Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4543 44 45 > Следующая >>>

§ 8. НОСИТЕЛЬ ДПФФУЗПОПНЫХ ПРОЦЕССОВ						421
Действительно, это очевидно для		г= 2,		а случаи i = 1		вытекает из
леммы 8.3.
На множестве \w, о\ (X (s)) о dwh (s)				< e j ,	имеем
\X(t)	+ К $\X (s)-l(s)\ds,
где К — положитольвая	постоянная.		Поэтому		\X(t)—%(t)\ ^ г е к1.
Это соотношение, вместе с (8.17), дает
Р "'(!!* (* )- \|(ОИт >			е 11Ы1Т < б)-*- О
при б \0 для всякого е >	0.
Теперь рассмотрим общин случай ср е .9’. Положим
М (м?) = exp \| 2 J ФЬ (s) dwh(s) — i - J \|cp \|(s)2dsj
и определим меру P на	W« (Г),	т. е. сужении			WJ,	на интервале
[0, Т\ равенством
	<И> =	М («;).
	dPw

Тогда, согласпо теореме IV —^.4.1, w(t) = w(t)— q>(t)— r-мерное бро уновское движение по мере Р, и X(t) удовлетворяет уравнению

		t			t
X (t) =		х + ( о (X (s)) ° dw (s) +			J* b (s, X (s)) ds,
		о			0
где*) V(s, x) = b(x) + o(x)<p(s). Так				как	\| = (£(;r,	q>)) удовлетворя
ет уравнению	1 ^ ' ~ ^ (*’		то	из	ВЫ1Пе11рИведениого		можем
	l	~ **’»
заключить, что для всякого е > 0
Р (П Л '(*)-1 Л > е			I Нгг11г < б ) - ^ 0 при			б 10.	(8.18)
Заметив, что
(	г		т Т			Г	\
М (w) = exp 12		Ф* ( ? ) wh (П — 2		f wh(-9)Ф'Й(®)ds ~ Y J IФI(s)2^s(
\k—l			k=1 0			О	>
непрерывно по	w (т. е. M(wn)-+M(w),				если 11и;„— н;11т 0),		то из

*) Таким образом, нам нужно рассмотреть	случай, когда Ъ не зависит от
t и ! i e C '( [0, оо) X К'1). Все вышеприведенные	результаты остаются справед

ливы и в этом случае с очевидной модификацией доказательства.

422	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

(8.18) следует,	что
lim P w (1X (t) — \|\|т <		в \|II	— Ф IT < 6) =
6i0
__ цт			II w~ Ф11т<6)		Ew (M\ 1w-	ф \|r <	6)
6io E W ( M : I X (t) —		\|\|T <	e, \|«> — (f \|T <	6)	P w ( \|j w — <p \|T < 6)
П р и м е р	8.1. Пусть		L0, Lu ...,	LT— векторные		поля	на Rd,

коэффициенты которых (в евклидовых координатах) ограничены и гладки с ограниченными производными. Пусть Xx = (X(t, w)) — ре

шение уравнения	Г
	Г
dX (t) =	S ^	(X (t)) о dwi (t) + L0 (X (t)) dt,
,X(0) =	x.
Пусть Px — вероятностный		закон процесса Xх. Из теоремы 8.1 сле
дует, что

^(Р.) = {£(*, Ф); Ф ^ 9 > ) .

|(х, ф) — решение динамической системы

i—L

lo = x-

Известно (см. [99]), что {%{х, ф): qi&S} содержит все кривые тр такие, что

—' =

Z (rp) + L0(тр),

/Чо =

где Z — элемент

алгебры Ли

fi(£i, L2, ...,

Lr),

порожденной

век

торными полями

Lu Lt, ..., Lr. В частности,

если fi(L,, Ьг, ...,

имеет ранг d в каждой точке, то {£(#, ф); ф е

S } =

W d: = [ w e

W d'»

w (0) =

я} и, следовательно, S (Рх) = W d.

Пусть

А — дифференци

П р и м е р

8.2

(принцип

максимума).

