3°. Из теоремы [13-В] можно вывести весьма важное заклю чение об абсолютной температуре.
Как известно, свойства идеального газа приводят к понятию об абсолютном нуле температуры. Эту мысль вполне точно нужно выразить так. Если бы при постепенном и неуклонном понижении температуры идеального газа уравнение
p V = p 0V0(l + *0t)
[где индекс 0 означает „при температуре таяния льда“ (/0=0)] неизменно оставалось справедливым, то температура газа
не могла бы стать ниже t = —
Эту наинизшую температуру идеального газа назвали абсолютным нулем, а температуры, отсчитываемые от абсо лютного нуля, — абсолютными температурами.
Пользуясь теоремой [13-В], можно показать, что абсолют ный нуль есть наинизшая температура не только идеального
газа, т. е.
тела подчиняющегося уравнению pV — p0 V0(l-\-a0t),
но и любой
системы. Действительно, согласно § 12-7 для всех
одинаково направленных (как ab и ей) обратимых изотерм произвольной системы скрытые теплоты Qab и Qcd должны
иметь один знак, т. е.. отношение Qab'Qcd всегда положительно. Переписав (13-4) в виде:
(13-5)
видим, что отношение Та \Тс тоже должно быть положитель ным; следовательно, Та и Т~ должны иметь один знак.
Но в наблюдаемых при обычных условиях состояниях абсо лютные температуры всех систем положительны. Поэтому можем утверждать:
[13-Г]. Абсолютная температура какой-нибудь системы
не может быть
отрицательной.
В
природе
не существует температур
ниже абсолют
ного
нуля.
(13-5) приводит
еще к одному
заключению. Так как ab
и cd — обратимые
изотермические
процессы,
начинающиеся
на одной
обратимой
адиабате (Sa) (фиг. 13-3) и кончающиеся
на другой (S b), то на основании соотношения (13-2) имеем:
[13-Д]. Отношение скрытых теплот двух обратимых изотермических процессов, начинающихся на одной адиа бате и кончающихся на другой, нисколько не^ зависит ни от природы системы, ни от длины изотермы и равно отношению абсолютных температур этих изотерм.
26 А, А. Акопян.
13-3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЦИКЛА КАРНО
1°. Представляет интерес определить отношение количе ства тепла, полученного извне в течение всего цикла Карно, к скрытой теплоте одного* из его изотермических процессов. Для цикла abdca (фиг. 13-4 и 13-5) имеем:
Qdc =
Qab ~f~ ’
1а
тепло за весь цикл Карно
Q ~
Qab~\~Qdc>
ИЛИ
<13-6)
Так как в любом цикле
то (13-6) дает:
We =
Qab[ ^ j ^ - ) -
О3'7)
(13-6) и (13-7) справедливы во всех случаях независимо от
того, каков знак
скрытой
теплоты
Qab, .какая
из температур
выше: Тс или Та
(на фиг.
13-4
предполагается,
что Та ^>Тс1
а на фиг. 13-5, наоборот, что
Тс > Т а.
Если изменить направление цикла и вместо abdca рассмот
реть цикл bacdb
(фиг. 13-4),
то
в
правой части (13-6) и (13-7)
вместо Qab будет
Qba, а так
как
Qba= — Qab, то
Q и We тоже
изменят свои знаки. Отношение же внешней работы к уеплу Qab
вполне определяется абсолютными температурами обеих изо терм обратимого цикла Карно и не зависит ни от природы системы, ни от длин изотермических процессов этого цикла или направления, в котором цикл совершается.
Таким же образом
Q
_
Та ~ Т С
Qab
Та
Выражения для Q, W e,
О
We представляют значитель-
Qab Qab
Следует подчеркнуть, что соотношения (13-6) — (13-8) спра ведливы только в случае обратимых циклов Карно; это выте кает из того, что равенство (13-2), из которого выводятся (13-6) — (13-8), справедливо только при обратимости цикла Карно.
2°. Чтобы установить влияние необратимости на величины
Q, W
О
We
рассмотрим,
как
отражается на
,, у?—,
— ,
ЧаЬ
ЧаЬ
чинах необратимость каждого
из
про
цессов цикла. Разберем отдельно слу
чаи, когда ab является верхней изотер
мой и когда она оказывается нижней.
Пусть
ab — верхняя
изотерма
(фиг.
13-4);
цикл
совершается
в
направлении
движения часовой стрелки; необратимым
является
только
изотермический
про-
фИГ
цесс
ab. Буквами
с чертой
над
ними
этих вели-
13_4
(Qab, Q, W'e) обозначим величины, относящиеся к необрати мому циклу; буквы (Qab, Q, We) без черты будут относиться
к обратимому циклу.
Мы предположим (как это бывает в большинстве случаев),
что в обратимом процессе Qa6> 0 ; тогда
Qdc< o .
(13-9)
По [12-Д] в необратимом процессе
Qab < Qab •
(13-10)
О знаке Qab ничего сказать нельзя.
Имеем:
в случае обратимого процесса ab [см. (13-6)]
Q = Q a b + Q d c — Q a b { ^ - f ^ ^ > ° <
( 13- П )
так как
Та > Т с\
We = - Q ;
в случае
необратимого процесса ab Q = Qflft-(-Qdc;
We= — Q;
формула (13-6) неприменима ввиду необратимости процесса ab. Очевидно, по [12-Д]
Q - Q = Q ab~ Q ab> °> Wt - K < 0 ,
т. е.
О знаках Q и We в общем случае ничего сказать нельзя;
например, при Qab = 0 Q<10; We ^>0.
Отношение - 0 - — ^-=.— ? - > 0 , когда процесс ab обратим.
УаЬ
1а
В случае
необратимости
ab
Q __
Qab+Qdc
__ j
, Ode _
j __|Qdc I
Qab
Qab
Qab
Qab
Примем,
что
Qaft> 0 ;
тогда,
так как
Qab> Q ab,
[
1 ^ 1
j
’ •
Qab > 0,
Qab
'Qab
т. e. при
Q
^
Q
(13-13)
Qab
Q«b '
Теперь
предположим,
что
в
цикле
Карно обратимы
все
процессы,
кроме
изотермы
dc.
Тогда в соответствии с
§
12-6
и соотношением
(13-9)
Qdc< Q dc’
l Q j > | Q rf«|
О314)
Нетрудно проверить [пользуясь (13-11)], что в этом случае
мы получим результаты, совпадающие с (13-12)
и (13-13).
Нам осталось рассмотреть, как влияет
на
величины Q,
Wel
необратимость одного из адиабатических процессов,
для
ЧаЬ
взаимное расположение обрати
чего следует установить
мой
и необратимой адиабат.
Мы приняли,
что
Qab^> 0, т. е.
что скрытая теплота обратимого изотермического расширения положительна. Это согласно [12-К] должно иметь место на всех обратимых изотермах. На основании § 12-9 можем утвер ждать, что необратимая адиабата расположится правее обра тимой. Следовательно, необратимая адиабата be пересечет нижнюю изотерму ей в точке е, расположенной правее точки d (фиг. 13-4). Поэтому если точки а и b заданы и необратима только адиабата be, цикл Карно будет abeca; в этом цикле нижняя изотермам длиннее нижней изотермы обратимого цикла abdea. Если же необратима только левая адиабата, то, так как точка а задана, эга адиабата будет иметь вид линии fa. Для того чтобы убедиться в этом, проведем через / обрати мую адиабату f k . Согласно § 12-9 они расположатся таким образом, чтобы переход по обратимой изотерме fk к необра
тимой
адиабате fa имел
положительную
скрытую теплоту,
а для
этого адиабата fa
должна быть
круче адиабаты fk .
Таким образом, при заданной верхней изотерме ab необрати мость каждого из адиабатических процессов удлиняет ниж нюю изотерму; вместо dc получаем ес или df. Удлинение же изотермы увеличивает абсолютную величину скрытой теплоты:
|Я«|>1<г«,1; |««1>|<гЛ |-
(13-|5)
Единственное влияние необратимости каждой из адиабат состоит (при заданной изотерме ab) в удлинении нижней изо
термы. Покажем, что это отражается на величинах Q, We, Q_
Qab
совершенно так же, как необратимость нижней изотермы. Действительно, приняв, что необратима правая адиабата,
имеем, помня о (13-15):
Q — Ф а* " Ь Q rc Q—ab
Q |c I^ Q ab
Q dc| | •
Но
по
(13-11) Qab — |Qrfc|=
Q есть тепло, полученное извне
в течение обратимого цикла Карно.
Таким
образом,
__
Q < Q ;
We > W e
и
Q
Q
(13-16)
Qab
®ab
Мы
бы пришли к результатам (13-16)
и в том случае,
если бы необратимой оказалась не правая адиабата, а левая. Замечаем, что все случаи необратимости
(необратима только верхняя или нижняя изо терма или одна из адиабат) приводят к оди наковым (качественно)последствиям:умень шение общего количества тепла, получен ного извне в течение цикла, увеличение внешней работы и уменьшение отношения полного количества тепла к скрытой теп лоте верхней изотермы.
Очевидно, что при необратимости не одного из четырех процессов цикла, а двух и более эффект необратимости уси лится.
3°. Перейдем теперь к разбору влияния необратимости цикла (фиг. 13-5), когда ab — нижняя изотерма, т. е. Га< Т с—
цикл совершается в направлении против вращения часовой стрелки.
Начнем со случая необратимости изотермического процес са ab.
