Часть 2.Решение алгебраических уравнений

MathCad решает уравнения и системы уравнений методом последовательных приближений. Для решения этим методом необходимо задать начальное приближение, то есть значение переменной х, от которого начнется последовательное приближение к одному из корней уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, то от выбора начального приближения зависит, который из них будет найден. Для определения каждого корня необходимо задавать разные начальные приближения. Например, уравнение x² + x = 12 имеет два корня. Приближенные их значения можно определить, построив график функции f(x) = x² + x – 12 на интервале x(–15; 15). Корни уравнения находятся на пересечении графика f(x) с осью х:

x:= –15..15 f(x):= x² + x – 12

f(x)

x₁ x₂

Из графика видно, что один из корней (x₂) больше нуля, другой (x₁) – меньше нуля. Поэтому для нахождения первого корня нужно задать положительное начальное приближение (например, 5), второго – отрицательное (например, –5). Затем следует написать слово Given (дано) и затем само уравнение. Знак равенства при записи уравнений ставиться нажатием кнопки (Рис. 16). Для решения уравнений в пакете MathCad существует функция find, аргументом которой является искомый корень уравнения:

Поиск первого корня:

x:= 5

Given

x² + x 12

find(x)=

Поиск второго корня:

x:= –5

Given

x² + x 12

find(x)=

Проверить правильность найденных корней можно, подставив их в функцию f(x) и нажав обычный знак равенства с клавиатуры: f(х₁) = ; f(х₂) = . Если MathCad выдаст Вам 0, значит корни уравнения найдены правильно.

Задание 1. Повторить решение квадратного уравнения x² + x = 12 с проверкой найденных корней.

Задание 2. Самостоятельно решить уравнение t² + t = 3,75 с проверкой найденных корней.

Задание 3. Решить уравнение x² – x = –48.

Если уравнение не имеет действительных корней, то есть его график не пересекает ось х, как это было в задании 3, то при решении с помощью функции find MathCad выдает сообщение, что решения нет (Рис. 17).

Рис. 17

Однако это не значит, что MathCad не может решить такое уравнение. Может, но с помощью функции polyroots, которая находит все корни уравнения, в том числе и комплексные. Правда функция polyroots решает не любые уравнения, а только имеющие вид полиномов. Аргументом функции polyroots является столбец коэффициентов, записанных в порядке возрастания степени аргумента. Например, уравнение из задания 3 можно записать в виде 48 – х + х² = 0. Тогда столбец коэффициентов будет содержать числа 48; –1; 1. Начальное приближение при этом задавать не нужно. Само уравнение выписывать тоже не нужно. Результатом выполнения функции polyroots( ) является столбец решений уравнения:

Задание 4. Решить уравнения 3,8t² – 7,5t + 13 = 0; 2z³ + 20z² + 100 = 0.

Задание 5.Задача о пожарном ведре.

Определить оптимальный угол  сектора, который нужно вырезать из круглого листа радиуса R , чтобы получить ведро максимального объема V (Рис. 18).

Радиус ведра, его высота и объем в зависимости от угла вырезаемого сектора  (альфа) вычисляются по следующим формулам:

r() =;h() = R;V() = r()²h()/3;

Чтобы убедиться, что максимум существует, постройте график V() для R = 1 и (0; 360). (R и  нужно задать перед формулами, определяющими объем ведра, график строить после этих формул). Максимальное значение функции V() высвечивается на экране, если график выделен щелчком мыши (Рис. 19).

Рис. 19

Присвойте это значение переменной Vmax. Все перечисленные действия предлагается выполнить самостоятельно. Задача сведется к решению уравнения V() = Vmax. Решите его с помощью функции find:

:=50

Given

V() Vmax

find()=

Теперь Вы знаете величину угла сектора, который нужно вырезать из круглого листа, чтобы объем ведра получился максимальный.