книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

n ,x | o<t<T

]

Используя это соотношение, неравенство

sup E

sup

|Yj'(V (t, x, w) |P1 < oo

7l,X

9 < t < T

1 2

J

dX (t) =

а(Х (t))odu> (t),

dY (f) =

Da (X (f)) Y (t) ° dw (t),

' X (0) =

x,

У(0) =

/,.

I ................

412

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

дартного метода

усечения из

(7.92) легко выводится

следующее-

С л е д с т в и е .

Существует

подпоследовательность

{nk} такаяг

что с вероятностью единица при к -*■ <*

DaXnk(t, х, w) -> DaX (t, x, w)

равномерно no

(t, x) из

компактного мноокества для всякого муль­

тииндекса ос.*)

§ 8. Носитель диффузионных процессов

Пусть оЦх)

и b'(x),

i = l , 2, ..., d, к — 1, 2, ..., г,— ограни­

{ d r (t) =

2! ai (X (t))c dBh(t) + Ъ1(X (t)) dt,

(8Л)

[

X(0) =

cr,

i = 1, 2,

...,d .

Пусть Px— вероятпостпый

закон

решения X = (X(£)}. Тогда,

как

*) Подпоследовательность {»*} можно выбрать из любой заданной под­

последовательности последовательности I, 2

если

**) Точнее,

последующие

раесуждения остаются справедливыми,

o e C ^ R * ), b e C j(R d)

и производные второго порядка функции о равномер­

но непрерывны.

§ 8. НОСИТЕЛЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

413

A f № =

т

2

а и ( ^

+

2

^ ( ж ) ^ ( ж ) ,

/

Сь (R d),

(8 . 2)

1.1 = 1

1=1

дхг

а*> (ж) =

S

Oh (ж)of; (ж)

(8.3)

и

fc=l

d

г

(8.4)

Р (ж) =

Ь1 (ж) +

2

l

2 ( г г

И )

(*)•

j =

h = l

'

||IP|T — max |IP (i) | для w е W d.

(8.5)

о<кт

з м й о ф ^ о * + & *& )*»

lORv

fc=l

(о.0)

^0==‘^>

1 =

1)2, ...,£?

получаем d-мерную кривую

| = |(ж, ф) = (|/(ж, <р)).

Определим

подклассы

и 9*р пространства W d равенствами

________________

=

{ь(я, Ф); ф е ^ }

(8.7)

4 14

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

=

{£(я, ф );(р е

д>р}.

(8.8)

Легко видеть, что замыкания в

Wd

у 9 х и

9% совпадают,

т. е.

9>х = 9>*,

Сформулируем теперь основную

теорему,

принадлежа­

щую Струку и Варадану [158].

Т е ор ем а 8.1. Для всякого s;e R i9’ (Px) =

9ht.

Д о ка з ат ел ьс тв о .

Сначала мы докажем включение 9 (Рх)<=

<= 9 х. Для каждых л = 1, 2, . ..

и t >

0 положим fn = [2n£]/2n и tn =

~([2nt\+1)/2”. Пусть

{B(t)} — заданное r-мерное броуновское дви­

жение с 5(0) = 0. Определим {#„(£)}

равенством

В„ (t)

—

'(t —1„)

Kn

>.B(tn) + f-—

(in -In)

-

(in - in )'

Тогда B n^ 9 p и

поэтому

|(x, Bn) <= 9%.

Согласно

теореме

7.2

\ (х, В п) -*■ X в Wd по

вероятности.

Следовательно,

Р” -*■ Р х

при

п - > оо, где Рх — вероятностный закоп |(х,

В „). Таким

образом,

Р х (9р) ^

lim Рх ( 9 Р) =

1

и, следовательно,

(Рх)-

71—*00

__

вытекает

из

следующей

теоре­

Обратное включение

9*(Рх)=> 9*

мы. Рассмотрим уравнение (8.1) на винеровском

пространстве

(WTa, P w )

относительно канонической

реализации

виперовского

процесса;

его решение обозначается через Xx = (X(t,

w)).

Тео р ем а 8.2. Для всяких ср&9, Т > 0 и е> О

PW(IIX’* — |(х, <р)11т < е I И—фИт <

б)-*-1

при

610.

(8.9)

За мечание

8.1. Хорошо

известно,

что

PW (IIH; — <pllr < б )> О

для всяких ф е ? ,

Т > 0 и б > 0, т. е. 9 ( P w) =

WJ.

Действитель­

но, согласно результату из § 4 гл. IV,

где

P'Rr(IIie —<рИг <8) = Epw(M(w): Ы1т<6)>0,

[

г

Т

X

-j

— ^

) *рй(s) dwh(s) —

j* IT («) 12 d s \ .

k = l

0

0

J

Доказательству теоремы 8.2 предпошлем несколько лемм.

и с2 та­

Лемма 8.1. Существуют положительные константы с,

кие, что

PW (1М1т <

е) ~

е[0.

(8.10)

а (*)= т

I К®1)*

+

(wJy (s)] ds-

о

Мы

отметили в §

6 , что B(t) = Tjti(a-1(f)) — броуновское

движение,

же

зависящее от

{(и>*)2(£) + (и /)2(£)}

(и, следовательно,

не

завися­

щее от радиального процесса {|и?(£)|}

и,

в

частности,

от

1Ы 1Т) .

Тогда

Р W[ |riij IT >

M b 11| w |T <

6

] = Pw [ |В (a (*)) | r >

M b 11| w ||r

<

6]

<

Г

max

IJB(s)j>

MS] = Pw Г

max

|B (s)|>M l,

lo«*<62T/4

J

LO<S<SJT/4

J

что и доказывает

(8 .1

2 ).

С л е д с т в и е .

Пусть

(

£i7 (£) =

j

(s) о

(s),

i, / =

1, 2, . . . ,

r.

(8.13)

о

Тогда для всех i, j =

1,

2,

..., г

lim

sup

P w (||rj lr > M (5 )| I M r < 6 ) =

0.

(8.14)

Aff°° 0<6<l

В

частности, для всякого е > 0

P TV ( II

11т >

6 \|^ 1т<

6 ) —>■0

нрм

6J0.

(8.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

- j iul (£) tu7

(£) — £Jl(£) =

rf7 (£),

то

(8.14) вытекает сразу из (8.12).

Следующая лемма является ключевой для доказательства тео­

ремы 8 .2 .

8.3. Пусть

f(x):

Rd->-R— ограниченная

и равномерно

Л е м м а

непрерывная функция. Тогда для всех е >

0

и г, /

=

1,

2. ...,

г

Р IV

(

> e l i x i r < 6

-►0

при

6 |0

. (8.16)

J /(*<«. w))dt{s)

о

r

420

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

8.2.

Докажем

сначала

(8.9)

для случая, когда ф(£)=^0. В этом

случае,

|»=(|»(ж>

<р))

реше­

ние уравнения

Имеем

1

£<>= *•

Мы докажем, что

P w ^||j*oi(X(s))o^ft(s)||

>е|||ш[|г <

б ^

0

(8.17)

п р и

б I 0 для всякого е >

0. По формуле Ито *):

t

(X (t))wk (t) -

*

\

(X (s)) о dwk (s) -

4

j V (.9)

. d (at (X (s))) =

о

t

о

=

X( ( t)

)I P*

(

i )

j

alno (Xi , (s)),

(whX

(s) ° (dwms )

)(s) -

4

-

0

-

f o h (X (sj) bl (X (s)) wk (s) ds =

I г(0 + h (*) +

7sW*

О

Достаточно показать, что для всякого в > 0 и i =

1, 2, 3

7>w’(H/i(<)1> е 11|1Р|т <

6)-^ 0

при

б 10.

Рассмотрению подлежит лишь случай i —2. Имеем

I2 (t) =

j

(

-

,

(

Xс

(s) = s

)

)

o

L

(

X

( s

<

P w ( l l / i ( 0 H r > e I 1 М т < б ) - » - 0 п р и

6 1 0 .