В
цикле
(фиг.
13-4)
имеем
Та > Г с;
Q > 0.
Теперь (фиг.
13-5)
Qe* > o ;
Qdc< о;
та < т е;
Q <
о;
i r e> o .
( 1 3 - 1 7 )
Знак
Q
определяется
из
(13-6). По_[12-Д] снова находим,
что
в
необратимом
процессе
ab
Qab<iQab', допустим, что
как было
принято
в предыдущем
случае.
( 1 3 Повторяя
предыдущие
рассуждения,
получим (13-12) и
Q < Q ;
We> W e
(13-18)
и
Q ^
Q
(13-19)
Qab
Q“b
Итак, знаки
неравенств
(13-18),
(13-19)
и (13-12),
(13-13)
полностью совпадают.
Однако отсюда не следует заключать, что эти случаи
вполне
одинаковы.
Дело
в
том, что
в
предыдущем
случае
(фиг.
13-4)
\Qdc\<Qab>
Q > ° ;
w ^ < 0 ,
поэтому (13-12) означает, что при необратимости верхней изо
термы ab
в течение всего цикла система поглощает
меньше
тепла и
внешние силы
совершают меньшую по абсолютной
величине отрицательную работу, чем в цикле Карно.
Теперь же (фиг. 13-5)
|Qrfc|>|Q^|; Q < 0; W e> 0 и
(13-18)
означает, что при необратимости нижней изотермы в течение всего цикла система отдает окружающей среде больше тепла,
а внешние силы совершают большую
положительную
работу,
чем тогда, когда цикл вполне
обратим.
Аналогичным образом могут
быть интерпретированы (13-13)
и (13-19).
Если бы мы рассмотрели влияние
необратимости каждого
из остальных процессов цикла
(верхней изотермы dc
и двух
адиабат), то, как и в предыдущем случае, убедились бы, что это влияние по качеству одинаково, т. е. необратимость каж
дого
из процессов
вызывает одинаковые по знаку изменения
Q и
отношения
, и т. д.
Чаь
одинаковыми
неравенствами: (13-12) совпадает с (13-18),
а (13-13) — с
(13-19).
Сведения относительно влияния необратимости нам пона добятся в гл. 15, посвященной тепловым машинам.
13-4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЦИКЛЫ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЦИКЛУ КАРНО
1°. Зависимости (13-2) и (13-6)—(13-8) имеют широкую область применений. Это объясняется прежде всего тем, что эти ра венства применимы ко всем системам. Дру гой причиной широты применений являет ся то, что (13-2) и (13-6)—(13-8) справедли вы не только в случае цикла Карно, но и в случае некоторых элементарных обрати мых циклов, несколько отличающихся от цикла Карно.
Рассмотрим цикл Карно, в котором изо термы бесконечно малы, а адиабаты близ ки друг к кругу (фиг. 13-6). Ввиду обра тимости цикла абсолютное значение внеш
ней работы измеряется площадью контура цикла abcda на. диаграмме р — V, т. е.
|Wе |= площ. abcda.
Эта площадь — бесконечно малая первого порядка, так как длины ab и cd изотерм рассматриваются как бесконечно малые первого порядка, длины же обратимых адиабат конечны. Скрытые теплоты Qab и Qcd тоже являются бесконечно малыми
первого порядка (ввиду бесконечной малости длин изотерм). Разность Тс — Та температур конечна, так как длины адиабат
конечны.
Равенства (13-6)—(13-8) и (13-2) применимы ко всем обра тимым циклам Карно как конечным, так и бесконечно малым; поэтому, например,
Кгс -т ,
(13-20)
Qab Та
где, как уже сказано, We и Qab — величины бесконечно малые.
2°. Заменим в этом цикле
изотермы ab и cd
произвольными
обратимыми
Элементарными*
процессами
ар,
сЬ (фиг.
13-6),
причем р лежит на адиабате
Ьс, а 8 — на адиабате da.
Теперь \We \измеряется площадью арс8а. Но площади
тре
угольников
afba и сМс — бесконечно малые
второго порядка.
Пренебрегая величинами второго порядка в сравнении с вели чинами первого порядка, считаем внешнюю работу We в цик-
лах abcda и арс8а одинаковой. Так как процессы ab и ар за канчиваются на одной обратимой адиабате cb$, то на основа нии [7-Д] Qap = Qab (с точностью до бесконечно малой второго порядка); очевидно, и Qc. = Qcd.
Таким образом, (13-20) сохраняет силу и в случае элемен тарного обратимого цикла:
W e
Т с - Та
(13-21)
Qab
В этом цикле рс и 8а — адиабаты, а ар и с8 — произвольные
элементарные
обратимые процессы.
3°. Теперь
рассмотрим
цикл Карно abcda (фиг. 13-7), в ко
тором бесконечно малыми являются адиабаты Ьс и da, а изо термы ab и cd конечны.
Здесь тепло Qab конечно, внешняя работа We в течение всего цикла—бесконечно малая первого порядка (так как |We | измеряется площадью abcda), температуры Тс и Та бесконечно
близки. Обозначив
Та
через Т
и разность
Тс — Та через dt,
имеем согласно (13-20):
^ =
- у
. или
We = Qab -у-
(13-22)
Заменим обратимые адиабаты Ьс и da произвольными обра тимыми процессами рс и 8а. В полученном таким образом цикле арс8а изотермы ар и с8 отличаются от изотерм ab, cd на бесконечно малые величины первого порядка (/?р и db), поэто
му скрытая теплота Qa? будет
отличаться
на бесконечно малую величину
е, первого
порядка от Qab:
Qaf) = Qa& + ei-
Внешняя работа We в течение цикла
apc8a отличается от внешней работы в те чение цикла abcda на бесконечно малую второго порядка.
Отбрасывая бесконечно малые второго порядка, имеем право заменить в (13-22) Qab через Qa?, так как
Qa-i dt — Qab dt -(- el dt,
asxdt — бесконечно малая второго порядка. Таким образом, получим:
dt_
_ Л
Т ’
QaР
Т
(13,23) означает, что во всяком обратимом цикле, содержащем две конечные по длине бесконечно близкие изотермы, отно шение бесконечно малой внешней работы к скрытой теплоте одной из изотерм не зависит от элементарных процессов рс, оа. Это отношение равно отношению бесконечно малой разности dt температур изотерм к абсолютной температуре одной из них.
13-5. ФОРМУЛА КЛАПЕЙРОНА; СКРЫТЫЕ ТЕПЛОТЫ I, Ь
1°. Формулой Клапейрона называется впервые выведенная им зависимость между удельной скрытой теплотой парообразования, разностью удельных объемов насыщенного пара и насыщенной жидко сти, давлением и температурой парооб разования. Эту зависимость легко уста новить, пользуясь (13-23).
В самом
деле,
рассмотрим
следую
щий цикл,
..совершаемый
системой
жидкость — пар (фиг. 13-8):
ab — изобарно-изотермическое
пре
вращение единицы
массы
насы
щенной
жидкости
в
насыщен-
•ный пар при температуре Та ;
Ьс — повышение температуры и давления насыщенного пара на dt и dp по верхней предельной кривой;
cd — изобарно-изотермическое превращение
насыщенного
пара в насыщенную жидкость
при
температуре Те =
= Ta -\-dt\
da — понижение на dt
и dp температуры
и давления насы
щенной жидкости
по нижней
предельной
кривой.
Пусть Qab— скрытая теплота процесса ab; We — внешняя работа за весь цикл abcda. Тогда на основании (13-23)
dt
w = Q ab Т ‘ ‘ а
Так как цикл обратим и совершается против часовой стрелки, внешняя работа положительна и равна площади abcda, т. е.
W = a b ■dp= (vb — va) dp.
Таким образом,
СVb - Va)dP = Q a b J
или
Qab= T (vb - v a) %
Здесь Qab— удельная скрытая теплота парообразования при температуре Та; vb и va — удельные объемы насыщенного пара и насыщенной жидкости при температуре Та\ a dp — прираще
ние давления системы, соответствующее приращению dt тем пературы;
dp — производная давления системы жидкость— пар по тем
пературе. Если график функции р = <р(/) дан (фиг. 13-9), то
^ - = t g a ,
где a — угол, образуемый касательной к кривой в
точке А,
абсцисса которой равна Та.
Отбросив индекс а при температуре парообразования и обозначив удельную скрытую теплоту парообразования при
температуре Т через
L (т.
е. положив Qab= L ) и введя
вместо
удельных объемов vb
и va
обычные обозначения о " и » ',
можем
(13-24) переписать так:
L = T (v " — v ' ) ^ .
(13-25)
В правой части этой зависимости все величины — функции температуры; следовательно, удельная скрытая теплота паро образования— функция одной только температуры.
В критической точке £. (фиг. 13-9) Т и и м е ю т конечные
значения; v" — t;'= 0 , и поэтому L = 0.
2°. Воспользовавшись теоремой (13-23), можно также уста новить выражение скрытой теплоты I изменения объема.
Рассмотрим обратимый цикл abcda
(фиг.
13-10)
в системе
с тремя параметрами. В ^том цикле
Ьс и
da — бесконечно
малые изохоры;
ab и cd — изотермы,
температуры
которых
Та и Тс~ Т а -\- dt.
Любая изохора Dbb\
пересекающая
изотерму
a b , пересекает и изотерму cd. Обозначив через р и р 1 давле ния в точках 8 и 8', расположенных на одной изохоре, имеем:
