Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4544 45 > Следующая >>>

§ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

431

Сначала докажем (9.13). Так как

|сФ4 (s, w) |^ Льгг на множестве (u>; |w ||г •< е),

то

P ' f l j сФг(з, ю)Аг*(а)| >6Ци?||г < е ^

<;И 6ехр £ ---- —— j—2— J ^ /s^ ex p j^ — К2-^j- , если 0 < в < ^ 36,;

где применен стандартный способ оценивания, как и в доказатель стве теоремы 8.2. Отсюда легко заключить, что

lim Ew I exp U| |сc ]| Ф^Д(s,$ w) dwil (s) |jJ|jIJw||r <

e |= 1.

(9.14)

Действительно, для каждого б0> О и О < е < К,60

Ew \expх р

Jс j Ф * (s, w) dw* (s) jJ11 w||r < ej

'° + Ki

^ e x p [ - ^

dl + K ie6oexp

[-¥ ]■

*“

Устремляя сначала e I 0, а затем 60 \' 0, получаем

(9.14).

Наконец, докажем (9.12). Записывая

cb'j= с(х),

видим, что достаточно показать, что

?w I

охр

. т

IWИг <

< 1

(9.15)

с (ф (s)) dlH(S

lim Е

elo

для всякой функции c(x) e

Cl (Rd).

Имеем

с (Ф (s)) d t (s) =

с (ф (T)) t

(T) -

f t (s) d [ С (Ф (s))].

К тому же

43 2	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

где ц'Дг) определяется равенством (8.11). Как мы видели в дока зательстве леммы 8.2,

Лм (t) = В I К"7*)*(*) + (И 2 (s)]ds

где В — броуновское движение, независимое от радиального процес

са {\|w(f)\|} (и,	следовательно, независимое от Иц?1!г). Тогда
Ew ^ехр \| j с (Ф (*)) d t (s)J 11\|wJr <			е) <
^	eK^2Ew / exp Г Къ		max j В (t) \
	I	L	0<(Че2т
= e* 4s2J	/ т “ р [ —		1 при е\|0,
= e* 4s2J	/ т “ р [ —

что и завершает доказательство.

В§ 4 гл. V мы видели, что диффузия {Р*} симметризуема тогда

итолько тогда, когда дифференциальная 1-форма со, определенная

равенством

со = 2J Ъг (х) dxl,

i=l

задается в виде со = dF для некоторого f

e C ” (R '-+ R). Это

экви

валентно также

тому, что криволинейный

интеграл j со

обращает-

ся в 0 вдоль каждой замкпутой гладкой кривой. С использованием

теоремы 9.1 это

условие

можно

переформулировать

следующим

образом.

симметризуема в том

и только

Т е о р е м а 9.2. Диффузия {Р*}

в том случае, если

/ J

A T

(

—

lim

—----------- г----- — =

(9.16)

£10 •Рх(||“; -Ф -||Г<8)

для всякого х и всякой

гладкой

кривой

ф:

[О,

Т\

R1*

такой,

что

9(0) = Ф (Т) = х. Здесь кривая ф- определяется равенством

q>-(t)-<p(r — t),

0 < i <

Г.

(9.17)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

теореме

9.1,

предел

(9.16)

равен

9 в. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

4 з а

Таким образом, (9.10) выполняется в том и только в том случае,

если [ ю = 0.

Аналогичная вероятностная характеризация симметрии была получена Колмогоровым [90] в случае марковской цепи.

Добавление при корректуре. Недавно был получеп следующий общий результат: в экспоненте в правой части соотпошония (9.3)

следует добавить член j R (cp (s)) ds/\2 (R — скалярная кривизна)

и М 2 понимать в смысле римановой нормы. Этот результат будет опубликован в статье И. Такахапш и Ш. Ватанабэ (Ргос. LMS Symp. on Stochastic Integrals, Durham, 1980). Кроме того, T. Фуджита и С. Котани получено аналитическое доказательство, которое появится в математическом журнале университета /йаото-

28 С. Ватанаб». Н. Инада

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	А г м о е	(Agmon	S.) Lectures on elliptic boundary value problems.— Prin
2.	ceton New Jersey,		1905.	Perturbations	singulieres et solutions slochastiques
	An р о л т	(Airault H.)
	dc problemes de D. Neumann Spencer.— J. Math. Pures Appl.,					1976, v. 55,
	p. 233—268.		V. E.)	Composition	and invariance methods	for solving
3. Б е н е ш		(Benes

some stochastic control problems.— Adv. Appl. Prob., 1975, v. 7, p. 299—329. =

4.Б е р п ш т е й н C. H. Принципы теории стохастических дифференциаль ных уравнений.— Тр. физ.-мат. ин-та им. Б. А. Стеклова, 1934, т. 5, с. 95— '

124.		С .Н .	(Uernslcin S.)		Equations differentielles stochasti-
5. Б е р н ш т е й н
ques,— Act. Sci. et Ind.,			738, Conf. intern. Sci. Math. Univ. Geneve.— Paris:
Herman, 1938, p. 5—31.
6. Б и л л и н г с л и		II. Сходимость вероятностных мер.— М.: Наука, 1977.
7. Б и ш о п Р.,	К р и т о н д е н Р. Геометрия многообразий.— М.: Мир, 1967.
X Б л ю м е н т а л ,		Г е т у р	(Blumenthal R. М., Getoor R. К.) Markov proces
ses and potential theory.— Now York: Academic Press, 1968.
9. B a p а д а н	(Varadhan		S. R. S.)	Stochastic processes, Lecture Notes.— Cou-
rant Institute	of	Math. Sci. New		York	Univ. (1967—1968), 1968.

10.В а т а н а б э (Walanabe S.) On stochastic differential equations for multi dimensional diffusion processes willi boundary conditions, I—II.— J. Math. Kyoto Univ., 1971, v. 11, p. 169—180, p. 515—551.

11.В а т а н а б э (Watanabc S.) Solution of stochastic differential equations by random time change,— Appl. Math. Opt., 1975, v. 2, p, 90—96.

12.В а т а н а б э (Watanabc S.) On time inversion of one-dimensional diffusion

rprocesses.— Z. Wahr. verw. Geb., 1975, v. 31, p. 115—124.

13. В а т а н а б э (Watanabe S.) Stochastic differential equations.— Tokyo: Sangyo Tosho, 1975.

14.В а т а н а б э (Watanabe S.) Construction of diffusion processes by means Poisson point process of Brownian excursions.— I’roc. Third Japan — USSR

Symp. Prob. Theor. Lecture Notes in Math.— Berlin: Springcr-Verlag, 1976,


15.	v. 550, p. 650—654.			S.)	Poisson point process of Brownian excursions
	В а т а н а б э		(Watanabe
	and	its applications to diffusion processes.— Proc. Symp. Pure Math. Amer.
16.	Soc.,	1977, v. 31, p. 153— 164.			Excursion point process of diffusion and
	В а т а н а б э		(Watanabe	S.)

stochastic integral.— Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto 1976 (под ред. К. Ito).— Tokyo: Kinokuniya, 1978, p, 437—461.

17. В а т а н а б э (Watanabe S.) Point processes and martingales.— Stochastic Analysis (под ред A. Friedman и M. Pinsky).— New York: Academic Press, 1978, p. 315-326.

18.В а т а н а б э (Watanabe S.) Construction of diffusion procesess with Wentzell’s boundary conditions by means of Poisson point processes of Brownian excursions.— Probability theory, Banach Center Publications.— Warsaw: Po lish Scientific Publishers, 1979, v. 5, p. 255—271.

19.В е н т ц е л ь А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузион ных процессов,— Теория вероятн. и ее нримен., 1959, т. 4, № 2, с. 172—185.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4 3 5

20. В и н е р

(Wiener

N.) Differential

space.— J. Math'.

Pirys.,

1923,

p. 131— 174.

,\\) .Nonlinear problems in random

theory.— New

York:

21. В и н е р

(Wiener

M. I. T. Press, Cambridge and John Wiley and Sons, 1958.

and

22. В о nr,

З а к а й

(Wong E., Zakai M.) On the relation between ordinary

stochastic differential equations.— Intern. J. Engng. Set., 1965,

v. 3,

p. 213—

229.

(Gaveau

B.) Principle dc

moindre

action,

propagation

de la

chaleur

23. Га в С

el estimees sous

olliptiques

sur

certain

groupcs

nilpotcnts.— Acta

Math.r

1977, v. 139, p. 95-113.

inequalities,

Seminar Notes on

Becent

24 Г а р с и я

(Garsia

A M.) Martingale

Progress.— Reading, Massachusetts: W. A. Benjamin, 1973.

martingales.—

25. Г е т у р ,

Ш а р п

(Geloor

И. K., Sharpe

M. J.)

Conformal

Intent. Math., 1972, v. 16, p. 271—308.

26. Г и р с а н о в И. В. О преобразовании одного класса, случайных процессов


с помощью	абсолютно непрерывной замены меры.— Теория вероятп. и ее
нримен., 1960, т. 5, N° 3, с. 314—330.					случайных	процессов.—
27. Г и х м а п	И. И.	Об одной	схеме образования
Докл. АН СССР, 1947, т. 58. N° 6, с. 961—964.
28. Г и х м а н	И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случай
ными функциями.— Укр. мат. жури., 1950 ,т. 2, № 4, с. 45—69,
29. Г и х м а п	И. И.	К теории	дифференциальных		уравнений	случайных
процессов.— Укр. мат. журн., 1950, т. 2, N° 4, с. 37—63.
30. Г и х м а п	И. И.,	С к о р о х о д		А. В. Стохастические дифференциальные
уравпеиия.— Киев: Наукопа думка, 1968.
31. Г и хм а и	И. И.,	С к о р о х о д		А. В. Теории случайных процессов, III.—
М.: Наука, 1975.		1>. О орсдстаилсиии целочисленных случайных мер как
32. Г р и г е л и о п и с
стохастических интегралов			но	пуассоновской мере.— Лит. мат. сб., 1971,

т.11, N° 1, с. 93-108.

,33. Г р и г е л и о н и с. В. О мартипгалмшй характеризации случайных про

цессов	с	независимыми	приращениями.— Лит. мат. со.,	1977,	т. 17,	№ 1,
е. 75-86.				manifolds		which
34. Грин,	B y (Greene R. К., Wu Н.) Function theory on			manifolds		which
possess	a	pole, Lecture	Notes Math.— Berlin: Springer-Verlag,		1979,	v. 699.

' 35.	Г р э х р м	(Graham		R.) Path	integral formulation of general diffusion pro
	cesses.— Z. Physik B., 1977, v. 26, p. 281—290.
36. Д е б и я р д ,		Ганс,		M a a e	(Debiard A., Gaveau B>, Mazeli E.) Theore-
	ines de coinpuiaison			on geometric riemamuenne.— Publ. RIMS. Kyoto Univ.,
	1976, v. 12, p. 391—425.
37. Д е л л а ш е р и			К.	Емкости и случайные процессы.— М-: Мир, 1975.
38.	Д е л л а ш е р и		(Dellachcric		С.) Integrals slochastiques par rapport aux
	processus de Wiener de Poisson.— Seminaire de Prob. (Univ. de Strasbourg)
39.	VIII, Lecturo Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlng, 1974, v. 381, p. 25—26.
	Де Р ам	(do	Ilham	G.) Varietes differentiable.— Paris: Hermann, 1960.

40.Д ж о л и н (Jeulin 'I'.) Grossisseineril d'uno filtvation ct applications.— Seininaire do Prob. XII (Univ. de Strasbourg Lecture) Notes in Math.— Berlin:

Springer-Verlag, 1979, v. 721, p. 574—609.

41. Д о л с а и с - Д а д e,	М е й е р	(Doleans-Dade C., Meyer P. A.) Integrates
stocliastiques par rapport aux		martingales locates. Seminairo de Prob. (Iniv.
de Strasbourg) IV,	Lecture Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlag, 1970,

v.124, p. 77—107.

42.Д о с с (Doss H.) Liens entre equations differentiates stochastiques et ordinaires.— Ann. Inst. H. Poincare, 1977, v. 13, p. 99—125.

43.Д у б Дж. Л. Вероятностпые процессы.— М.: ИЛ, 1956.

44. Д ы н к и н	Е. Б. Основания теории марковских процессов.— Физматгиз,
1959.	Е. Б. Марковские процессы.— М.: Физматгиз, 1964.
45. Д ы н к и н	Е. Б. Марковские процессы.— М.: Физматгиз, 1964.

28*

436	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
46. Дь е р, Б а х	(Durr D., Bach A.) Ohe Onsager-Machlup function as Lagran-

gian lor the most probable path of a diffusion process.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 60, p. 153-170.

47.Е р ш о в (Yershov M. P.) On stochastic equations.— Proc. Second Japan — USSR Symp. Prob. Tlieor. Lecture Notes in Math.— Berlin: Springer-Veriag, 1973, v. 330, p. 527-530.

48.Е р ш о в (Yershow M. P.) Localization of conditions on tho coefficients of


diffusion	type equations in existence theorems.— Proc. Intern. Symp. SDE
Kyoto 1976		(под ред. К. Ito).— Tokyo: Kinokuniya, 1978, p. 493—507.
49. Ж а к о д	(Jacod J.) Calcul stochasliquc et problemes de martingales.— Lec
ture Notes in Math.— Berlin: Springer-Veriag, 1979, v.. 714.
50. З в о н к и н		А. К., К р ы л о в		H. В. О сильных решениях стохастических
дифференциальных уравнений.— Тр. школы-семинара по теории случай
ных процессов (Друскинипкай, 1974).— Вильнюс, 1975, ч. 2, с. 9—88.					sys
51. Пиле,	У л в о р т и		(Eells J., Elworthy К. D.) Stochastic dynamical
tems.— Control theory			and topics in functional analysis, III, Intern. Atomic
energy agency.— Vienna, 1976, p. 179—185.					pro
52. И к э д а	(Ikeda N.)		On the	construction of two-dimensional diffusion

	cesses satisfying WentzeU's boundary conditions and its application to boun
	dary value problems.— Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Math., 1961, v. 33, p. 367—
53.	427.	М а н а б э	(Ikeda	N., Manabc S.)	Stochastic integral of differen
	Ик э д а ,
	tial forms and its applications.— Stochastic				Analysis (иод ред. A. Friedman,
54.	M. Pinsky).— New York: Academic Press, 1978.
	Ик э д а ,	М а н а б э	(Ikeda	N\, Manabe S.) Integral of differential forms
	along the path of diffusion processes.— Publ. RIMS, Kyoto Univ.,						1979, v. 15,
55.	p. 827—852.		Ям а т о	(Ikeda N., Nakao S., Yamato Y.)			A class of
	Ик э д а ,	На к а о ,
	approximations of Brownian			motion.— Publ. RIMS,		Kyoto Univ.,	1977, v. 13,
56.	p. 285 -300.					The local structure of a
	Ик э д а ,	В а т а н а б э (Ikeda N., Watanabo S.)
	class of diffusions and related problems.— Proc. Second Japan — USSR Symp.
	Prob. Theor., Lecturo Notes			in Math.— Berlin: Springer-Veriag, 1973, v. 330,

p. 124— 169.

57.Ик э д а , В а т а н а б ? (Ikeda N., Watanabe S.) A comparison theorem for solutions of stochastic differential equations and its applications.— Osaka J. Math., 1977, v. 14, p. 619-633.

58. Ик э д а ,			В а т а н а б э (Ikeda		N„	Watanabe S.)	Heat equation and			diffu
	sion	on	Riemannian manifold		with	boundary.— Proc.		Intern.	Symp.	SDE
59.	Kyoto 1976 (под ред. К. По), р. 75—94,— Tokyo: Kinokuniya, 1978.
	И то	(Ito Н.) Probabilistic construction of Lagrangean of diffusion proces
60.	ses and its application.— Prog. Theoretical Phys.,						1978, v. 59, p. 725—741.
	И то	(Ito K.)		Differential equations determining Markov processes.— Zen-
61.	koku Shijo Sugaku Danwakai, 1942, v. 244, № 1077, p. 1352—1400.
	И то	(Ito K.)		On stochastic processes (1) (Infinitely				divisible	laws of pro
62.	bability).— Japan J. Math., 1942, v. 18, p. 261—301.							Tokyo,	1944,	v. 20,
	И то	(Ito K.)		Stochastic integral.— Proc. Imp. Acad.
63.	p. 519—524.			On a stochastic integral equation.— Proc. Imp. Acad. Tokyo,
	И то	(Ito K.)
64	1946, v. 22, p. 32—35.						in a	differentiable		mani
	И то	(Ito K.)		Stochastic differential equations
	fold.— Nagoya Math. J., 1950, v. 1, p. 35—47.
65. И то		(Ito K.)		On stochastic differential equations.— Mem. Amer. Math. Soc.,
	1951, v.		4.

66.И то К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциа лов.— Сб. пер., 1959, т. 3, № 5, с. 131—141.

67. И то (Но К ) Multiple Wiener integral.— J. Math. Soc. Japan, 1951, v. 3, p. 157—169.

			СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	437
<58. И то	(По	К.)	Stochastic differential equations in a differentiable	mani
fold	(2).— Mem. Coll. Sci. liniv. Kyoto Math., 1953, v. 28, p. 81—85.
69. И то	(Ito	K.)	Theory of probability.— Tokyo: Iwanami, 1953 (яионск.).

70.И то (По К.) Lectures on stochastic processes.— Bombay: Tata Institute of Fundamental Hesearcli, 1960.

71. И то

(Но К.) Thu Brownian motion and tensor fields on Riemannian mani

fold.— Proc. Intern. Congr. Math., Stockholm,

1903,

p. 536—539.

вып. 2.— М.:

72. И то

К.

Вероятностные

процессы. Вып. 1,— М.: ИЛ, 1960;

73.

ИЛ, 1963.

Stochastic differentials.— Appl. Math. Opt., 1975, v. 1, p. 374—

И то

(Но К.)

74.

381.

(Ito

K.)

Poisson point processes attached to Markov processes.— Proc.

И то

Sixth

Berkeley Synip. Math. Statist. Prob. III.— Berkeley: Univ. California

75.

Press, 1972, p. 225 -239.

parallel

displacement.— Probabilistic methods in

И то

(Ito

S.)

Stochastic

differential

equations,

Lecturo .Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlag,

1975,

v. 451, p.

(По

К , Watanabe S.) Introduction to stochastic diffe

76. Ито,

В а т и н а 6»

rential equations.— Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto 1976 (под ред. К. Н6)_.—

Tokyo: Kinokuniya, 1978, p. 1—30.

77. И то

К.,

M а к к и н

Г. Диффузионные процессы и их траектории.— М.:

78.

ИЛ, 1968.

(Но

К.,

Nisio М.) On stationary solutions of a stochastic

Ито,

Н и с и о

79.

differential equation.— J. Math. Kyoto Univ.,

1964, v. 4, p. 1—75.

indepen

Ито,

Н и с и о

(По

К., Nisio М.)

On the convergence

of sums of

dent

Banach

space

valued random variables.— Osaka

J. Math., 1968,

v. 5,

80.

p. 35—48.

(Kn/.anmki

N.) The equivalence of two conditions on weigh

К а з а м а к и

ted norm inequalities for niailiugnles. Proc. Inern. Syinp. SDK Kyoto 1976

81.

(иод ред. К. Ho).

Tokyo: Kinokiiiiiyti, 1978, p. 111—152.

К а м е р о н ,

М а р т и н

(Cameron it. 11., Murtin VV. T. Transformation of

Wiener

integrals

under

translations.— Ann.

Muth.,

1944, v. 45,

p. 386—

82.

396.

М а р т и н

(Cameron R. IL, Martin W. T.). Evaluation of va

К а м е р о н ,

rious Wiener integrals by use of certain Sturm-Liouville differential equa

tions.— Bull. Amer. Math. Soc., 1945, v. 51, p. 73—90.

83. К а р о й ,

Л е п е л т ь е

(Karoui N. E., Lepeltier J. P.) Representation des

processus

punctilios

multivaries

a 1'aido

d'un

procesessus

Poisson.—

84.

Z. Wahr. vervv. Cell.,

1977, v>. 39, p. I l l —133.

К a c a x a p а,

К о т a u и

(Kasuliara Y., Kotuni S.) On limit processes for a

class

additive

functionals of

rocurront

diffusion

processes.— Z.

Wahr.

vervv. Geb., 1979, v. 49, p.

133 •159.

85.К а ц (Kac M.) O IL distributions of corlain Wiener functionals.— Trans. Amer. Math. Soc., 1949, v. 05, p. 1—13.

86.К а ц M. О некоторых связях между теорией вероятностей, дифферен

циальными и интегральными уравнениями.— Сб. пер., Математика, 1957,

т. 1, № 2, с. 95—124.

87.К н а н т (Knight F. 11.) A reduction of continuous squareintegrable martin

gales

Brownian

motion.— Lecture Notes

in Math.— Berlin: Springer-Ver

lag. 1971.

v. 190.

Об

аналитических

методах

теории вероятно

,88. К о л м о г о р о в A. II.

стей.— УМН,

1938,

т.

(Впервые

на немецком

языке: K o l m o g o -

r o f f

А. N.

Uber

die

analylischen Methoden in der Walirscheinlichkeits-

rechnung.— Math, Ann., 1931, v. 104, p. 415—458.)

89. К о л м о г о р о в

(Kolmogoroff

A. N.)

Zuffilige Bewegungen.— Ann. Math.

II, 1934, v. 35, p. 116-117.

90. К о л м о г о р о в

(Kolmogoroff

A. N.)

Zur

Theorie

der

Markoffschen Ket-

tern.— Math.. Ann,,

1936, v. 112, p. 156—160.

438	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
91. К о л м о г о р о в	(Kolmogoroff Л. N.) Zur Umkehrbarkeit der slalistischen

Naturgesetze.— Math. Ann., 1937, v. 113, p. 766—772.

92.К о н н е р (Conner P. E.) The Neumann’s problem for differential forms on Riemannian manifolds.— Mem. Amer. Math. Soc., 1956, v. 20.

93. К р е й н , Р у т м а п	(Krein M. G., Rutman M. A.) Linear operators lea
ving invariant a cone	in a Banach space.— Amer. Math. Trans. Ser. 1, 1950,

v.10, p. 199—325.

