книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfОграничиваясь в разложении (7.5) некоторым числом г первых членов, получим соответствующее приближенное выражение матрицы Коши уравнения (7.2):
Go'1а, е) = 2 e*Gi4 . |
(7.6) |
ft= 0 |
|
Отсюда, полагая е = 1, получаем приближенное выра жение матрицы Коши уравнения (2.1):
Go" (t, В = 2 G^1(/. i). |
(7.6а) |
k—Q |
|
По матрице Gог) (/, £), полученной первым или вторым способом (по формулам (7.4а) или (7.6а)), легко определить и приближенное выражение матрицы импульсных пере ходных функций:
G(" (t, I) = 0$'> (t, l) A~' (i) H (g).
З а м е ч а н и е . Go1 ((, g, e), построенные по формуле (7.4) и формуле (7.6) с точностью до членов, содержащих вк (к > г + 1), совпадают, т. е.
|
G&(Л I в) - |
GoVi (/. I. е) = |
e'+'AGj" (t, £, а), |
|
|
||||
где AG?1 (/, g, г) — функция, |
регулярная относительно |
а |
|||||||
в окрестности точки е = |
0. Исходя из этого, |
r-е |
прибли |
||||||
жения, полученные одним и другим способом, следует рас |
|||||||||
сматривать как эквивалентные, так что выбор того или |
|||||||||
иного способа построения G\p(t, |) |
в каждом конкретном |
||||||||
случае нужно производить, руководствуясь соображениями |
|||||||||
удобства |
в |
практическом применении. |
|
|
|
||||
7.2.2. |
|
П р и м е н е н и е |
а л г о р и т м а |
а с и м п |
|||||
т о т и ч е с к о г о |
р а с щ е п л е н и я . Алгоритм расщеп |
||||||||
ления системы линейных дифференциальных уравнений на |
|||||||||
подсистемы |
уравнений |
меньшего |
порядка, |
описанный |
в |
||||
гл. VIII, |
позволяет свести задачу |
по построению разложе |
|||||||
ния фундаментальной матрицы уравнения (7.2) в виде ряда |
|||||||||
по степеням параметра е к более простой задаче построения |
|||||||||
такого разложения |
для |
подсистем |
расщепленной системы. |
||||||
Пусть собственные значения матрицы U (т) = А-1 (т) В (т) на рассматриваемом промежутке изменения аргумента раз биваются на некоторое число р непересекающихся групп
М°\ |
(о = 1, 2 , |
р; 2 * 0 = я). Тогда в со- |
|
|
сг=1 |
ответствии с материалами главы VIII асимптотическое выражение фундаментальной матрицы уравнения (7.2) мож но записать так:
X (/, е) = {Кг(т, е).... |
Кр(т, е)) diag (УL(tf, е), . . Yp(t, в)), |
где Ya (/, е) — асимптотическое выражение фундаменталь ной матрицы подсистемы
|
|
dya |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
“ З Г = |
Лв (т, е)уа |
|
|
|
||
расщепленной системы. |
|
|
|
|
|
|
||
Матрицы Ко (т, |
е) и Ла (т, е) |
имеют |
размеры я |
х ka |
||||
и ka X kaсоответственно и представляются рядами |
|
|||||||
|
Ко (х, в) = |
Кс(т) + |
2 е * 4 41, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
/г=1 |
|
|
(7.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛС(Х, в) = |
Лв(т) + |
2 е*л£‘] (х). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Й= 1 |
|
|
|
Члены первого ряда (7.7) определяются по формулам |
||||||||
|
№ = к № |
|
(* = 1 .2 .3 . |
..) . |
|
|
||
где К = (Кг ... КР) — матрица преобразования |
матрицы U |
|||||||
к квазидиагональному виду |
Л = |
diag (Л15 |
|
Ар); |
—■ |
|||
блочная |
матрица типа я |
х |
ka, состоящая |
из |
блоков |
QJJ? |
||
(s = 1, 2, |
р) с размерами ks X ka. При s =£ а блоки мат |
|||||||
рицы Qo1 однозначно определяются уравнением |
|
|
||||||
|
Л5<й> = |
(ЗЙ’Лс + |
|
|
|
|
||
где М, — s-й блок матрицы |
/M i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
М = К~' |
|
М2 |
|
|
|
||
|
|
> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
\ м , |
|
|
|
|
|
.^[4-1] |
* -1 |
|
|
(К™= а:»). |
|
||
D ol |
' ] = --------1 — |
+ 2 /(о'Л о* - '1 |
|
|||||
|
ат |
|
/=1 |
|
|
|
|
|
— субматрица матрицы
Мг (т,8)
М (т, е)
\Мр(т,е)/
удовлетворяющей тождественно равенству
К (т, е)М (т, е) = Еп,
где К = (KV..KP).
Члены рядов (7.12) и (7.13) в этом случае определяются соотношениями
7 [0] __ у[0 ]-1 |
7 [А] _ |
7 [0] VI 7 и 7 [* -0 |
> |
||
— *а |
1 |
------ JLX1 о |
|
||
|
|
|
/«1 |
|
|
м™ = М0, |
|
|
|
|
|
а^ 1 = - м0S |
|
= - 2 s Q S M * -4 |
|||
|
i=l |
|
1=\ / = 1 |
|
|
|
|
|
1фЗ |
|
|
Тогда |
|
|
{k = |
1 , 2 , 3, . . ) . |
|
|
|
|
|
|
|
G0 (if,|,e) = X (/.8) X - 1 (l,e) = |
|
|
|
||
= |
£ Ко (т, е) Уa it, 6) г„ (Е, е) М„ (т4, е). (7.14) |
||||
|
<т=1 |
|
|
|
|
Отделяя в (7.14) коэффициенты при одинаковых степе нях е и удерживая первые г + 1 членов, имеем
|
<&п it. I, В) = |
2 |
е Ч "1 (<, I, е). |
(7.15) |
|
|
А=0 |
|
|
|
|
При е = 1 из (7.15) получаем |
|
|
|||
|
G ?4 U ) = |
2 |
Go0 (U )- |
(7.16) |
|
|
|
//=0 |
|
|
|
Здесь Gl4 |
(l, |) представляет |
собой |
коэффициент |
при еА |
|
в правой |
части соотношения |
(7.14) при |
8 = 1 . Так, |
|
|
О1.03 (t, Е) = 2 Ко it) у ? 1 (0 4 0] (Е) Л4о ©
и |
|
|
Go11 (t, 1) = |
2 |/С„ (i) П 01 (i)4 0) (1) Mb'1 © + |
|
|
<T—1 |
|
+ /<„ (<) n |
o] W 4 11 (i) M« (l) + Ka (1) |
(<)4 01 © Me © + |
|
+ 4 ‘, w |
4 0, w 4 0] © M o (i) |
и T. Д.
Наконец, еще один способ построения G0, который мож но трактовать как промежуточный по сравнению с первыми
двумя |
способами. |
|
|
|
|
|
|
3. Примем G0 (/, g, е) в форме |
|
|
|||||
<30<л 5,в) = /С(/, е) X ~l (I, е) = |
|
|
|||||
|
|
|
= 2 |
Яо (т, с) К„ (/, е ) УС1 (I, е) yWc(Т{, е). |
|||
|
|
|
ст=1 |
Ко и Масоответствующие раз |
|||
Подставляя сюда вместо |
|||||||
ложения (7.7) |
и (7.13) |
и группируя члены, содержащие е |
|||||
в одинаковых |
степенях |
(без участия |
произведения |
||||
Уо ((, |
© |
е)), получаем |
|
|
|
||
G0(t, £, е) = 2 |
2 |
2 |
(T) YC(t, s) У* 1 © 8) |
K ). |
|||
|
<J=sl Ae=»0 f-»0 |
|
|
|
ь |
||
Ряд (7.17) можно записать так: |
|
(7Л7; |
|||||
|
|
||||||
G„ (/, |
е) = Gir)(t, l, в) + |
S [G f (/, 5 , e) - |
G4*-I) (/, |
«)]• |
|||
Здесь Go\ рассматриваемая как r-e приближение матрицы
G0, определена |
формулой |
|
|
Go’ © 1,8) = s |
S ^ S e ‘4 '1 МУК» (/,е)У<Г>~‘ © e) М5,4_ 11(т6) |
||
(Kla l = /Со |
/И?1= Mo), |
(7.18) |
|
где YV (t, e), |
|
|
|
как |
и выше,— фундаментальная матрица |
||
уравнения (7 .9). |
|
|
|
Полагая в = |
1, из (7.18) получаем |
|
|
Go' 1 (/, I) = |
2 2 |
/с1»*1 (0 У?> (0 |
(6) /И»-Ч (|). (7.19) |
Итак, для Go* (/, Ш получены три выражения: (7.11), (7.16) и (7.19). Все эти выражения, в принципе, должны быть признаны эквивалентными, поскольку предшествую щие им соотношения (7.10), (7.15) и (7.18) определяют такие
значения матрицы Gor) (/, £, е), которые с точностью до чле нов, содержащих &k (k > г + 1 ), совпадают друг с другом. Но если говорить об удобстве практического применения приведенных формул, то, по-видимому, предпочтение сле дует отдавать формулам (7.11) и (7.19).
П р и м е ч а н и е . При интегрировании по t величины, содержащей степень &к, происходит умножение среднего значения этой величины на t, поэтому результат фактически
будет |
содержать в качестве множителя |
степень |
ek_1. |
||||
По этой причине, если в |
выражения |
(т, е) и М{ап (т, е) |
|||||
входят степени |
е°, е \ |
..., |
ег, то Ка* (t, е) |
содержит |
факти |
||
чески |
только |
степени |
е°, е1, ..., вг~К Это |
обстоятельство |
|||
позволяет в целях упрощения отбросить из выражений
матриц |
(т, е) и |
(т, е), |
фигурирующих в формулах |
|
для |
Gcf}, |
члены, содержащие |
ег. В этом случае вместо |
|
(7.11) |
и (7.19) будем иметь соответственно |
|||
Gif' (<, 1 ) = K,r> (I)У1г+“ (/) У|г+,|-‘ © Kir)~' (|)
и
ct" (t, i) = 2 |
2 2 KS,4 |
(0 Уа+1, « П г+,,_1 ( |) М ^ - 1] (1 ). |
o = l ft= 0 1=0 |
' |
|
7.2.3. |
С л у ч а й |
п р о с т ы х с о б с т в е н н ы х |
з н а ч е н и й . |
Если все собственные значения %г, Д,2, .... %п |
|
матрицы U на рассматриваемом промежутке изменения аргу мента остаются простыми, то их можно разделить на п «групп», сохраняя в каждой «группе» по одному собствен ному значению. При этом расщепленная система будет со стоять из скалярных уравнений:
- ^ - = Ы т ,8 )у„ |
( 4 = 1 ,2 ...........л), |
где |
|
‘Кз ('t. В) — |
4“ 2 в*х4*^. |
|
Л=1 |
В силу этого |
_ |
t _ |
„ |
||
о. ($, в) = 2 |
Ко (т, в) Ма(т|, б) ехр ^ Яд (т, е) dt. |
|
0=1 |
|
I |
Члены разложений матриц Ко» Ма и скалярных функций Яд определяются в данном случае формулами
S=1 |
^ |
- t |
t |
MgDS -r J |
|
1=1 |
S= 1 |
|
|
s+o |
|
|
S*0 |
|
jt*J = |
— iWoDi*- '1- |
|
|
|
В соответствии с этим соотношения (7.11), (7.16) и (7.19) принимают вид
GV (i, D = |
2 К?* (1)м £ ’ (i) exp j W (0 <#. |
(7-20) |
||||
|
|
0=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
■1 - 1 |
|
|
где Ma]— строка cr матрицы /C(f) |
. a |
|
||||
|
|
x(ar) = |
Я д+ |
2 Я1оА1{ |
|
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
Gjf* (/, g) = |
2 |
Gi*1 (*, &), |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
Go01 (<, g) = |
2 Ко (0 |
(5) exP I x" (l) A |
|
|||
|
|
0=1 |
|
|
|
|
«S'>(*,£) = 2 |
K„(t) Ма © |
i t f 1 Ф ^ + K« W M<1 |
®) + |
|||
cr=l |
« |
|
|
, |
< |
|
|
|
|
|
|||
+A:b‘1(OA<»(i)JexPl Xo(/)d<
иT. П.
Итретья формула:
П |
Г |
k |
4j>(0d<.(7.21) |
Gif’M - 2 |
2 |
S |
№ ф мУ~» © exp I |
a=i*=o/=o |
I |
||
7.2.4. |
П р и м е р . |
О д н о м е р н а я |
с и с т е м а |
в т о р о г о |
п о р я д к а . |
Рассмотрим линейную |
систему |
с одним входом и одним выходом, представленную скаляр ным уравнением
-^Г + я , (()-§ - + a-t (0 <? = “ •
Записав это уравнение в векторно-матричной форме, имеем
-75- = U ( i ) x + H ( i ) u ,
где |
|
|
|
( q |
|
|
||
О |
I \ |
/ 0 \ |
|
|
|
|||
U = |
|
»-*,). * - u |
|
|
||||
|
^2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ш, |
|
||
Будем предполагать, что на рассматриваемом промежут |
||||||||
ке изменения |
аргумента |
а\ — 4а2 Ф 0, |
так |
|
что |
|
Я,! Ф Я,а. |
|
Имея в виду, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k\!J |
|
( |
= |
|
, |
|
), |
кУ] = |
МУ1= (/п й т й ) |
1 |
2 |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|||
$8.
находим, используя формулу (7 .2 1 ),
“ " " ' “ - ( « « м ) - 01" 1М “ -
Отсюда искомая импульсная переходная функция
gV {U l) = |
2 |
2 Q2 kia (t) ml0k2~i} (l) exp f W |
(t) dt. |
|||
Построим |
* |
(f, |
i) при r = |
о, 1, 2. |
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
К - ( K M - l l g . |
K !» - |
KiMi |
dKi |
|||
%i — Xj |
dt |
|||||
_ ( К |
о \ |
3 4 4 |
- - М |
, |
Л |
|
\ 0 |
x j* |
|||||
|
|
|
г *
м |
_ / МЛ |
1 |
К - I |
/ 1 |
|||
|
\M J ~ |
к - h |
\— К |
а*5ч — |
|
|
|
|
« 5 *1= |
|
■ « / 1( |
4 ^ |
|
+ |
« |
W |
1) |
^ |
|
|
^ |
^ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/=£/; |
|
/ , / = 1 , 2 ). |
|
|||
|
Произведя необходимые |
вычисления, получаем |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i t |
| |
1 |
, |
,^[1] |
|
_ |
|
dA,4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
] |
|
|
iff |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(К -К )2 \К Г |
2 |
|
“ |
( ^ - Х 2)2 W |
’ |
|
|
|
||||||
|
|
|
dA,x |
|
|
|
|
|
|
dA,a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М,! = |
dt |
|
|
|
ч,С1] |
= |
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xa- |
Aj |
|
|
#\i9 |
|
A-i— X2 |
* |
|
|
|
|
|
|||
|
|
d/L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dXt |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
1 |
— x2)3 ( |
^ |
|
|
^ 2 ] — |
(^*— ^ 3 |
( |
^2 |
П; |
|
|
|||||
isi2 ] _ |
1____ Г |
/q |
dA^_____ dA,a |
|
\ |
■ |
daA1 |
__ л |
■. |
/ |
^ \ |
|
|||||
A l |
~ |
{A,, — Ax)4 [ |
d/ Г |
|
dt |
dt |
) ' |
|
d/2 |
|
^ |
|
\ \ |
J , |
|
||
w |
= |
|
dAt dAa |
- ^ ) +- g ' - f c — ч( О- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
dAx |
dA,a |
|
|
||
|
|
A,P] = |
d/ |
dt |
|
^[2] __ |
~dT |
dt |
|
|
|
|
|
(A-a — Aa)3 |
’ |
" z |
|
(A,j — A,^3 ’ |
|
||||
^ |
“ |
1 R F |
|[( V - |
V |
) 4 r |
+ |
^ |
|
- |
3 4 |
1)] x |
|
|
|
|
|
x ( - * , |
|
|
|
|
l)}. |
|
^ |
- |
- j s r i g r |
{[(^ - |
^> ^ |
+ |
^ |
( ^ |
- |
3 |
J x |
|
|
|
|
|
|
x ( - 4 |
D |
|
- |
- |
•)}• |
|