- •Л.Т. Моисеева Математический пакет MathCad
- •Казань 2004 введение
- •Работа № 1 Часть 1.Значения переменных и функций, график функции одной переменной
- •Часть 2.Операции с матрицами, массивами
- •Работа № 2 Часть 1.Графика
- •Часть 2.Решение алгебраических уравнений
- •Работа № 3 Часть 1.Решение систем алгебраических уравнений. Численное интегрирование
- •Часть 2.Дифференцирование функций. Решение дифференциальных уравнений
- •Работа №4 Часть 1.Системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Часть 2.Аппроксимация экспериментальных данных
- •Оглавление
Часть 2.Аппроксимация экспериментальных данных
Экспериментальные данные могут быть заданы в виде таблицы n пар чисел Xi; Yi. Аппроксимировать их, значит построить функцию, которая пройдет как можно ближе к заданным точкам. Существует много численных методов решения этой задачи. Некоторые из них запрограммированы в пакете MathCad. На рис. 25 приведен пример линейной аппроксимации 7-ми пар чисел, занесенных в массивы Xi, Yi.
Рис. 25
Линейная аппроксимация предполагает построение прямой y(x) = ax + b, проходящей через заданные точки. Коэффициент а можно получить с помощью функции slope(X,Y), свободный член получаем с помощью функции intercept(X,Y). Следует иметь в виду, что эти функции работают с упорядоченным по возрастанию массивом X. Для упорядочения обоих массивов воспользуемся следующим приемом. Числа Х запишем в нулевой столбец двумерного массива М, числа Y запишем в первый столбец этого массива. Затем следует воспользоваться функцией csort(M,0), осуществляющей сортировку массива М по возрастанию нулевого столбца. После этого отсортированные пары чисел снова переписываются в массивы X и Y. Теперь можно вычислить коэффициенты a и b. Для приведенного примера они получились равными 7,63 и –12,282. Таким образом, искомая аппроксимирующая прямая имеет вид у(х) = 7,63х – 12,282. В принципе можно считать, что поставленная задача решена. Однако можно еще построить график, подсчитать абсолютную погрешность аппроксимации по формуле i = Yi – y(Xi), относительную погрешность по формуле .
Задание 1. Повторите линейную аппроксимацию вышеприведенного примера. Постройте графики, подсчитайте абсолютную и относительную погрешности аппроксимации.
MathCad имеет возможность осуществить нелинейную аппроксимацию полиномом k-й степени. Степень аппроксимирующего полинома выбирается с помощью столбца, содержащего члены полинома без коэффициентов, начиная с низшей степени (т.е. с нулевой). Аппроксимация полиномом выполняется с помощью функции linfit(X, Y, f ), где f – имя столбца, содержащего члены полинома. Результатом выполнения этой функции являются коэффициенты аппроксимирующего полинома.
На рис. 26 приведен пример аппроксимации данных из предыдущего примера полиномом 3-й степени.
Рис. 26
Задание 2. Постройте аппроксимирующие полиномы 2-й и 3-й степени. Сравните погрешности линейной аппроксимации с погрешностями аппроксимации 2- и 3-й степеней. Постройте на одном поле графики линейной аппроксимации и аппроксимации 2-й и 3-й степеней.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
Работа № 1 4
Часть 1. Значения переменных и функций, график функции одной переменной 4
Часть 2. Операции с матрицами, массивами 8
Работа № 2 11
Часть 1. Графика 11
Часть 2. Решение алгебраических уравнений 14
Работа № 3 17
Часть 1. Решение систем алгебраических уравнений. Численное интегрирование 17
Часть 2. Дифференцирование функций. Решение дифференциальных уравнений 20
Работа №4 23
Часть 1. Системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения высших порядков 23
Часть 2. Аппроксимация экспериментальных данных 26
Оглавление 28