альный

оператор,

определенный

равенством

(8.2). Фупкция

и,

определенная

области D

Rd,

называется

А-субгармонической

D, если она полунепрерывна сверху и А и^О (в определенном сла бом смысле, который будет уточнен ниже). Классический принцип максимума для лапласиана утверждает, что любая субгармоническая функция в D, достигающая своего максимума в D, должна быть по стоянной. Однако, если оператор А вырожден, то в общем случав

§ 8. НОСИТЕЛЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ	423

такой принцип максимума уже не остается в силе. Например, если d = 2,

А==Ц + ^ 2’ * = t*1» **)

и D — любая область, пересекающая ось хь то функция и (ж), опре деленная равенством

если х2> О,

и (х) —

если х2^ О,

является непостоянной И-субгармонической функцией, достигающей

своего максимума в J).
Мы интересуемся следующей проблемой. Для задапной области
D и точки x e D определить (относительно) замкнутое подмножест
во D{x) области D со следующими свойствами:
для любой А-субгармонической функции и(у)			в D
такой, что и (х )=	max и (у),	выполняется условие
	y<=D (x)
п (у)= и(х)		для всякого y ^ D (x ), (8.19)
D(x) — максимальное подмножество со свойством (8.19),
т. е. если zsJ)\D(x),	то существует Л-субгармоническая
функция и(у) в D такая, что и(х) = шах и{у)				и u(z)< и(х).
		y£D(x)
				( 8.20)
Ясно, что D(x) единственно, если		только	опо	существует. Тео
рема о носителе 8.1 дает	нам возможность		описания множества

D(x). Однако, прежде чем продолжить, мы уточним понятие Л-суб- гармопичпости. Для простоты мы ограничимся локально ограничен

ными функциями. Пусть Я* — вероятностный								закон	решения		урав
нения		(8.1). Пусть /1 — область в IV' и {DJ — компактное исчерпы
вание		области D: /А, — ограниченные					подобласти		D	такие, что
Dn<=Dn+i и			[} Dn =	D. Пусть	оп = а„(и>) = inf {t:				w (t)^D n},		п —
=	1 ,2 ........w е		W".	8.1. Функция и(х),			определенная			в D,	назы
	О п р е д е л е н и е
вается А-субгармонической в D, если
	(I)	опа локально ограничена и полунепрерывна сверху и
	(II)	для каждых		п = 1, 2,	. . . и	х ^ D t -■u(w(t [\ оп)) — и(х)
является / )*-субмартипгалом.
	Если и принадлежит C2(D), то u(w(t/\on ) — и (х) = мартингал +
	«Дап
+	j*	(Ягх) (го(s)) ds.		Отсюда	легко	видеть,		что	и	Л-субгармо-
	0						в Д.
вичпа тогда и только тогда, когда А и > 0

424	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Теперь мы опишем множество D (x). Для простоты мы предпо ложим, что D имеет следующее свойство:

для

всякого

компактного

множества

KczD,

где

т = т(и>) =

= inf (l:

w(t)^D).

Выберем

компактное

исчерпывание

Ш„}

обла

сти D. Тогда из вышенриведенпого предположения очевидным об

разом следует, что

sup Еу [о„] < оо

для

всякого

п. Положим

D(x) =

={г/: Эф<=£?, 3 io> 0

с у=\(х, ф) (t0

и {£ (х, ф) (t): <е[0, t0]} cz D) П D.

(8.21)

Т е о р е м а

8.3*). Множество D(x)

обладает свойствами

(8.19)

и (8.20).

Докажем

сначала, что

множество

D(x),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

определенное

равенством

(8.21), обладает

свойством

(8.19). Пусть

y ^ D (x ). Из

теоремы 8.1

следует,

что

для каждой окрестности

точки

существует

такое

и,

что Px(ov < о „)> 0 ,

где

Ov = Ov(u>) =

inf{f:

w(t)&U}.

