Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4538 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

371

Тогда, согласно формуле Ито,

rJ f - = jjr(s)dB,(s) + t,

( 6 . 5 )

где

Ясно, что система мартингалов (S(t) , Bt(t)) удовлетворяет соотно

шениям <Bi, Bl’>t = t, <Bt, S'>t =	0 и (S, Syt = -g J r (sfds.	Пусть
B2(t) —S((ft), где <pt — обратная	функция к t	Co-
	0

гласно теореме II—7.3, броуновские движения B,(t) и B2(t) взаим но независимы. Будем считать теперь, что Х (0) = х — фиксирован ная точка в R2. Тогда мы знаем, что r(t) — потраекторпо единствен

ное решение	уравнения (6.5)	с	г(0)=\|ж\|	(гл. IV, пример 8.3).
В частности,	отсюда следует, что		o[r(s), s <	t) <=■o[5i(s), s < f ] , и,
следовательно, процессы {B2(t))		и r(t) независимы в совокупности.

Таким образом, мы получили следующий результат. Для случайной площади S(t) справедливо представление

S (t) = В2 | г (sfdsj,

(6.6)

где B.,(t)— одномерное броуновское движение, независимое от про

цесса	{/-(f)}. Предположим, что			Х(0) = хФ0. Тогда		X(t)¥=0 для
всех	t >	0 и поэтому мы можем		ввести	представление	в полярных
координатах: X, (f) = r(f)cos 0(f)				и Х2 (f) = r(f)sin0(f).		Применение
формулы Ито дает
dS (t) =		{г (t) cos 0 (t) sin 0 (f) dr (t) + r (tf (cos 0 (t)fdQ (t) —
— r (t) cos 0 (f) sin 0 (it) dr (f)			+	r (tf (sin 0 (t)fdQ (f)} =		-\|-r (tfdQ (f),
и поэтому				t
				t
		S(t) =	-j-^r(sfdB(8).
Тогда				0
Тогда
		0(f): = 0(f) — 0(0) = ]j-JLdS(r),
				n	' '

24*

372	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ
и, следовательно, d <Z?X, 0>г =				——т d <Z?l5 Syt — 0 и
				г(<)
	d<$x 0>t =		г(t)			< ^ 1		s')i = ~~7rfdt.
			г(t)						г(О
Опять, по теореме II—7.3, существует броуновское движение
(Z?3(0) = 0),	независимое от			Ш, (f)>				(и,	следовательно,	от процесса
{/•(£)}) такое, что
		в(‘> = в. (					\| ^		4
Формула
	х г(г) =	г (t) cos				0 (0) + я			? * ) }
					Ь		Ч й		? * ) }	(6.7)
	Jf2 (i) =	г (t) sin				0(0)		B3
					[°'о>+с»(\|гй--4]

известна как представление двумерного броуновского движения в виде косого произведения.

В качестве приложения (6.6) можно получить следующую форму лу в случае, когда X (0) = 0:

£(«**««) = (cosh ^ -)-1			для	\| s R .		(6.8)
Действительно, учитывая независимость Ш2(£)} и (г(f) >, имеем
Е (е4^ (<)) = Е охр	г (s)2ds
						ТЧ ч1
Е	г (s)2ds	=	j i?	exp	J Т)(s)8ds
где ц (I) — одномерное броуновское движение с					т](0) = 0. Поскольку
Ц (ct)\| % (V) (t)} для всякого с >		0, то
Я (в1б«0) = \Е	охр				“i\ \2
Я (в1б«0) = \Е	охр		jn (s )2ds
Следовательно, достаточно	доказать		формулу		(Камерон,	Мартин
[82] и Кац [86])

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	373

Пусть К (t, s) — t/\s и рассмотрим задачу нахождения собственных

значений в ^ ([О ,		1]):	1
		%J К (t, s) ф(s) ds =					<p(t).
			о
Собственные значения и собственные							функции		задаются равен-
ствами
	к = [ ( » + 4 " ) я] ’						п =	0, 1,
	Ф„ = V l sin				+ 4	их,	п =	0, 1,
	Ф„ = V l sin				+ 4	их,
						со
Теперь	нетрудно	видеть,		что	'П(0 — 2			^пфп(^)т где			не-
						П=0				N(0, 1).
зависимые случайные величины с общим распределением										N(0, 1).
Тогда	f	V	й	и поэтому
Тогда	J т)2 (s) ds = 2d ^			и поэтому
	„	п~оАп
Е ехр				п	W “	P I	- f	й 1) *	П , /	^	т
				п =о '		I	п	} 1	n = 0		l + 2 jj —

ЙТ О

Пусть X(t) — двумерное броуновское движение с Х (0) = 0. Тогда


для всяких i s R 2, { > 0 и \| е Д		(Гавё [23])
Е(е**Ю \Х (t) = х) =	lt	\|7 exp \|Yl - -\|-coth Ш		1	(6.10)
	2sinh^-		LV	1	J

Ясно, что (6.8) является простым следствием формулы (6.10). По этому приводимое ниже доказательство является другим доказатель ством формулы (6.8) (или (6.9)).*)

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу инвариантности броуновского дви жения относительно вращения, нетрудно убедиться, что

Е (e*S(,>I X(t) = х) = Е (eitS(,) I г(f) = г),

где г = Ы . Согласно (6.6), имеем

E(e*s^\X(t) = x) = Е

*) Еще одпо доказательство можно найти в [108].

374	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

Но мы знаем (гл. V, § 3), что

и (t, х) = Е ^ е х р a j* |х + X (s) \4s j j f(x + X

t > 0, x e Ra,

где а > 0 — заданная постоянная, является решением задачи Коши

	^ = уД ы — а\|х\|2и,	и \|(=0 = /•	(6.11)
Пусть	{Нп{х) :п = 0, 1, . . . } — полиномы Эрмита и		положим
фп, т(я) =	(ехр \—\х\г\)Нп {xi)Hm(х2 для х = (хи х2 и / ! , т		= 0,1,, ...
Так как ф„, тудовлетворяет равенству

(А — Ы2)фп,т+ 2(П + JTI+ 1)фп,т = 0,

то (6.11) можно решить методом разложения функции в ряд по соб ственным функциям:

			и (г, х) =		j Ра (t, X, у) / (у) (1у,
где				R2
где				ОО
				ОО
	pa(t,x,y) =			s	е -у *а(п-'т+г)‘еп,п,{х)еп,т{у)
			n,m=0
	е , . „ (	* )	= 1г( Я! т 2! "		+М ( 2 а) ■~1/г) -	1/2Ф * ,	» ( ( 2	а ) 1/4*	) .
Формулы для полиномов Эрмита дают
Ра(г, Ж, у)	2 ^	-Уйх(я+Л			-УГа{А+Угд Ь и^		) тхд Ип {^ )Л'% )
Ра(г, Ж, у)	П				е		у я 2пп1(2а)- 1/4
		2	exp		coth "1/2а t [г2 — 2ял/. sech 1/2а t +					г/?]j
					V^2n sinh "\|/2а 1(2а)_1/2
			x =	(Xi,	z2), У ~(Уи J/г)-
Следовательно,
£ ( e iES(0\|X (£) =		*) =
					!	it exp LV		2	2 /	2t J
= ^ /e (, 0, *) (gu exp [ - Ц ]-])						=

2 sinh

Рассмотрим, наконец, трехмерный процесс

* ( * ) « ( * . ( * ) , X , ( t ) . X . ( 0 ) + S (*))'.

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

375

где (Xi(t), X2(t)) — двумерное броуновское движение, a S(t) опре деляется равенством (6.4). X(t) — диффузионный процесс на R® с порождающим оператором

		Л = у		+ L'l),
где
г	д	х2 д	„	т	д ,	xi д
bl ~	дхг	2 dxs	И		дх2 +	2 дх3’

X(t) — вырожденпая диффузия, но так как [L^,L2\= L1L2 — L2L1=

= -у-,	то	dim 8 {Lu L2 x= 3 для всякого		х.	Поэтому,	согласно тео
реме V—8.1, существует гладкая			плотность		вероятности перехода
p(t, х,	у). Из (6.10) легко получается, что
p ( t , 0 , x ) =
	Ш	Д .	’ ’ <	Ы		X — (^i, х2, х9
	Ш	I лазя"4’ 1 t 3	2г	lanh II2 dl,		X — (^i, х2, х9
						(6. 12)

(см. Гавё [23]). К тому же, согласно приводимому ниже примеру

8.1, мы видим, что топологическим носителем ^ ( Р х)

закона Ря про

цесса

iX(t)}

Х(0) = ж

является

все

пространство

W* =

= {w:

С([0,

оо) -> R3), ц;{0) = х).

Для дальнейшего подробного изу

чения этой диффузии мы отсылаем читателя к Гавё [23].

П р и м е р

6.2. Пусть М — риманово

многообразие. Горизонталь

ным броуновским

движением

г =

ir(t) }

является

диффузионный

процесс па О(М), определенный уравнением (6.1) с Г 0 = 0:

I dr(t) =

Lk (г (0) ° dwh (t),

1 г (0) = г.

Пусть

Ъ— векторное поле

па М. Дифференциальная

1-форма со (&)'

определяется,

как

обычно,

равенством

< a (b )= b t(x )d x t, где

bi(x)=*

= gis(x) Ъ! (х)

и Ь =

Ъг (х) —г. Легко видеть, что скаляризации вектор-

дхъ

совпадают:

яого поля Ъи дифференциальной 1-формы о»(Ь)

a>(b)i (г) =

(а:) е\= V (х)/■ =

Ъ1(г),

i =

1,2,

. . . , d.

Предположим,

что

¥(г) = со(£>)«(г)

ограничено

на

0(М)

для »*=

= 1 , 2 , . .. , d. Тогда

М (t) =

exp

j ? j V

( r (s))du?1 (s)

y j? i5,(r(*))1,d4 (бл4)

i=l о

376.ГЛ. VX. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

является экспоненциальным мартингалом. Посредством преобразова ния сноса, определенного процессом M(t) (см. п. 4.1 гл. IV), полу

чаем d-мерный	винеровский процесс			—	где	(<) =
t
= wt(t) — \bl(r(s))ds.		Уравнение	(6.1)	теперь	превращается в
о
уравнение
I dr(t) =Lk(г(t)) о dwh(t) + L0 (r (t)) dt,						(6.15)
1	r (0) = r,					(6.15)
1	r (0) = r,
где Eo — векторное поле		на O(M),	задаваемое равенством			Et(r)—

= bh(r)Eh(r). Непосредственно проверяется, что Е0 совпадает с го ризонтальным лифтом векторного поля Ь. Таким образом, решение уравнения (6.1) получается из решения уравнения (6.13) посред

ством преобразования				сноса,		определенного			мартингалом M{t).
В	частности,	диффузия, порожденная					оператором —А +				Ь, получа
ется из броуновского				движения		тем	же	самым		преобразованием.
Заметим, что M(t) можно также выразить в виде
М (t) = exp		J	(£>(b) + ~2 J s [CO (b)] (X (s)) At - 4						J ! Ш(b) W2(X(,))ds =
				0					0		J
			f ® ( b) -		t					t
	= exp		f ® ( b) -		4 J	div (b) (X (s)) ds -			4	J\|\| b f	(X (*)) ds
			*[0,1]		0					0
Это следует немедленно из					(6.3)	и равенства
2	Ь1(г)3 = 2	e\e\bi (х) h (ж) = g}l (х) Ъi (ж) Ь, (х) =
i=l	г— 1
							=	gji И	Ь1(х) Ъ1(х) = I Ъf (х).

§ 7. Теоремы аппроксимации для стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений

Как мы видели в этой книге, стохастические интегралы и реше ния стохастических дифференциальных уравнений являются наи более важными и типичными примерами винеровских функциона лов. Если в этих определениях иптегралов или уравнений броунов скую траекторию заменить гладкой траекторией, то они определя ются посредством обыкновенного исчисления и тем самым мы имеем функционалы, определенные на обычных траекториях. Естественно возникает такой вопрос: если подставим в эти функционалы, опре деленные на гладких траекториях, аппроксимацию виперовского процесса (т. е. процесс, состоящий из гладких (выборочных) тра-

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

377

екторий, которые сходятся к броуновским траекториям равномерно и. н.), то будут ли они сходиться к исходным винеровским функцио налам? Так как эти функционалы обычно не непрерывны в равно мерной топологии на пространстве траекторий, то ответ, в общем случае, отрицателен и предельные виперовские функционалы, если они существуют, нуждаются в модификации соответственно спосо бам аппроксимации. Для таких обычных аппроксимаций как ку сочно линейная аппроксимация или регуляризации посредством композиции (сглаживания), тем не менее, ответ утвердителен, если только мы примем симметризованную форму в определении сто хастических интегралов и стохастических дифференциальных урав нений.

Пусть(W Q, Р и ) — г-мерное виноровское пространство*) с обыч ным потоком Ш(}. Ниже Pw обозначается просто через Р. Оператор

смещения 0 i(f^ O ): определяется равенством (0tw)(s) = = w(t + s)—w(t). Мы рассмотрим следующий класс аппроксимаций

для винеровского процесса.

Под

аппроксимацией

винеровского

О п р е д е л е н и е

7.1.

процесса

мы

подразумеваем

семейство

[В6 (t, w) =

(В\ (f, w),

w))}6^0

r-мерпых непрерывных процессов, опре

деленных на виперовском пространстве {W a,r

Р )

таких, что

(I)

для всякого w\

В j(t, w)— кусочно непрерывно дифферен

цируемая функция,

(II)

Bt(0, w) — ^-измеримо,

для всяких & = 1, 2, ...

(III) Bt(t + kб,

w) = Bb(t, Qbbw) + w(k8)

, t > 0 и

(IV)

Е [^в (0, и’)] =

0 для

i = l ,

2, .... г

(V)

Е [ |^ ( 0 ,

w) Г] <

св3

для **)

i -

1, 2, . .

г,

(VI)

n M ( 5 , ^ ) U s

^ сб3 для г =

1, 2,

...,

г, где В\(s, w) =

d т> i

L '0

dsB&(S,

IV).

w) }*>o

удовлетворяет

вышеприведенным

условиям,

Если (Bt(t,

то для всякого Т >

0 имеем, что

Е f’max

|w(t) — B6(t, w)|2l ->-0

при

| 0.

(7.1)

Таким образом, {Bt(t, w)}J>0 действительно приближается к винеровскому процессу {w(t)). Утверждение (7 .1)— очевидное следст вие нижеприводимой теоремы 7.1. Простое применение неравенства

*)	VVg =	(гг е= С ([0 , оо) -»■ R r); w (0) = О} и Р 'г — мора Винера	на	W j.
**)	с, с',	ci, с2------— положительные постоянные, не зависящ ие	от	б.

378 гл . VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

Гёльдера дает, что

/ в

\Pi

x\Pml

Е [yl^1(*,«?)к)

yl^*(*.®)kj

...у|^ж(*,ю)к)

.■7(pi+p2'l'---+J,m)

+ p2 + . . • +

^ ci6

есл и

P i >

P i

P m < 6 .

Согласно

(III), эта оценка также остается в силе, если )

заменить

(M-D6

через

. Опять посредством

неравенства

Гёльдера получаем, что

р ,

/П .,б

\ Р 2

y f

I в* (s, н>)|«\ds )

( f

|Be2 (S, W

I dsj ...

nm6

l>2

pmi,f(pl+p2+ -+ p*n)

I b‘m /

\IJ \

(7.2)

. . . I j |B6

(s,

n;)|dsJ

И,

. . . n m 62

если 1 < p{, p, + p2 + ... + pm^ 6 и Rie

Z+.

Введем следующие обозначения:

Sij (t, б) = у

E |-|-j

[ Be (s, H?) Be (5 , ZP) — B& (s, zt>) Be (s, «;)] dsj

(7.3)

Cij (t,

6) =

-j- f?

j Bj (s,

w) [B i (t, w) -

B{ (S, UP) ] d«

(7.4)

для i, / — 1, 2,

...,

г и f > 0 . Очевидно

(sy(f,

б)) — кососимметриче

ская г Х

/--матрица для каждых t и б.

Сделаем следующее

7.1. Существует кососимметрическая гХг-

П р е д п о л о ж е н и е

матрица (sy) такая, что*)

s « (6 ,

8 ) - + s i}

при

6 1 0 .

(7 .5>

Положим

•

Сц ~

I., 2,

. . . , г.

(7.6)

зц 4" ~2

} =

*) Можно рассматривать случай, когда s ; (6„, en)_*.s{i для некоторой по-, следователыгости On 4 0. Все нижеследующие результаты также справедливы и в этом случае, если заменить {6} последовательностью {6„}.

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

379

Л е м м а

7.1. Пусть

к{б) : (0,

]

Z( — такая

функция,

что

Л (б) t«>

при

6 10. Тогда

lim су (к (б) б, 6) =

сц.

(7.7)

ею

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Полагаем

Ь* = к{б)б. Тогда

для всякого

п =

1,2, ...

п-1

. .

2w6Sjj (пб, б) = 2

{^ (s , гр)

(s, zt>) — B}6{s, w)Bi{s,w)}ds =

ь=«

ft'e

2 £ Г f 1 И (s, 0 fteiP) + w* (Щ) Bi (s, 0hbw) -

h=o

— (B36 (s, Qk6w) + w3 {kb)) Bi (s, 0fl6w)} ds

2nbsij (6, 6) +

E W {kb) (Bi (6, Qh6w) — B{ (0, Qh6w)) —

JP5 {kb) (B\ (6, Qh&w — B\(0, Qhiw))] =

2nbsu(6, 6) +

\B[грг {kb)] E [в{ (S, w) — Bi (0, IP)] —

Поэтому

E [и? {Щ] E [BI (6, w) ~ Вг6(0.,. w)]} =

2nbsi} {b, b).

6 * s y ( S ,5 ) = 6 * SiH 6 * , 6) =

Г6*

-j

T E

j‘

w) B36(s>w))dsj ~

£ | j fi;6 {s, w) Bi (s, ZP)dsj

^Е [В \ (6*, w) Bi {b*, и;)] - 1

E [fi|(0, w) Bi (0, ZP)] +

-6*

+ E j

BI (s, w) [Bi (6*, w) — Bi (s, u;)} ds] — E [/?£ (6*, w) \B\{b*xZP)—

- n i (o ,

№ )}]

= !

£ [ ( B e

(o , e e»w ) +

(6 * )) ( s j ( о ,

e 6* «,)

+ & ( e * ) ) ] -

~ - ^ E [ B l

(0, w) B i (0,

IP)] +

6 * c ..

E[(BUo, e6,ip) +

IP* (6*)) (Bi(0, o ^ ) +

wi(e*} _

Bi(0j „,))] =

= T

(0,

IP )

Bi (0, I P ) ] +

[ u , i

( 5 * ) w i ( § * ) }

— -2 £ [ B 6 (0,, zp) B i (0 , w j ] + 6 % (6 * , b ) — E [ B i (0 , IP) B i (0 , tp )] —

380	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
	- Е [wl (6*)	(б)] + Е [и/ (б) Bi (0, иг)] -
= бСу (б,	б ) - у £ [ « /	(б) w} (б)] -	Е	(0, w) 4 (0, W)] +
Утверждение теперь очевидно, поскольку				+ ^ [ю , (б * )^ (0 1ю)].

	Е [in® (б) w1(б)] =		буб*,
\|Д[В£(0, ю)	w)]\|< ( £ [ ^ ( 0 , w)2] ) l/2(£ [B a O , w)2])1/2< с2б = о(6*)

| ^ [^ (б * )5 б{ (0, ^ )]| < (я [^ (б * )2] ) 1/2(я [в а 0 , W)2])1/2<

< c 36*’'261/2 - о ( б * ) .

Прежде, чем формулировать основные результаты, приведем не которые примеры. Пусть Ф — пространство непрерывно дифферен цируемых функций ф па [0, 1] таких, что ф(0) = 0, ф(1) = 1. Пусть

<Р= ^Ф и Aftu>''= и?'(&6 + б) — w{(kb).

П р и м е р 7.1. Выберем ф' е ф , i = 1, 2, ..., г, и положим

Be (t, w) — w{ (kS) + ф1 ((i — /сб)/б) Ehwl. если
		fe6^ t <Z(k +	1) б, к =	0, 1, . . . .	(7.8)
Нетрудно проверить, что {Bs(f, w)}a>o удовлетворяет всем усло
виям (I) — (VI)	определения 7.1 и поэтому представляет собой ап
проксимацию винеровского процесса. Например,
■( в	ie"l	/1	\в	/ 1	\в
£\|JjlsH^)k{ J=£LK^I8](J^)kJ -lsyVwkJ s3.

Также ясно, что s.j(6, 6) = 0 и поэтому предложение 7.1 удовлетво

ряется с Si] = 0. (Таким образом,				в этом примере су =	бу.^ Если,
в частности,		фi(t) = t для	i = l,	2, . . . , г, то тогда {Z ?s(f, ш )}а >0 яв
ляется обычной кусочно линейной аппроксимацией.						i — 1, 2.
П р и м е р		7.2. (Макшейп [109].) Пусть г = 2 и ф*^Ф,
Положим		wl (Щ +	фг ((t — А6)/б) А^иЛ		^	0,

		wl (Щ +	ф8_г ((t — А6)/6) A^tn1, Аьи/ЛАhw* <			0,,
если Ы	t < (к + 1)6.				винеровского
Легко	видеть, что {B6(f, w) ){>0 — аппроксимация
процесса. В этом случае, однако,

^ j{B6(s,iy)B6(s,iy)—B 6 (s,to )B i(s,to )}d s= i^ ^ ^ f 1 —2jV(s)9*(s)ds\ о ' О у

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4538 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб4Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб18Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб1Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб2Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf