книги / Системы экстремального управления
..pdfЕсли же ©г = ©,-, то |
|
|
|
lim s in ( a . - |
(ÙJ)T |
т |
(18.1.14) |
“г"** |
|
|
|
и интеграл (18.1.11) принимает вид |
|
|
|
1 |
sin 2со{ |
|
(18.1.15) |
Iii== ~2 |
Ш07 |
|
|
|
|
||
Для этого интеграла имеет место очевидная оценка
hi ^ 9 + 47’ы. |
(18.1.16) |
Как видно, при Т -*• оо получаем
lim А, = 4 ~ • |
(18.1.17) |
Теперь, объединяя (18.1.12) и (18.1.17), можно за писать
|
( |
1 |
. . |
lim 73i = |
I |
-Я- для 1 = 7 |
|
2 |
(18.1.18) |
||
т~*°° |
[ |
0 |
для ъф], |
т. е. этот интеграл в пределе либо равен нулю (для разных частот), либо J (для одинаковых частот).
Возвращаясь к выходу фильтров B t (18.1.7), получаем при Т —> оо
|
2 |
|
|
В , |
= Т - | гi |
(i = 1........»>• |
(18.1.19) |
Здесь использовано очевидное выражение |
|
||
т |
|
|
|
-у- ^ sin a>itdt = |
(1 — cos ©iГ), |
(18.1.20) |
|
о |
|
* |
|
которое при Т |
оо стремится к нулю. |
|
|
Таким образом, при достаточно большом времени на блюдения Т на выходе осредняющих фильтров выделятся сигналы, пропорциональные составляющим градиента
функции качества объекта. Если же теперь потребовать равенства амплитуд возмущений = а2 = = ап = а, то выходы фильтров образуют градиент
(*i, Вг, ... , Вп) = |
grad Q (X). |
(18.1.21) |
Это обстоятельство и лежит в основе использования син хронного детектирования для экстремального управ ления многопараметрическими объектами. Действи тельно, зная градиентное направление, уже не представ ляет труда организовать движение в антиградиентном направлении, в котором функция качества будет умень шаться быстрейшим образом, т. е. решать задачу синтеза экстремального регулятора.
Резюмируя, можно утверждать, что для определения градиента функции качества безынерционного объекта методом синхронного детектирования с использованием гармонических возмущений необходимо соблюдать сле дующие два условия:
1.Амплитуды возмущений должны быть малы.
2.Частоты возмущений должны быть разными. Первое условие довольно естественно — оно необходимо
для того, чтобы в разложении функции качества не игра ли роли квадратичные члены, которые в противном слу чае могут исказить выражение (18.1.19). Второе требова ние нуждается в пояснении.
Пусть две частоты совпали (например, щ = (о2)' Тогда из (18.1.7) получаем
Я1 = Я, = 4 -(в1^ г + в, ^ . ) , |
(18.1.22) |
т. е. выходы двух фильтров не будут пропорциональны частным производным и, следовательно, не дадут воз можности выделить градиент показателя качества. Имен но это обстоятельство заставляет требовать, чтобы все частоты возмущений/j (t),. . ,/n (t) были различными, т. е.
(î ¥=■/)• |
(18.1.23) |
Из полученных выше формул хорошо видно, что величина Bi будет тем ближе к-^— чем больше Т©*. Это озна
чает, что, повышая частоту возмущения coj, можно добить ся того же эффекта точности, что и при увеличении вре- ' мени осреднения Т. Это обстоятельство дает возможность, выбирая соответствующим образом частоты возмущений, сократить время определения градиента показателя ка
чества. |
|
Отметим, что выделение частных производных dQ/dxi |
|
(i = 1 , |
., п) методом синхронного детектирования имеет |
глубокую аналогию с синхронным приемом, когда выде |
||
ляются амплитуды моду |
j asinful+tpj |
|
лированного процесса. |
||
yft) |
||
Пусть |
||
Ф |
||
у (t) = х (£) sin cut |
Рис. 18.1.2. Блок-схема синхронного |
|
[(18.1.24) |
||
|
приемника. |
|
— принимаемый сигнал,
где x(t) — его медленно изменяющаяся амплитуда, несу щая необходимую информацию. Синхронный приемник представляет собой синхронный детектор с последую щей фильтрацией (рис. 18.1.2). Приемник реализует опе рацию умножения сигнала '(у (t) на a sin (<ùt -f- <р), где Ф — фаза приемника. Получаем на выходе блока произ ведение
U (t) — |
[cos ф — cos (2о) |
ф)]. (18.1.25) |
Фильтрация производится таким образом, |
чтобы |
|
|
Ф [х (t)] ^ х (t), |
(18.1.26) |
|
Ф [cos 2©] -zz О, |
|
|
|
|
где Ф — операция |
фильтрации. |
|
Это требование не очень обременительно, так как час тотная характеристика х (t) лежит значительно ниже час тоты и. Таким образом, получаем на выходе фильтра
-|-a:(*)cos ф. |
(18.1.27) |
Как видно, выход синхронного приемника пропорцио нален X (t).
Если, кроме х (t) на частоте со, по тому же каналу бу-
хдут передаваться другие сигналы xt |
(t), ., XN (0 на раз |
|
ных частотах модуляции |
., а>я, |
то синхронный при |
емник будет так же эффективно выделять информацию на частоте <о. Это обеспечивается отмеченным выше свой ством (18.4.18).
Б. Случайные возмущепия. Пусть f t (t) (i — 1, ... , п) —
случайные функции, удовлетворяющие следующим усло виям:
1. М (f i) = 0 (i = 1 ,. . . , ri), т. е. функции центриро ваны.
2. D (fi) = of<^ 1 (i = 1 , ., п) — дисперсия мала. 3. М (fifj) = 0 (i ф f) — т. е. функции не корроди рованы. Эти выражения для конечного интервала времени
Т можно записать приближенно в виде
т
4“5МО*»о,
о
т
|
4 -$ fi (() it ~ |
fi, |
(18.1.28) |
|
|
о |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
4 -$ AW M 0 * » 0- |
|
||
|
0 |
|
|
|
Подставляя эти выражения в (18.1.7), получим |
|
|||
23 |
2 до |
(i — 1 ,.. •, ri), |
(18.1.29) |
|
|
|
|||
а при Т -*• оо |
|
|
|
|
Т-+оо |
0Xi |
(i = |
1 , . . . , ri). |
(18.1.30) |
|
|
|
||
Это означает, что при выполнении указанных условий на выходе фильтров при достаточно большом времени наб
людения |
Т выделятся |
величины, пропорциональные сос |
||
тавляющим градиента. |
= ап = |
а получаем |
|
|
При |
— о2 = |
|
||
|
(By, Вг,. |
., Вп) = |
a2 grad Q. |
(18.1.31) |
Таким образом, синхронное детектирование, выполняя |
||||
возложенные на него ^функции, допускает |
довольно |
|||
широкий класс возмущений |
/ г (t), которые, |
однако, |
||
должны удовлетворять трем условиям: |
|
|||
1. Центрированность |
|
|
|
|
М (/|) = 0 (i = |
l, |
.,п). |
(18.1.32) |
|
2 . Ортогональность (некоррелированность) |
|
|||
of при |
i = U |
(18.1.33) |
||
О при i Ф ). |
||||
|
||||
3. Малость Д (t).
Любопытно, что частотные свойства случайных воз мущений не играют существенной роли. Частотный спектр fi (0 должен быть таков, чтобы за время Т можно было эффективно отфильтровать нижнюю частоту.
§ 18.2. Синхронное детектирование многопараметрических инерционных объектов
Схема инерционного объекта, который будет рассмат риваться в этом параграфе, представлена на рис. 18.2.1.
I Ifaeguimmüoftww___________|
Рис. 18.2.1. Блок-схема многопараметрического инерционного объекта экстремального управления.
Здесь ВНП — безынерционный нелинейный преобразова тель, реализующий операцию
Я = ЯО/i,- ... Уп)- |
(18.2.1) |
Инерционность объекта предполагается расположенной как на входе в этот нелинейный преобразователь, так и на выходе его (см. рисунок).
Входная инерционность определяется матрицей пере даточных функций
|
|
Wu(p) |
w„(p) |
w ni (p) |
|
|
|
|
|
|
w in{p). |
, |
(18.2.2) |
|
|
l^ln(P) |
|
|
||
где |
Wij (р) — передаточная |
функция между г-м входом |
||||
и /-м выходом инерционного звена: |
|
|
||||
|
Уз = |
2 WH(P) |
(0 (7 = |
1 , . . . , п). |
(18.2.3) |
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
В |
интегральной |
форме |
|
|
|
|
|
|
П |
оо |
|
|
|
|
Уз(0 = 2 |
J |
(* — т)**(т) dx' |
(18.2.4) |
||
|
|
i=l О |
|
|
|
|
где^гД.) — импульсная |
переходная |
форма от i-ro входа |
||||
к /-му выходу, которая связана с передаточной функцией следующими зависимостями:
оо
(18.2.5)
О
оо
hHi ( t - x ) = -L - ^ Wk}(m)eiaV-')d(ù,
где i — мнимая единица (i = Y —!)•
Выходная величина объекта образуется линейным ди намическим преобразованием, которое характеризуется передаточной функцией W (р), т. е.
Q = W ( p ) g.
Таким образом, объект определяется следующей систе мой уравнений:
Уз = Wtj (P) Xi (i, / = 1 , . . . , п),
Ч ~ Я (l/i» У21• *., Уп)у
<? = W ( p ) q .
В интегральной форме:
|
71 |
со |
|
Уj (О = |
3 |
$ hü (* — r )*i (т)dT> |
|
|
i= l О |
|
|
q = |
g {уii 2/2.—. Уп). |
(18.2.6) |
|
оо
Q — ^ h (t — т) д(т) dx,
о
где h (• ) — импульсная переходная функция выходного звена.
Рассмотрим применение синхронного детектирования
для определения частных производных ~ (г = 1 , ..., п) otfi
нелинейной части.
А. Гармонические поисковые сигналы. Пусть, как и в предыдущем параграфе, возбуждения имеют гармониче ский характер вида (18.1.8). Эти поисковые колебания проходят через многомерную линейную часть и на ее вы ходе получаются сигналы:
ÿi(0 = |
2/w + |
«и sin (tOii — фп) + |
|
... -j- я,ij sin (o^f— фц!.)» |
|
|
|
(18.2.7) |
Уп (<) = |
Упо + |
«m sin К * — ф1п) + |
|
+ «nn sin (con* — фпп), |
|
где амплитуды ац и фазы ф^- определяются стандартным путем из уравнений
аи sin (соj *+ ф0-) = |
|
= diWij (р) sin (ùtt (i, / = 1 ,2, ..., п), |
(18.2.8) |
характеризующих прохождение £-го входного поискового сигнала на /-й вход многомерного линейного звена;
2/ю» 2/20.•• •. Упо — стационарные значения входов линей ной части, на которые накладываются гармонические воз мущения.
Таким образом, наличие такого звена приводит к тому, что все входы нелинейного безынерционного звена объек та возбуждаются сразу на всех частотах (18.2.7).
которое после умножения (18.2.11) на ah sin <ùht и осред нения позволило получить (18.2.12).
Как видно, на выходе фильтров Ф не выделяются част
ные производные (i — 1 , . . . , ri), получаются их линей-
'’г
ные комбинации. Для определения составляющих гра диента нелинейной части необходимо решить систему уравнений (18.2.12) относительно частных производных dq/dyi, i — 1 , ..., п. Это возможно лишь в том случае, если знать все динамические свойства линейной части объекта, т. е. значения aih и cos (i, к = 1 ,..., h).
Запишем уравнение (18.2.12) в векторной форме:
В = L grad q, |
(18.2.14) |
где введены обозначения:
В = (В17В2,...,Вп), |
(18.2.15) |
В — вектор с компонентами (18.2.12), L — квадратная матрица
|
£ = » Ч . |
(18.2.16) |
||
|
|
|||
элементы |
которой равны |
|
|
|
|
кн = ^!p-cos (pik |
(i,k = l, ... ,n ) , |
(18.2.17) |
|
и градиент функции нелинейного звена |
|
|||
|
d q |
|
d q |
(18.2.18) |
|
d'ji |
’ |
дуг ’ |
|
|
|
|||
Нужно, |
располагая В и |
L, |
найти градиент |
(18.2.18), |
т. е. построить такой преобразователь, на выходе которого получим grad q, как только на его вход будет подан век тор В. Из (18.2.14) формально умножением правой и левой части на Ь~г моясно получить
grad q = L-1 В , |
(18.2.19) |
где L-1 — матрица, обратная L, т. е. удовлетворяющая |
|
уравнению |
|
Ь~гЬ = Е, |
(18.2.20) |