Пусть

и(х) — А — субгармоническая

функция

D такая, что

и (х )=

шах u(z). Тогда

zsD(a)

и (х) < Ех (и (w(ОиДст„)));

более того, из теоремы 8.1 следует, что

Рх(»’ (ои До,,) е

D (х)) =

Следовательно, Рх{и {w (ои До„)) == и {х)= 1.В частности,

и{ю{аи)) =

= и(х)

па множестве { а г < о п}. Поэтому

легко

найти

последова

тельность _zIL_e=D такую,

что

z „ г/ и

u(zn) = u(x).

Тогда и (х )^

и (г/)^= П т и (zn) = и (х),

т. е. и {у)~ и(х).

Теперь мы докажем, что множество D(x), определенное равен ством (8.21), обладает свойством (8.20). Для этого нам понадобит

ся следующая Л е м м а 8.4. Если / — неположительная непрерывная функция

в D с компактным носителем, то функция и, определенная ра венством

является ограниченной Л-субгармонической функцией в D.

*) Эта теорема впервые была доказана Струком н Вараданом [158] для случая операторов параболического тина.

/(w (s))d sj.

$ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

425

Предположив, временно, что лемма доказана, мы завершим до казательство теоремы 8.3. Пусть z<=D\D(x). Тогда в силу теоремы 8.1 можем найти такую ограниченную окрестность U точки z, что

Px(a,j < т) = 0.	Выберем	неположительную непрерывную функцию
/ в D такую,	что f(z) = —l		и / ( у ) ~ 0, если уёС/ . Положим
	и(у) =		j{u?{s))ds
			]■
Тогда и — ограниченная			неположительная у1-субгармоническая
функция в D такая, что		и(х) = 0 и n(z)<0 . Тем		самым доказано,
что D(x) обладает свойством (8.20).				и — ограниченная
Д о к а з а т е л ь с т в о		л е м м ы 8.4. Функция
функция в силу вышеприведенного предположения относительно D.

Докажем, что и полунепрерывна сверху. Мы видели в доказатель

стве предложения V-2.1,	что если	X(t,	х) — решение уравнения
(8.1), то для всякого t > 0	функция	Rd3	х	X (t, х) е= W* является
непрерывной п. н. Легко убеждаемся, что				х >-* /<(<т[л-(.,*ш явля
ется полунепрерывной снизу п. н. функцией				и, следовательно, х<~*

-■ ■Л«т[Х(-,х)]>/(Х (£, #)) является		полунепрерывной сверху н. н. По-
лунепрерывпость сверху функции
х >-*•и (х)	А’* j l(w(s))ds	j E [f (X (t, a;)) /{«i[A (. ,*)i>l dt
	Lo	о

следует немедленно из леммы Фату.

Теперь мы докажем, что t и (w(t До»)) является Рх-субмар- тннгалом для всякого п. Для этого достаточно лишь доказать, что Ex[u(w(a/\оп))]^ и (х) для всякого момента остановки а. Но это непосредственно вытекает из формулы (формула Дынкипа), следующей из строго марковского свойства:

ала„

§ 9. Асимптотическое вычисление диффузионной меры для трубчатой области вокруг гладкой кривой

Рассмотрим песипгулярпый диффузионпый процесс X па много образии М. Иногда возникают следующие вопросы: какая из двух данных гладких кривых, начинающихся в одной и той же точке, более вероятна для диффузионного процесса, или какая среди все возможных гладких кривых, соединяющих две заданные точки, яв ляется наиболее вероятной для диффузионного процесса? Одним способом, позволяющим дать ответ на эти вопросы, является вычис ление меры трубчатых областей вокруг гладкой кривой ([154]). Как мы знаем из § 4 гл. V, можно предположить, что М — риманово

426	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
многообразие и диффузия порождается оператором А,, где
	A = j - \ + b.
Здесь	Д — оператор Лапласа — Бельтрами, а b — векторное поле.

Риманово расстояние р(:г, у) определяется (если х и у достаточно близки) как минимальная длина геодезической кривой от х до у . Для задапной кривой «р: [О, Т]-+ М такой, что <р (0) = х, мы хотим вычислить

Ре (ф) = Рх {w; р (X, (w), Ф (t)) < е для всех t е [0, Т)}.

Если для любых двух таких кривых ф и if

Urn р£(ф)/р£ (ф)

ejo

существует и может быть выражен в виде
■ т	т
exp J L (ф (.s), ф(.s'))ds -	\| L (ф (s), ф (s)) ds
_0	l>

посредством некоторой функции L(x, x) на касательном расслоении ТМ, то на вышеприведенные вопросы можно дать ответ в терминах функции L. Такую функцию физики называют функцией Опсагера — Маклупа (см. [46], [35], [59] и [138]). К сожалению, сущест вование такой функции L для общих многообразий еще по уста новлено*). Здесь мы ограничимся случаем евклидова пространства и построим функцию L.

Итак, пусть M = Rd и пусть {РА — диффузиопная мера (на W rf), порожденная оператором

			Н ш у }
Мы	будем предполагать,	что	Ь %(х) е	Cf, (R d), i =		1,	2, ..., d .
Пусть Pw — d-мерпая мера		Випера (на		Wd) ,	соответствующая			на
чальному распределению, сосредоточенному в					точке	0.	Согласно
лемме 8.1, мы знаем, что**)
	^ ( М 1 т < е ) ~ с е х р			—	,			(9.1)
				к	J
где	Xi — первое собственное	значение задачи			отыскания		собствен
ных значений в D = {х е R': Ы < 1), задаваемой посредством
	} 4 - Аф +		Яф =	0,				(9.2)
	I	ф \|эп =		0,				(9.2)
	I	ф \|эп =		0,
	*) И. Такахапш получил в этом направлении некоторые результаты							(ча
стное сообщение). См. замечания в конце этого параграфа.

**) II гг |С, - - m ax |гг (г) w < Wa

§ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ	427

с = ф , ( 0 ) ( ф l (x)dx,

ф|(лг) — нормированная

собствеппая функция,

Г > 0

произвольны,

но фикси

соответствующая Х|. Далее,

рованы.

9.1.

Пусть

ф:

[О,

.TJ-^R1— гладкая кривая*)

та

Т е о р е м а

кая, что ф(0) = ж. Тогда

(записывая Ь(х) = (Ь*(х), Ь2(х),

..., bd(x)))

Px (w: ||щ— ф |г < р) ~

-1

— у J |ь (ф(«)) — ф(s)|2ds — у j (diVЪ (Ф (s)) ds Pw (||м?||г <

е) ~

(

—у

J \Ь(ф(s)) — ф(-9)l2 ds — -J j ( div b) (ф(*)) *

при

е|0.

(9.3)

Здесь

(div Ь (х) =

дх%

Ь1(х).

С л е д с т в и е .

Онсагера — Маклупа L(x, х) задается,

Функция

с точностью до постоянного слагаемого, равенством

L (х, х) = ---- 1-1 х — Ь(х) |2---- (div b) (х).

(9-4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Посредством

преобразования

сноса,

рас

смотренного в и. 4.1 гл. IY, получаем

Рх (В) = Ew \охр

j* b (х +

w(.?)) dw (s)

— £ j* |b (x + w(s)) |2 ds

' B >

(9.5)

для

(W1') . Аналогично **),

P W(B) =

— -y|^(s)| 2dsj:

(w; [w + Ф — x]<= B)j.

^expj^— |ф(«)йн;(«)

= E

(9.6)

Достаточно предположить, что cp e С2(Г0, T]

определяется

равенством

**)

Для

wе Wd и

г е К ,

+ * е

[гс + х\ (г) ■= w(t) +

х.

428	ГЛ. VI. ТИОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

Комбинируя (9.5) и (9.6), получаем

Рх (||ы> — ф1|т <

е) — Е*

— J Ф (s) dw (s) — у j I cp (s) I2 ds +

+ § b (w { s ) + (p(s))d[w(s) + <f(s)] — Y Jlb(ti;(s) + cp(s))|2ds

: (Hlr <

e .

(9.7)

Если w удовлетворяет неравенству lli£>llT< e ,

то*)

ф(s) ds

j* ф (s) dw (s)

ф (T) w(Т) — \w(s)

< Лхе,

(ф(s)) ф(s) ds

J b (w(s) + ф(s)) ф(s) ds — J b

< А2е

С-4-е.

J |b(w(s) +

Ф(s)) I2 ds — j

|b (Ф (s)) |2 ds

Отсюда немедленно получаем, что

ехр

+4-+4i)ej <

4“jl4>(*)—Иф(*))!**—

(A i

< Р .т (|н>—фЦт<е)\Е

J^exp

b (w (s) + ф(s))dw (s)j:| w|T < ejj

exp

—4-j Iф(*) “

(ф(s)) I2ds + (Л 1 + A2 + As) ej*

(9-8)

Следовательно, достаточно показать, что

Ew J4xp

b (iv (s) +

ф(s)) dw(s) + -у J(div b) (ф(s)) dsjj|w|r < ej

при

e|0.

(9.9)

*) Ль Л2, ... и Ku K2l ...—положительные постоянные, не зависящие от е.

§ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

429

Имеем *)

J Ь (w(s) +

ф(s)) dw (s) + ~ I* (div b) (ф (s)) ds =

J b (ф (s)) dw(s) +

) b)(sf (s))w’ (s)d w 1 (s) + т J ( divb)((p(s))ds+

J Ф*(®iw )dw *(s),

i.?=l 0

где

Ф* (s, u>) =

bl (W (s) + Ф (S)) -

V (Ф (s)) _

Ь)(ф (s)) v9 (s).

(9.10)

Так как

j=i

Л4е,

если

||и>Цт<е,

f Мф (s))dw (s)

то (9.9) эквивалентно тому, что

Ew Гexp ( 2

J b)(ф(s)) w?(s) dw*(s) +

•> T

+ •

( d i v f c ) ^(s))ds +

Ф(s,;

w) dw{ (s)|

l N T < e j - ^ l

при e|0.

(9.11)

Заметим, что

j* ь*»(ф( * ) ) ( * ) dwi (s)+т

J <div b) ^(s))ds=

*’i=1 о

(

s) +

Sydsl -

1 b*i (Ф (*)) I"’''(s)

f bi (Ф (*)) d%1(s)%

где

’•j=1 о

U = i

V1{t) =

W ? (s) 0 dw1(s).

Вообще,

если

случайные величины Yt, Yz удовлетворяют условию

lim £ w [ecYi|||Ww||rT:< e ] < l ,

* =

1,2,

elo

430	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ
для всякой действительной константы с, то
elo	Ew [exp [Ух + У2] 11 w\|T <	e] <
elo
	^ h ^ { E w (exp [2Yt] \II w\|T<		e) Ew (exp [2YJ \|\|\|w\\T<		e)]1/2 < 1,
	ElO
и, аналогично,
	lim Ew (exp( -	У х -	У 2) \\|\|w\|г <	e )< 1.
Ho	ej.o
Ho
Ew (exp [Ух + У 2] \|II w\|r < e) Ew (exp [ - У х -				У 2] 11\|w\|r <	e) >
	^ \ E W[ex$ ri+r.]„f [ziVz2i]\|,.K<.)}*_i,
и, следовательно,
lim Ew (exp [У1 + У 2] 11\|w\|r <		e) >
еЮ
	> ( lim £ w ( e x p ( - y 1' - y 2)\|\|\|w
	I c I n
Итак, имеем
	lim Ew (exp [Уx +		У2] \|Ци; «г <	г) = 1.
	£i0

Этот результат легко можно распространить па произвольное число

случайных величин: если	У(, У2, ...,	У„	удовлетворяют	условию
lim Ew (exp [сУ11\| w;\|т <			е ) < 1
eio
для всякой действительной копстапты с и i = 1, 2,				то
lim Ew (exp [Ух +	У 2 + . . . +	У„]\| \|и;\|т < е) = 1.
ею

С учетом этого факта замечаем, что соотношение (9.11) будет сле довать, если мы покажем, что для всякой действительной постоян ной с и г, / = 1, 2, ..., d

lim Ew	^•(ф(5) ) ^ И	lk l!r <		(9.12)
ею
и
lim	Ф4 (s, w) dwl (s)	Iw\|\|r<	<	(9.13)
ею

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4543 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб3Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб17Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб0Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб1Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf