книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

393

i=l

н

i=l

д_

1,2,

п

=

дхi '

— векторные поля на R1* такие, что

a ^ eC ^ R ^ )

и

опре­

Пусть

w)}6>0 — аппроксимация

виперовского

процесса,

деленная на винеровском пространстве (W^, Р).

Предполагаем, что

w)}6>о удовлетворяет предположению 7.1. Рассмотрим следую­

щие уравпепия *):

. dX6 (t,w) =

2 Ап (Х6(t, w)) ЛЩ (t, w) + А0(Хб(t, w)) dt(

(

,Х б (0, w) =

х

и

йХ («, и?) =

2 Ап(Х («, w))odwn (t) +

А0(Х (f, w))dt +

П=1

+

2

snm[^n> Am] (X (t, w))dt,

(7.^5)

X (0, w) =

x,

,

*

_

<

Хб {t, w) — xl =

2

j On (X6 (s. ^)) Bl (s, w) ds +

j Ьг (Xe (s, w)) ds (7.44)'

n=1 о

0

И

r

*

<

X* (t, u > )-* ‘ =

2 f ai (X (s, w)) dwn(s) +

j Ь* (X (s, и>))ds +

n^ 10

0

r

d

CnmJ ой (даа1т

(X (s, w))ds,

1 = 1 * 2 ,...

d.

(7.45)'

+ 2

2

n,m=i a=el

о

Для любого

задаппого 2 ; e R '

решения

уравпений (7.44)

и

(7.45)

*) Пользуемся теми же обозначениями, что и в гл. V.

без специального упоминания об этом.

Т е о р е м а

7.2. Для всякого Т > О

Н тЕ Г sup |X(t, w) — X 6(f, IP)|4

=

0.

(7-46)

ею

Lo«f-<r

J

Д о к а з а т е л ь с т в о * ). Заметим, что согласно

(7.44)'

|ХЦ7, w) — X 6(s,l

IP) | < X ^ 2

1^6(и, w)\du +

(i — s)^

(7.47)

для всяких 0 < s <

t. Для каждого i =

1, 2, ...,

d имеем, что

XI (f, IP) -

X 1 (t, IP): =

Ht (t) + Н2(t) +

HZ+

II, (t),

(7.48)

где

r

i

о пг (X6 (s, I P ) ) Bg (S,

I P ) ds —

H i (<) =

2

J

n_1 [<]"(6)

т

Г*

Пп (X (Sj I P ) )

dip" (s) —

r

d

*

(нп^аПга) (X (s, IP)) ds*

— S

]

2

1

J

П=г1[«]“ Сб)

n,m—i

[f]—(7f)

(7.49)

[f]-(6)

# .(«)= «

2

f

(X6 (s, IP )) B£ (s, IP )

ds —

n=l

2

ij

nmC j aoA(X(s,3mC

Ct]—Сб)

Cn(X(s,

,iv))dwn [ s ) —

r

d

lP))ds|t

[el—СУ)

a=i

(7.50)

r

г

•

•

r

?■

f f | = S

I

(X6 (s, IP)) Bg (s, IP) ds —

2

I tfn (X (s, IP)) dwn(s) —

71=1 g

П^1 "

r

d

—

2

2

c«m i cr“3aam(X (s, u>))ds

(7.51)

И

n,m—l a=i

Q

t

t

#

4 (0

= J6* (X6 (s, И7))ds -

j bl (X (s, IP)) ds.

(7.52)

*)

В дальнейшем К, Ku К2, ... — положительные постоянные. 6 имеет те

же значение, что s в доказательстве теоремы 7.1.

X [7 ?e {{к + 1 )

6 , IP ) — B^ ($ ,

IP ) ] ds — J i (к) + 2 <^2 {к)*

P=1

Также

Jt (к) =

-

6, ш)) (IP" ((к +

1) 6) -

IP» (Щ) +

+

[ o A ( X 6 (& 8, w)) — On(X6(k6

— 6, i p ) ) ] ( 5 g

((fe +

1 ) 6 , w) —Bl(k&, IP )) +

+

oh(Xs{k § - 6, IP ))

{{к +

1)6, IP ) -

IP "

({к +

1) 6)) +

+

o h (X6 { k b - 6, w)) ( IP" {kg) -

5 6n {kg, IP)) =

=

Ji\ {Щ+

J12 (k) + Jis{k) + Ji4 (&).

Г

Запишем H2{t)

в виде H2{t) — 2

77?(i)'>

тогда

n=«i

m

{t) =

/ x (t) + i 2{t) +

1з (£) +

/ 4

(o

+ / 5 (o*

*) {£J} — коэффициент векторного поля

+

2

*шп И п mi­

a o u

В случае I 2 (t)

имеем:

Гsup

|/ 2 (t) П <

Г <п(Л - 1

_

- 8, IP)))*X

Е

Е \

2

(«г* (Хв (Л6, ^)) -

(Хв ( Ы

Lo«f<r

J

L

ft=i

X

2

(B% ((k + 1)6, w ) - B U k l w ) Y ~

f e = l

I

m ( T ) — l

< Х И 1»(Г)

2

£ [| Х в(Лб, IP) - X 6( £ 6 - 8 , ZP)|4)X

m (T)- 1

й=1

<

ж»»(Г)

2

я [| ^ (№

+

1)в,ю)-дг(лв,117)|*]

k = l

I

< Х 17(/п(7’)2б2т ( Г )аб2)1/2< Х 18(га(6)Г1-^ 0

при

8J0.

(7.64)

Подобно тому, как и в

(7.34), можно показать, что

Е \ sup

|/3(О Н < Т Г 19(?г(б))-, -^ 0

при

6 J 0

(7.65)

и

1о«(«Г

J

Е \

sup

\ Ь ^ ) \ 2] < К

20{п(Ь))-х- ^ 0

при

б

j 0.

(7.66)

Lo<<«r

J

Наконец, рассмотрим h(t). Запишем / 5(f)

в виде

/.(*)=

2/$(*).

где

Э—1

и(0-1

m(t)-l <ft+l)e

г

/ £

( * ) -

2

4

(А О -

2

j

2

cj n (a ? d p O n )(X (s . w))ds =

k=l

A=I

ftg“

i“ l

=

2

2

j

[(q fd fifjJ .)(X e (s, w))

—

J=1

M

-

(ofeptri) (Xe (fc6~ w))] $ (s , IP) [Z?£ ((7c

+

1) 6, w) -

B l (s, IP ) ] ds +

+

m(t)—1 (k+l)e

(ь Ч ^ )(^ б (5 ^ ))(В б (№

+

1 )б ,(р ) - 5 6> , 1р ))^ +

2

1

fcfT

+

2

2

\

(afSpaj,) (X6(fc6; IP)) [ 4 (5,^ (5^ ^ + 1)6, IP) -

h-i

-~

- B

n6(s ,w )) -c jn@, 6)] ds +

+

r

m(i)—1 (** И)6

^

2

2

)

[(erf5р<) (Xe (fc6, IP)) — (ofdgol) (X(s, w))]dscj n +

j=i

h=i

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

[399