94.К р ы л о в H. В. О стохастических интегральных уравнениях Ито.— Тео рия неролтн. и ее примен., 1969, т. 14, № 2, с. 340—348.

95.К р ы л о в II. В. Управляемые процессы диффузионного типа.— М.: Нау ка, 1977.

96. К р ы л о в			Н. В.,		С а ф о н о в		М. В. Оценка вероятности достижения диф
	фузионным процессом множества положительной меры.— Докл. АН СССР,
	1979, т. 245, с. 18—20.								control systems.— Course at
97. К у п и т		a	(Kunita II.) Diffusion processes and
98.	University of Paris VI, 1974.								processes.— Tokyo: Sangyo
	К у н и та		(Kunita II.) Estimation of stochastic
99.	Tosho, 1976		(япоиск.).
	К у н и та		(Kunita H.) Supports of diffusion processes and controllability
	problems.— Proc.				Intern. Symp. SDE Kyoto 1976 (под					ред. К. Ito).— To-
	kyoa Kinokimiya,				1978, p. 163— 185.			,
100. К у н и та			(Kunita 11.) On the representation of solutions of stochastic dif
	ferential	equations.— Seminare					de	Prob. XIV,	Lecture	Notes in Math.—
	Berlin: Springer-Verlag, 1980, v. 784, p. 282—304.
101. К у н и т а			X.,	В а т а н а б э		Ш. О мартингалах, интегрируемых с квадра
	том.— Сб. пер., Математика, 1971, т. 15, № 1, с. 66—102.
102. К у р а т о в с к и й К*. Топология. Т. 1.— М.: Мир, 1966.										alealoires.— Parjs:
103. Л е в и		(Levy		Р.)	Theorie	de	Гaddition des variables
	Gauthier-Villars, 1937.
104. Л е в и		(Levy P.) Le mouvement brownien plan.— Amer. J. Math., 1940, v. 62,

p.487—550.

105.Л е в и П. Стохастические процессы и броуновское движение.— М.: Наука, 1972.

106. Л и п ц е р

Р. Ш.,

Ш и р я е в

А. 11. Статистики случайных процессов.— М.:

Наука, 1974.

Стохастические нптегралы.— М.: Мир, 1972.

107. М а к к и и

Г.

1975, v. 16,

108. М а к к и и

(McKean Н. Р.) Brownian

local

times.— Adv. Math.,

p. 91— 111.

(McShane E. J.) Stochastic differential

equations

and

models

109. М а к ш е й п

of random

processes.— Proc. Sixth Berkeley

Symp. Math. Statist. Prob. III.

9.— Berkeley: Univ. California Press, 1972, p. 263—294.

110. М ак HI ей н

(McShane E. J.) Stochastic calculus and stochastic models.—

New York: Academic Press, 1974.

111. М а л л и в э н

(Malliavin P.) Formnle de la moyenne, calcul de perturba

tions et theoremes d’anmilation pour

les formes

harmoniques.— J.

Funct.

Anal., 1974, v. 17. p. 274—291.

Champs de Jacobi slochastiques.— C. R. A. Sc.

112. М а л л и в э н

(Malliavin

P.)

Paris, 1977, v. 285, p. 789—792.

113. М а л л и в э н

(Malliavin P.). Stochastic calculus of variation and hypoellip-

tic operators.— Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto 1976

(под ред. К. Ito).—

Tokyo: Kinokuniya, 1978, p. 195—263.

degeneracy.— Stochas

114. М а л л и в э н

(Malliavin P.)

CMiypoellipticity with

tic Analysis

(под

ред.

A. Friedman,

M. Pinsky).— New

York: Academic

Press, 1978, v. 199—214, p. 327-340.

115. М а л л и в э н

(Malliavin P.)

Geomctrie differentiolle

shochatiques.— Mont

real: Les Presses de I’Universite de Montreal, 1978.

116. М а н а б э

(Manabe S.)

On the

intersection

number of the

path of

a diffu

sion and

chains.— Proc.

Japan

Acad.,

1979,

v. 55,

p. 23—26.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ				439
117. М а р у я м a (Maruyama G.)	On	the transition probability	functions	of the
Markov process.— Nat. Sci.	Rep.	Ochanomizu Univ., 1954,	v. 5, p.	10—20.

118.M a p у я м а Г. Ifепрсрыпныс марковские процессы и стохастические урав нения.— Сб. пер., Матемитика, 1957, т. 1, № 2, с. 125—159.

119.М а ц у с и м а (Matsushima Y.) Differentiable manifolds.— New York: Mar cel Dekkcr, 1972.

120.М е й е р II. Вероятность и потенциалы.— М.: Мир, 1973.

121.М е й е р (Meyer I*. A.) Integrals stochastiques, I—IV.— Seminaire de Prob. (Univ. de Strasbourg), I, Lecture Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlag, 1967, v. 39, p. 72—162.

122.М е й е р (Meyer I*. A.). Demonstration simplifiee d’un the theoreme de Knight.— Seminaire de Prob. (Univ. de Strasbourg), V, Lecture Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlag, 1971, v. 191, p. 191—195.

123. М е й е р

(Meyer

P. A.)

Martingules and stochastic

integrals,

I, Lecture No

tes in Math— Berlin: Springer-Verlag, 1972, v. 284.

stochastiques.— Seminai

124. М е й е р

(Meyer

P. A.)

Uncours sur les

inlegrales

re de Prob.

(Univ.

Strasbourg), X,

Lecture Notes

Math.— Berlin:

125.

Springer-Verlag, 1976, v. 511, p. 245—400.

М и л н о р

Дж. Теория Морса.— М.: Мир, 1965.

126.

М о т о о

(Moloo

М.)

Diffusion

proces

corresponding

1/2

%д2/дхг2 Д-

^^~\-{х)д/дх' . —

Ann. Inst. Statist. Math., 1960— 1961,

v. 12,

p. 37—61.

127.

Mo TO O

(Motoo M.) Periodic boundary problems of the two dimensional

Brownian

motion

uperlialf

plane.— Proc. Intern.

Symp. SDK Kyoto

128.

1976 (под ред. К. ltd).— Tokyo: Kinokuniya, 1978, p. 265—281.

Mo 3 0 не в

(Maisonnouve В.) Exit systems.— Anu. Prob. 1975, v. 3, p. 399—

411.

129.Н а к а о (Nukao S.) On the patliwiso uniqueness of solutions of one-dimen sional stochastic, differential equations.— Osaka J. Math., 1972, v. 9, p. 513—

518.			(Nukao S., Yanialo Y.) Approximation theorem on		stoc
130. На к а о , Я м я т о
hastic	differential equations — Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto 1976				(под
ред. К. Ito).— Tokyo: Kinokynivae, 1978.					1958,
131. Н е л ь с о н		(Nelson	E.)	The adjoint Markoff process.— Duke Math. J.,
v. 25, p. 671-690.			E.)	Tensor analysis, Mathematical Notes.— Princeton,
132. Н е л ь с о н		(Nelson
New Jersey, Princeton Univ. Press., 1907.					1969.
133. П е в ё	Ж. Математические ослопы теории вероятностей.— М.: Мир,

134.Н и с и о (Nisin М.) On the existence of solutions of stochastic differential equations.— Osaka .1. Math., 1973, v. 10, p. 185—208.

135. Н о в и к о в

(Novikov

A.)

moment

inequalities

and identities for

stochastic integrals.— Proc. Second

Japan — USSR

Symp.

Prob. Theor. Lec

136.

ture Notes

Math.— Berlin:

Springer-Verlag,

1973,

330,

p. 333—339.

П о м и д з у

(Noinizu

K.)

Lio

groups

and

differential

geometry.— Tokyo:

137.

Publ. Matlih Soc. Japan, 1956.

definition of

the stochastic integral, (I),

О г а в п

(Oguwa S.) On a Hiemaim

138.

(II).— Proc. Japan Acad., 1970, v. 46, ftp. 153

-157,

158— 161.

and irrever

О п с а г е р ,

Ма к л у п

(Onsager L„

Machliip S.)

Fluctuations

139.

sible processes,

II,— Phys. Rev.,

1953,

91,

pp. 1505—1512,

1512—1515.

О р ей

(Orey S.) Diffusion

the line and

additive functionals

of Brownian

motion.— Proc.

coni', oil stochastic

differential

equations

and

applications

(под ред. J. D. Mason), p. 211.— New York: Academic

Press, 1977, p. 211—

140.

230.

С т р у н , В а р а д а н

(Papanicolaou G. C., Stroock D. W.,

П а и а п и к о л а у ,

Varadhan S. R. S.) Martingale

approach to

some limit theorems.— 1976 Du

ke Turbulence Conf., Duke Univ. Math. Ser. Ill, 1977.

14 1. П a p т а с a p а т и

(Parthasarathy

К. P.)

Probability

measures on metric

spaces.— New York: Academic Press. 1967.

4 4 0

142.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

П и н с к и (Pinsky М.) Multiplicative operator functionals and tboir asymp totic properties.— Advances in Probability (под ред. P, Ney, S. Port).— New York: Marcel Dokker, 1974, v. 3, p.i 1— 100.

143.П и н с к и (Pinsky M.) Stochastic Riemannian geometry.— Probabilistic ana lysis and related topics (под ред. Л. T. Bharucha-Reid).— New York: Aca demic Press, 1978.

144.П и т м а н (Pitman J. W.) One-dimensional Brownian motion and the threedimensional Bessel process.— Adv. Appl. l’rob., 1973, v. 7, p. 511—526.

145.П р о х о р о в 10. В. Сходимость случайных процессов и предельные тео

	ремы теории вероятностей.— Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, № 2Г
146.	с. 177—238.
	П э л и Р„ В и п е р Н. Преобразование Фурье в комплексной области.—
147.	М.: Физматгиз,		1964.
	P a o	(Rao К. М.) On decomposition theorems of Meyer.— Math. Scand., 1969,.
	v. 24, p. 66—78.		(Ray D. B., Singer M.) R-torsion and the Laplacian on
148. Рэи,		З и н г е р
	Riemannian manifolds.— Adv. Math., 1971, v. 7, p. 145—210.

149.С к о )) о x о д А. В. Стохастические уравнения для процессов диффузии е границами.— Теория вероятп. и ее иримен., 1961, т. 6, № 3, с. 287—298.

150.С к о р о х о д А. 1$. Исследования по теории случайных процессов.— Киевг Изд-во Киевского ун-та, 1961.

151.С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в ма тематической физике.— Л., 1950.

152.С т е й н (Stein Е. М.) Singular integrals and differentiability properties of

functions.— Princeton, New Jersey: Princeton L'niv. Press, 1970.
153. С т р а т о п о в и ч	P. Л. Условные марковские процессы и их применения
к теории оптимального управлепия.— М.: Изд-во МГУ,				1966.	functional	of
154. С т р а т о н о в и ч	(Slratonovich R.	L.)	On the probability
diffusion processes.— Selected Trans,		in	Math. Statist.	Prob.,	1971, v.	10,

p. 273 - 286.

155.С т р и к е р (Striker C.) Quasimarfingalcs, martingales locales, semimartin


gales et	filtration natnrelle.— Z. Wahr. venv. Geb., 1977, v. 39, p. 55—63.
15G. С т р у н	(Slrock D. W.) On the growth of						stochastic integrals.— Z. Wahr.
verw. Geb., 1971, v. 18, p. 340—344.						Varadhan S. R. S.) Diffusion proces
157. С т р у н ,	В а р а д а п		(Slroock		I). W.,
ses with	continuous coefficients,				I, II.— Comm. Pure Appl. Math.,				1969, v. 22,
pp. 345-400, 479-530.					D. W.,	Varadhan S. R. S.) On the support
158. С т р у к ,	В а р а д а п		(Stroock
of diffusion processes with applications to the strong maximum principle.—
Proc. Sixth		Berkeley	Symp. Math. Statist. Prob. III.— Berkeley: Univ. Cali
fornia Press, 1972, p. 333—369.					D. W.. Varadhan S. R. S.) Diffusion proces
159. С т р у к ,	В а р а д а п		(Slroock
ses.— Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist,								Prob. III.— Berkeley: L'niv.
California Press, 1972, p. 361—368.								S. R. S.) Multidimensional
160. С т р у к ,	П а р а д а !		(Stroock		D. W., Varadhan
diffusion	processes.— Berlin: Springer-Vcrlag, 1979.
161. Т а п а к а		(Tanaka H.)		On the	uniqueness of Markov processes, associated
with the Boltzmann equation of Maxwellian molecules.— Proc. Intern. Symp.
SDE Kyoto		1976 (под ред. К. Ш ).— Tokyo: Kinokuniya, 1978,							p. 409—425.
162. Т а н а к а ,		Х а с э г а в а		(Tanaka II.,		Hasegawa M.) Stochastic			differential
equations.— Seminar on				Prob., 1964, v.		19	(япопск.).

163.Т р о т т е р (Trotter II. F.) A property of Brownian motion paths.— Illin. J. Math., 1958, v. 2, p. 425—433.

164. У и л ь я м с	(Williams	D.)	Path decomposition and continuity of local time
for one-dimensional diffusions, I.— Proc. London				Math. Soc., (3), 1974, v. 28,
p. 738-768.
165. У и л ь я м с	(Williams	D.)	Levy's downcrossing	theorem.— Z. Wahr. verw.

Geb., 1977, v. 40, p. 157-158.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4544 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб5Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб24Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб12Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб1Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб13Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб3Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб2Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб4Стратегия устойчивого развития..pdf