книги / Системы экстремального управления
..pdfсвойствами, однако ои весьма чувствителен к выбору па раметров поиска: длине рабочего шага, углу раскрытия направляющего конуса и числу проб. Эти параметры нуж но подбирать в процессе поиска, т. е. делать поиск самонастраивающимся.
Это замечание касается и первых двух алгоритмов, которые имеют также три параметра: длину рабочего ша га а, величину параметра с и число проб т. Эти параметры
Рис. 20.6.8. Траектория движения системы при а = У32, ф = = 1/2 рад.
также определяют инерционность поиска. Действительно, чем больше а и т или меньше с, тем инерционней система, и наоборот. Заметим, что в данном случае оптимальная на стройка поиска также зависит от трех параметров, как и в непрерывном поиске, рассмотренном в предыдущем пара графе. По-видимому, глобальный поиск в самой простой реализации является не менее чем трехпараметрической системой.
Очевидно, что оптимальные значения параметров по иска зависят целиком и полностью от вида минимизируе
мой функции качества Q — Q (X) и ее особенностей. В за дачах, где эта функция имеет много экстремумов, ввиду большой сложности, по-видимому, единственным способом отыскания оптимальных значений параметров поиска является их самонастройка в процессе поиска.
§ 20.7. «Сглаживающие» алгоритмы глобального поиска
Очень часто функция качества может быть представлена в виде суммы двух функций
Q (X) = Qx (X ) + Q2 (X), |
(20.7.1) |
где Qx (X) — некоторая унимодальная функция, выражаю
щая |
общую тенденцию |
Q (X), |
Q2 (X) — колебательная |
||||
быстроизменяющаяся |
функ |
|
|||||
ция (не обязательно периоди- Q |
|
||||||
ческая) |
с |
нулевым средним |
|
||||
значением — ее моделью мо |
|
||||||
жет служить, например, реа |
|
||||||
лизация |
случайного процес |
|
|||||
са. На рис. 20.7.1 пунктиром |
|
||||||
показаны |
примеры |
таких |
|
||||
функций. |
Естественно, |
что |
|
||||
функции Qx и Q2 не известны. |
|
||||||
Положение глобального экст |
|
||||||
ремума |
исходной функции Рис. 20.7.1. Пример много |
||||||
Q {X) |
обычно не |
совпадает |
экстремальной функции. |
||||
с положением |
экстремума |
|
|||||
Çi(X). Однако они расположены близко. Поэтому отыска ние экстремума унимодальной функции Qx (X) значительно облегчает определение глобального экстремума. Таким образом, задача заключается в том, чтобы сначала выйти в район экстремума Qx (X), а затем в зону глобального экстремума. Для решения первой задачи естественно вос пользоваться идеей осреднения, что позволит избавиться или, точнее, существенно уменьшить влияние колебатель ной составляющей Q2 (X), так как ее среднее значение рав но нулю.
Оператором осреднения в частном случае может быть оператор вычисления среднего значения в заданной
бавиться от колебательной составляющей Q2 (X ), которая образует многоэкстремальность, и тем самым воспользо ваться любым локальным методом поиска, чтобы выйти в район глобального экстремума.
Алгоритм локального поиска в этом случае осложняет ся лишь необходимостью вычисления интеграла (20.7.2) в каждой точке поиска.
Проиллюстрируем сказанное на одномерном примере (п = 1), когда колебательная составляющая имеет парабо
лический характер. |
|
|||
П р и м е р |
1. |
Q (X ) = кхг — a cos юя (глобальный |
||
экстремум расположен в |
точке х** — 0). |
|||
Пусть F (я) — |
х+и/2 |
Q(у) dy, где v — база осреднения. |
||
^ |
||||
Получаем |
|
|
X—V/2 |
|
|
|
|
|
|
л |
w |
= * (*г + -g-) = «л « + , |
||
п |
/ |
\ |
2d |
CÛU • |
Г |
2(х) = |
---- COS -Ô—Sin 0>Я. |
||
|
4 |
' |
œv |
2 |
Как видно, колебательная составляющая уменьшилась в VCÙ/2 раз. Поэтому для эффективного подавления Q2 (я) следует базу осреднения выбирать как можно больше. Однако слишком большая база нарушает (20.7.6). Поэтому величина базы должна выбираться оптимально или адап тироваться в процессе поиска. (Адаптация будет рассмот рена ниже.)
Теперь рассмотрим способы вычисления многомерного интеграла (20.7.2). Известно, что однократный и двукрат ный интегралы вычисляются обычными квадратурными и кубатурными формулами [20.9]. Однако для вычисления многократных интегралов (п 3) более эффективным является метод статистических испытаний (Монте-Карло) [20.10—20.12], смысл которого сводится к следующему. Пусть необходимо вычислить многомерный интеграл по заданной области Q
/?= ^ Ç (X )d X . |
(20.7.11) |
п
В области £2 равномерно и независимо «разыгрывают ся» случайные точки Х 2, ., Х т. Это означает, что эти точки являются случайными реализациями векторов
с равномерной в Q плотностью распределения. Теперь ин теграл (20.7.11) можно приближенно оценить суммой
|
т |
= |
(20.7.12) |
|
1=1 |
причем с ростом числа т оценка Fm становится все более и более точной и в пределе совпадет с точным значением интеграла:
lim Fn = F . |
(20.7.13) |
m - * зо |
|
Это и есть основное положение теории статистических испытаний.
Применяя этот метод, можно всегда оценить сглажен ное значение показателя качества в заданной области Q*:
|
|
|
771 |
|
|
|
= |
i=l |
(20.7.14) |
где Xi е йх (i. = 1, |
-, т). |
|
||
|
|
|||
Область йх можно задавать по-разному. Приведем не |
||||
которые способы такого задания. |
|
|||
П р и м е р 2. Qx — гиперкуб со стороной 2g и с цент |
||||
ром в точке X. |
Он |
задается |
естественным |
выражением |
X — gl < Xi < |
X -f gl, где / |
= (1,1, |
1) — единич |
|
ный вектор. (Заметим, что это векторное неравенство сле дует понимать как неравенство для каждой координаты пространства параметров.) Генерирование случайной точ ки в этом случае сводится к вычислениям по формуле Xi = X + g S, где S = ( |lf g2, ., £„) — вектор, об разуемый независимыми случайными величинами, равно мерно распределенными в интервале
|
|
Ъг |
|
Объем гиперкуба со стороной 2g равен |
|
||
|
|
Fx= 2пап. |
|
П р и м е р |
3. йх — гиперсфера радиусом g и с цент |
||
ром в точке X. |
В этом случае X t = |
X + gB, где S = |
|
= ( |lt |
., i n) — случайный вектор, |
составляющие ко |
|
торого, также |
как в предыдущем примере, распределены |
||
равпомерно в интервале [—1, 1], но при этом еще удовлет-
П
воряют условию 2 ^ 1. Объем гиперсферы радиуса g
i=l
равен V2 = Çnini где qn — коэффициент, не зависящий от 2
радиуса сферы: qn = —у—г-яп'2, а Г — гамма-функция.
пГ1 п \
\ 2 J
При выборе величины g, характеризующей размер об ласти й, следует помнить о следующем.
Вдали от экстремума эта область для повышения эффе кта сглаживания дожна быть большой. В зоне экстрему ма ее следует уменьшать.
Теперь организуем глобальный поиск с использовани ем оператора сглаживания. В качестве локального мето да выберем очень распространенный метод градиента:
XiV+1 = XN - aNgrâd Fm(X ), |
(20.7.15) |
где используется оценка (20.7.14). Для оценки градиента можно было бы воспользоваться обычной точечной оценкой (17.1.6) или (17.1.10). Однако удобнее применить следую щий прием.
Введем понятие функции р* (У), которая равна нулю всюду вне области йх и 1/V внутри этой области. Тогда оператор сглаживания (20.7.2) можно записать в виде
/ ? (Х )= $ < ? (У )р . ,(Г )< Л ', |
(20.7.16) |
где интеграл берется по всему пространству параметров и
Px(Y) = l V |
при |
(20.7.17) |
I 0 |
при |
У ф Qx- |
Эту формулу удобно для конкретного вида области йх преобразовать к центральному виду.
Для гиперкуба
P (Z) = |
|
|
|
|
( :А г |
при |
| Zi|< g |
(i = |
l, ...,гс), |
= j (2g) |
при |
IZ il^g |
хотя |
бы для одного 1 = 1 ,..., ГС. |
I 0 |
||||
Здесь Z |
= (zv z%, |
zn). |
(20.7.18) |
|
|
||||
Для |
гиперсферы |
|
|
|
|
P(Z) J w |
- f " |
|
(20.7.19) |
|
I 0 при |Z |> g . |
|
|
|
Теперь (20.7.16) запишется в виде |
|
|
||
|
F(X) =[)Q(Y)f>(X-Y)<lY |
(20.7.20) |
||
Определим градиент этой функции. |
|
|
||
Так |
как |
|
|
|
|
\ Q <У) - é r P (X - |
Y) dY (J = |
1.......п), |
(20.7.21) |
ТО |
|
|
|
|
|
grad F {X) = J Q (Y) grad*p (X - |
Y) dY |
(20.7.22) |
|
Любопытно, что для определения градиента сглаженной функции не нужно дифференцировать исходную функцию. Это означает, что исходная функция может и не иметь производных.
Теперь, воспользовавшись методом Монте-Карло, мож но получить следующую оценку градиента сглаженной функции на базе т случайных проб:
т
grad F (X) = |
grâd*, f (*) = ■!- 2 |
gradpO T-Xi), |
|
|
|
i=l |
|
где |
функция |
grad p (Z) вычисляется |
аналитически, так |
как |
она задана. |
|
|
Таким образом, одним их ценных преимуществ опера ции сглаживания является удобство вычисления градиен та сглаженной функции, которое выражается в том, что дифференцируется не исходная функция, а заданная ана литически весовая функция.
Определим частные производные весовой функции для случая гиперкуба (20.7.18):
dp(Z) _ |
j |
[ô (Zj + g) — à — g)] при I Zi I ^ g (i=1,..., n), |
^Zi |
[ |
0 при | Zi | > g хотя бы для одного i = 1 ,..., n. |
|
|
(20.7.23) |
Подставляя это выражение в (20.7.21), получим после ин тегрирования
= |
<?(х+ * « ,) - 0 (*-*«,)] о - l . -...в). |
1 |
(20.7.24) |
где в) (/' = 1, |
., п) — орты. Как видно, обнаруживает |
ся очень интересная особенность: градиент сглаженной функции F (X ) при кубической области осреднения в точ ности равен точечной оценке градиента исходной функции на базе 2g известным методом парных проб (15.1.10). Сле довательно, метод парных проб является градиентным способом оценки сглаженной в гиперкубе функции каче ства. Причем база оценки градиента равна стороне гипер куба осреднения.
Обобщим изложенное. Будем рассматривать весовые функции р (Z) (иногда их называют ядрами) не только вида (20.7.17), т. е. ступенчатого типа, но и другие. Сформулируем требования, предъявляемые к весовой функции (ядру):
1. |
Весовая функция всюду неотрицательна, т. е. для |
|
любых Z |
|
|
|
р (Z) > 0. |
(20.7.25) |
2. |
Нормирована, т. е. |
|
|
Jp (Z )d Z = l. |
(20.7.26) |
3. |
Дельтаобразна по параметру g, т. е. имеет параметр, |
|
для которого справедлив предел вида |
|
|
|
lim р (Z) = ô (Z), |
(20.7.27 |
|
g-*о |
|
где Ô — дельта-функция.
Так, например, рассмотренные выше весовые функции (20.7.18) и (20.7.19) обладают этими свойствами, в чем легко убедиться. Однако, кроме этого, можно предложить и другие функции. Например, гауссова функция
Р^ = (V2â)ngn е х р ~2g*~ S |
• (20.7.28) |
Одномерный срез этой функции приведен на рис. 20.7.2.
Обобщенный «локон Аньези» |
|
|
р (Z) = |
-------— г , |
(20.7.29) |
V ' |
g(i + \ Z \ 1)* |
|
где I — параметр «локона», характеризующий скорость его затухания, а К — коэффициент, определяемый из условий
|
ра) |
|
нормировки |
(20.7.26). Не |
||
|
|
сколько весовых функций |
||||
|
|
а) |
приведены в работе [20.13]. |
|||
|
|
Теперь |
|
|
рассмотрим |
|
|
|
|
стратегию изменения пара |
|||
-9 |
9 |
zi |
метров g |
и |
а. Очевидно, |
|
|
|
|
что вдали |
от глобального |
||
|
|
|
экстремума |
эти величины |
||
|
|
|
должны быть |
большими, |
||
|
|
|
а в его районе — малыми. |
|||
|
|
|
Относительно |
скорости |
||
|
|
|
уменьшения этих парамет |
|||
фров можно высказать сле дующие соображения.
Если параметр зоны сглаживания g уменьшает ся, то можно показать, что в силу свойства дельтаоб
разности ядра (20.7.25) градиент сглаженной функции (20.7.22) стремится к градиенту исходной функции, т. е.
lim grad F (X ) = grad Q (X). |
(20.7.30) |
g-*о
Это означает, что поиск (20.7.15) вырождается в обычный локальный градиентный поиск, который не решает задачу отыскания глобального экстремума. Поэтому величина g должна выбираться такой, чтобы в результате сглаживания исходная функция превращалась в унимодальную.
Пусть |
X g — экстремум сглаженной функции, т. е. |
|||
результат |
решения задачи |
|
||
|
|
F (X) —> min. |
(20.7.31) |
|
|
|
|
х |
|
Пусть, |
как |
обычно, |
X** — глобальный |
экстремум, |
т. е. результат |
решения |
задачи |
|
|
По условию эти экстремумы |
расположены |
достаточно |
|||
близко друг к другу, т. е. |
|
|
|
|
|
|
Xg « |
X**. |
|
(20.7.33) |
|
Этим обстоятельством можно воспользоваться. |
g |
такова, |
|||
Если величина |
параметра |
сглаживания |
|||
что функция F (X) унимодальна, то выбор закона умень |
|||||
шения параметра |
аы (N = |
1, |
.) следует выбирать в |
||
соответствии с условиями |
Дворецкого (16.5.4), |
т. е. |
|||
|
оо |
|
оо |
|
|
2 aN = 00; 2 я^<С°°- (20.7.34)
N = 1 |
N = 1 |
В этом случае гарантируется |
сходимость процесса по |
иска к экстремуму сглаженной функции Х*е. Определив
X gи зная, что глобальный экстремум где-то близко, мож но его найти, обследуя небольшую зону вокруг точки
X*g (например, методом сканирования (20.4.1)). Однако можно воспользоваться другим, более эффективным мето дом. Будем величину g уменьшать в процессе поиска, но так, чтобы система не могла зафиксироваться в промежу точном экстремуме. Для этого величину gx следует умень шать достаточно медленно. Скорость уменьшения зави сит от величины зон притяжения локальных экстремумов. Чем меньше эти зоны, тем быстрее может уменьшаться па раметр gN.
Другой способ сглаживания связан с упрощением за дачи оптимизации до одноэкстремальной или решаемой аналитическим путем. Пусть показатель качества объекта представляет собой функцию вида
Q = Q(X, А),
где X — как обычно, вектор оптимизируемых параметров объекта, определенный в области S, а А = (ах, . ., ат) — вектор параметров объекта, характеризующих много критериальную специфику задачи оптимизации. Этот век тор выбирается из следующих соображений. При А — 0 задача должна стать разрешимой, например одноэкстре мальной, но при этом не потерять смысла, как задача оптимизации. Возможно, что при А — 0 задача останется