книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

для всякого L >

0, то

Л1хА2

A jT t А 2О *• *П-<4д_

V\o<t<l

И

^9-1

OO

J

j

< 1,(E ( sup

1^ “ * (0!i4/')V

C1SS 2

2 peq- {q~ i)L/2

<

OO

\ \ 0 < f < l

. ' /

9— 1

(выбрав

L>2cp). Тот факт, что E l

sup | Y

' (t) |4 ,:<; °o уже

отме-

чался в доказательстве леммы 8.3.

Таким

образом, £(11а-1Нр) < <»

для

всякого

р ^

1

и

согласно

лемме

8.3

доказательство

теоремы

завершено.

8.1. Пусть й — подалгебра Ли алгебры Ли вектор­

З а м е ч а н и е

ных

полей Т(К''),

порожденная злемеитами A t, Л2,

..., Аг. Предпо­

ложение

теоремы

выполняется,

если

dimй* = d, где

й*= {L *e

е Т*(Щ :Ь е й>. Предположение

теоремы

констатирует,

что

мно­

жество

{у : dim й„ < d) разрежено в точке х

в определенном вероят­

ностном смысле. Это предположение неулучшаемо, если вектор

сноса Ао — 0

(см. Хермандер [177]). Если Ло^ 0 ,

то

предположение

не является неулучшаемым, как это видно на следующем примере.

П р и м е р

8.1

(Колмогоров

[89]). Пусть d — 2,

г = 1

и A t(x) =

_ д

л

t \

\

Я

Очевидно, йх =

1 для всех х и предположение

=

лч\х) = х

теоремы не удовлетворяется. По существует С°°-плотность

вероят­

ности

перехода.

Действительно,

соответствующая

диффузия

Xt =

= (X }, X f) задается равенствами

t

XI = х1 + Bt, X2t = х2 + хЧ + j В4 .4,

о

где Bi — одномерное

броуновское

движение. Следовательно,

вероят­

ностный закон процесса (Xt) есть

гауссовское распределение на R2

со

средним

(х\

х2 + х'1 )

и

ковариационной

матрицей

V (t) —

j.

Так

как йе1У(1)=7^0

для

всякого

£ >0, то

это

рас­

пределение

имеет гауссовскую

плотность.

Легко

проверить,

что

§ 1. ОДНОМЕРНЫЕ ИТОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

345

t

(« ( « ) <

j

фП(*i (s) — Ч (*)) {Ъ1 («, *i («)) — Ь2 (s, a:2(s))} ds =

О

f

x 2 (.?)) {& ! (s, a:! (s)) —

&! (s, X2 (if))} d s

=

j

Фп (.ti ( S) —

+

0

f

+

J

фп («1 (*) —

* 2 (*)) { b l (S- *2 (*)) —

b2(*, -r 2 («))}

<

0

t

<

j

Фп ( Ч (я ) —

z 2 (s)) (Ь г (s, 24 (s)) —

Ь г (if, z 2 (s ))} d s

<

О

t

t

< к j / lKl(S)>,2(,)] |X! (.9) — хг(if) |ds <

К j (хг ( s ) — X%(s))+ ds.

о

0

Следовательно, устремив re -*- «>, получаем

E [(xt (t) -

* 2 (t ))+] <

f (* t (s) -

z2 (s))+ d sj =

f

-

A: f я

((*I (* )-* ,(* ))+)<fc.

Отсюда можно заключить, что

т. е.

Е [(хг(£)— ■т2(£))+] =

0

для

всех

£ ^ 0 ,

для

всех

О,

Р (xl (t)^ .xi (t)) =

I

и в силу

непрерывности

траектории

заключаем, что (1.8) выпол­

то аналогичное рассуждение привело бы

к тому же выводу (1.8).

Ш аг 2. В общем случае выбираем b(t,

х)

так, что

bi(t,

x)< b (t, х)<bi(t,

х)

и b(t, х) — липпшцевая

функция. Пусть

X (t) — единственное ре­

шение стохастического дифференциального уравнения

dX (£) =

ст (f, X (£)) dB (t) + b (t, X (£)) dt,

X (0) =

x„ (0).

заданпой допустимой системы

риск

Х “ определяется

равенством

г

Х“ = я +

Bt +

*jusds-

(2.1)

о

348

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

Заметим, что в частном случае F(u>) = A;(|u>(l)l)

свойство (2.6)

удовлетворяется очевидным образом.

мы

сформулируем сначала

Для того, чтобы доказать теорему

следующую лемму.

d-мерных

непрерывных

Л е м м а 2.1. Пусть (Х „ Bt) — пара

^-согласованных процессов, определенных на вероятностном про­

странстве (Q, FF, Р) с потоком

(#",),

г^е Ш/) — d-мерное броунов­

ское движение с В» —0. Пусть

(Y t,B t)

— подобная

пара, опреде­

ленная на другом пространстве

(Q', FF', Р')

с потоком

<). Тогда

можно построить вероятностное пространство (Q, 9~, Р)

с потоком

Доказательство получается

точно

также, как в

теореме IV-1.1.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

2.1. Пусть (В,,

ut) — задаппая

допустимая система и Х “ — х + Bt +

J u„ds — соответствующее ре­

шение. Пусть

(X?, В1) — решение уравнения (2.3). Выберем 0(d)-

значную борелевскую функцию (рц(х)) такую, что

\х>;\х\,

х =

(х1 ,х 2, . . . , х а ^

0 ,

ЛН*> = 1 * .

^ =

(2.8)

Положим Bt =

j"i p (X “)dBs иB] =

ft p(X°)dB°. Тогда имеем

о

о

ХГ = х + j V

, ( X ? ) d « . +

(2.9)

о

X? - x+

J p -i (X°) dB°s + jU ( X°s).ds.

(2.10)

0

0

§ 2. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

349

где Bt = (Bj,

. .. ,

В!). (Заметим, что \x-p~' (лг)Ь =

S M P-1 (х))ц=

'

j

= ^ixjPij ix) =

fiii \x |)-

Положим o(t,

x ) = 2 V x V 0 , £>,(£, x) =

= b2 {t, * ) — 2VxV0 + d,

^ ( 0 = -2 > 'x7 (0 + d и p2(0=2X ,u -ut + d.

Тогда,очевидно,

(i) =

b, (<, x,(t)) и

P2 ( f ) ^

— 2 |X" |+ d =

=

2 (X (t) V 0) indB (t) + [ - 2 (X (0 V 0 )1/2 + d]dt.

(2.11)

Следовательно, можно применить второе утверждение теоремы

2.1

и получить в результате,

что xY(£)<#,(£) для всех £ ^ 0 н.н., т. е.

| |^ |Х “ | для всех ( ^ 0 п.н.

условие

по-

Л е м м а

2.2. Для уравнения (2.11) выполняется

траекторпой единственности решений.

макси­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отметим

сначала, что существуют

мальные п минимальные решения

(2.11); т. е. существуют сильные

решения X, = F|(Xi(0),

В) и X2 = F2(X2(0),

В) уравнения

(2.11)

такие, что,

если

(X(t), B ( t ) ) — любоё решение уравнения (2.11) и

Х,(0) = Х(0) = Х2(0), то X,,(t)<:X(t)^Xz(t)

для всякого t > 0 п.н.

Действительно,

выберем

гладкие

функции

Ь™ (х)

и Ь(„2>(х)

таким

3 5 0

гл. vi. Те о р е м ы с р а в н е н и я и а п п р о к с и м а ц и и

и

lim b\P(х) = lim Ь(„2) (х) =

6 (х),

П-*оо

П-*о

где b(x) — bi(t,

x) — —2(x\/0) V2 + d.

Тогда

решения

Х„(<)

урав­

нений

| dX (t) =

o(t, X (<)) dB (*) +

(X (<)) dt,

\ X(0) =

*

удовлетворяют

соотношению

X „ ( f ) ^ X n+,(<),

га =

1, 2,

...,

в

силу

теоремы 1.1. Положим Ь\(х, В) = lim Х„ (•). Диалогичным

образом

П—*ЭО

обладают

вышеприведенным

определим Fz(x, В). Ясно, что они

свойством. Положим

х

г

V

-1

s (х) =

J exp I — j * d z

1dy,

х >

0.

Тогда s ( 0 + ) > —

если d = l

и s(0+) = —°°, если d > 2 . Рассмотрим

сначала случай d = 1. Согласно формуле Ито,

t

s (X (0) -

s (X (0)) = j s' (X (s)) a (s, X (*)) dB (s)

0

для любого

решения

X(t)

уравнения

(2.11)

с Х(0)>0.

Поэтому

E(s(X(t))) = E(s(X(0))). Отсюда заключаем, что Xi(t) = Xz(t)

п.п.

для всех t >

0,

если только

Х,(0) — Х2(0) п. н. Отсюда

следует

по-

траекторная

единственность

решений

для

уравнения

(2.11). Если

d > 2, то, как увидим в приводимой ниже теореме 3.1,

inf

Х ( г ) > 0

п. и. для всякого

Т > 0, если только Х ( 0 ) > 0

(><<<Т

и. н. Отсюда легко вы­