные данные отклоняются от теоретиче­ ских на случайную величину е с нормальным законом рас­ пределения, нулевым математическим ожиданием и дис­ персией о2:

ut — Х1 + х\ Zi + е£, i = l , . . ., N, (19.3.4)

где х\, х\ — целевые значения неизвестных параметров. Составим функцию невязки

N

Q (*1, xi) = 2 [(*1 — *i) + (*а — х\) Zi — 8i]2. (19.3.5) i=i

Для простоты будем рассматривать среднее значение функ­ ции невязки Q, полученное осреднением по всем возмож­

ным реализациям ошибок гг. Преобразуем (19.3.5) к виду

N

где М — знак математического ожидания. Известно, что сумма N квадратов нормальных случайных чисел имеет математическое ожидание, равное No2.

Для простоты введем координаты

Именно эта стратегия существенно влияет на поведение функции невязки. Рассмотрим несколько случаев.

Так как в практических задачах число измерений берется всегда достаточно большим, то эти выражения можно упростить