Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

§ 2. НОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

251

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

1, 2,

. . . . г,

где

и = (к + 1)Т/2п и

С =

кТ/2я,

если

£772" < * < ( / «

+ 1)Т/2п,

к =

1, 2,

. . 2 "

— 1, п =

1, 2,

. . . Ясно, что

{Т — t, w) — и;“ (Г) =

0 ^ t ^ 7 \

Рассмотрим следующие

две

системы

обык

новенных дифференциальных уравнений для каждого

п =

2, ...:

(*) =

с г №

(0) d- §

(*, «О +

Ь1(Х„ (/)),

1 =

...,

а=1

Х„ (0) =

(t) =

ei (X» (0) d- § ( t ’ ” ) -

bi (* » (*)),

« =

1. 2,

•••Л

Xn (0) =

a—L

Решения

будут

обозначаться через Xn(t,

х, w)

и Xn(t, х,

w) соот

ветственно. Из единственности решений непосредственно видно, что

Хп(Т — t,			х, w)	= X n(t, Хп{Т,		х, w),	w),	и =	1,	2, . ..
Применив следствие теоремы VI-7.3, переходим к пределу и полу
чаем (2.29).
Суммируя, сформулируем следующий результат.
Т е о р е м а			2.3*). Пусть X(t, х, w) — решение уравнения (2.24)'
(или (2.1))		на винеровском пространстве					(Wn, Pw).			Тогда мож
но выбрать модификацию решения						X(t, х,	ш)	такую,		что отобра
жение	х	X (/ , х, w)		будет диффеоморфизмом Rd					п. н. для каж
дого t е	[0,	°о). Матрица Якоби ( Y)(t, х, w)) =						\|-^jX! (i,		х, ю)^опре-
деляется уравнением				(2.26) (соответственно (2.16)).
Таким образом, мы имеем одпонараметрическое семейство диф
феоморфизмов			X, (ю): х -* X (t, х, w)			для	t s	[0, оо).		Ясно,	что
Х0(н ;)— тождественная функция					и	X3(Qtw) ° X, (w) — Xt+3(w)					для
почти всех w.			при корректуре.)		Фактически			справедливо			более
(Добавлено
сильное утверждение: отображение						x»-*X(t,x,w)			является п. п.

диффеоморфизмом IV1для всех t > 0. См. Дж. Висмут (С. R., t. 290, 1980) и X. Кунита (Труды симпозиума по стохастическим инте гралам, Дюрхем, 1980).

*) См. Фунаки [173], Малливэн [113] и Элворти [181].

252 ГЛ. v - ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Теперь мы возвращаемся к случаю общего многообразия М. Решение (X (i , х, w)) уравнения (1.1) можно рассматривать как

семейство

отображений

Xt: х >-* X (t, х, w)

из

М = М 11(A).

Т е о р е м а

2A. X(t,

х, w)

обладает модификацией*),

которая

опять обозначается через X(t, х, w), такой,

что

отображение

X,(w):

x-+X(t, х, w)

принадлежит классу С”

том

смысле,

что

x*+f(X(t,

х,

w))

принадлежит

классу

С”

для

всякого

f ^ F 0{M)

и всех

фиксированных

f e [ 0 ,

оо)

п. н. Кроме

того, для

каждого х<=М и i s [0,

оо) дифференциал

X(t,x,w)#

отображе

ния

х у* X (t, х, w):

X (t, х, w)%: Tx (Л/)-> TX(t'XiV

(М)

является изоморфизмом

п. н. на множестве ( I T : X(t, х,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х 0<^М

и i s

[0,

оо)

фиксировано.

Тогда

для

почти

всех

w таких, что X(t, х0, w)^M, существуют

целое

п >

0 и

последовательность

координатных

окрестностей Uu

U2, ...,

Un такие, что

2, ...,

(X(s,

ха, w);

s s [(к — l)t/n,

fci/re]) с: £/„,

k =

п.

В силу теоремы 2.3 можем легко заключить, что если U — коорди натная окрестность и (X(s, у„, w); s s [0 , i„]} cr £7, то y>-+X(t0, у, w) является диффеоморфизмом в окрестности у„.

Утверждения теоремы следуют теперь из того, что

A (i, х0, w) = [Xf/n(9(n-i)i/nW) ° •••° Xtjn(0(/пю )°Х (>/„]{xt) .

Теперь введем расслоение линейных реперов**)			GL(M) на М.
Под линейным репером е = [elt	ег, ...,	ed] в точке	х мы подразу
меваем линейно независимую	систему	векторов	ел^ Т х(М), i =

= 1, 2, . . d, т. е. базис касательного пространства ТХ(М). Тогда GL(M) определяется как пабор всех реперов во всех точках х ^ М :

GL(M) — {г — (х, е), х s М, и е — репер в точке х).

На GL(M) можно задать структуру С“ -многообразия следующим образом. Пусть {£/сх,ф„) — коордипатная система многообразия М. Положим

Da= (г = (х, е) е			GL (М), х s	Ua, н е — репер в точке х)
и определим отображение ф» из Dп на								.	.2
						фа(Ur,) х GL (d, R) с : R			х R
равенством
	фх(0 =	(ф аИ = U1, х\		. . . , xd , е), i, ) = 1 , 2 ,				. . . , d),
где е} = е) (		J .	Очевидно,	(Da,	фа)		определяет	координатную
*)	Под модификацией процесса X(l,				х,	w)	мы подразумеваем процесс
А'((, х,	а) такой, что Pw {X(t, х, w) =			X (г, х,		w) для всех г 5= 0} = 1 для всех х.
**)	См. [7] и	[136].

§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ				253
систему GL(M) и, таким образом, GL(M)			имеет структуру (^-мно
гообразия размерности d + d2.		Элемент а	группы	GL(d, R) дей
ствует на GL(M) по формуле
	Та(х,	е) = (х, еа),
где еа = [(еа) ,, (еа) г,	(ea)J — репер		в точке	х, определенный
равенством
(ea)j =	а]еь	/ = 1, 2,	d.	(2.31)
Таким образом, GL(M) — главное расслоение со структурной груп
пой GL(d, R). Проекция	я: GL(M)-+ М определяется, как обычно,
равенством я (ж, е) = х.

Каждое векторное поле L e J (М) индуцирует векторпос поле Е

на GL(M) следующим	образом. Пусть / е F (GL(M)). Тогда	Ef за
дается равенством
(£/) (0 =	/ ((exp tL) х, (exp <£)* е) \|.^0,	(2.32)

где г = (ж, е) и (exp *£)* е= [(exp tL)* el5 (exp Щ* е2, . . . , (exp tL)* ed\. Здесь, разумеется, exp tL — локальный диффеоморфизм х>~* x(t, х), определенный дифференциальным уравнением

^ ( t , x ) = a'(x(t,x))

^L =

a>(x)-^),

х (0, х) = х,

а (exp tL) ^ — ого

дифференциал,

являющийся

изоморфизмом

ТХ(М)-+ Т

tL x(M)

для

каждого

х<=М.

Пусть

Л0,

А и ...

..., Аг^Х(М) и X,=(X(t,

х, w)) — построенный выше поток диф

феоморфизмов на М. Тогда Ло, Яи ..., Ят^ X(GL(M))

определяют

поток диффеоморфизмов r, = (r(f, г,

w)) на GL(M),

и легко

видеть

из

определения, что

r(f,

г, w)^(X(t, х, w), e{t, г, w)),

где*) г = (х,

е)

e(t, г, w) = X (t, х, w)*e.

Выражения в ло

кальных координатах следующие: X(t, х,

и>

определяется

уравне

нием (2.24), где

Аа(х) =

оЪ(х)^~,

a = 1, 2,

. d,

А0(х) =

V(х) j - ,

дх

ох

е] (t, х, w) — Yk(t, х, w) ej,

(2.33)

где

Yh(t,x,w)

определяется уравнением

(2.26)'.

*) X (t, x , u?)« — дифференциал отображения		аг*-> X (t, х, w) и, конечно,
X (t, х, w)lte ^ [X (/, х, w)^	X (t, ш)* «2, . . . .	X (/, x, и?), ed].

254

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Пусть

L e J (М).

Мы

определим

фупкцию

/Ь (г) е

F (GL (М))

для каждого г = 1, 2, .

d равенством

fL(r) = (e-% a h(x)

(2.34)

в локальных

координатах

(х\ е =

(е}))

многообразия GL(М), где

Ь = а'(х) — :

и е~1— обратная к

матрица. Легко убедиться, что

дхг

(2.34) пе зависит от выбора локальных коордипат и таким образом

определяет глобальную функцию на GL(M). Легко также доказать,

что для L,,

(М)

( А

/ ь2)

(г) =

! \ L v 4 ]

(г),

i = 1,

2, . . . , d .

(2.35)

Здесь 2Г,

определяется

посредством

(2.32)

для

L,, a

[L,,

/>2] =

= Ь,Ь2— L2Lt — обычная скобка Пуассона. Следовательно,

)

—

(

J /[Аа,Г.] (Г (*• Г>w)) ° du;“(S) +

5 f[A0,L] (r (*•r >W)) ds

(2-36)

для всякого t e l (M) и £ = 1, 2, ..., d.

§ 3. Уравнение теплопроводности на многообразии

Пусть М — С” -многообразио (дифференцируемое многообразие класса С“ ) и А0, At, ..., Ar<=S{M). Пусть Х ,= (Х (£ , х, w)) — поток диффеоморфизмов на М, построенный в предыдущем па

раграфе. Тогда	,т f(X(t, х, w)) принадлежит	классу С“ для
всякого f ^ F 0(M).	На протяжении всего этого параграфа мы будем
предполагать, что	векторные поля Ak, к = О, 1, ...,	г, имеют следу

ющее свойство:

Е\ sup sup\|Da{/(X (£ , х, w))}] 1< оо
1(Е[0,Г]Х=Н	j
для всех f ^ F 0(M), всякой координатной окрестности		U такой, что
U компактно, всякого Т > 0	и всякого мультиипдекса ос.
Это условие удовлетворяется, если М = Rd и если коэффициенты
(Ъ‘(х)) и (<4(z)) в /10(.г) =	Ьг(х)-£-. и Аа(х) = Оа(х)	a —i, ...,г,

удовлетворяют условию предыдущего параграфа. Опо также удов летворяется, если М погружено в Rm (см, замечание 1.1) так, что Ak, к = 0, 1, ..., г, являются сужениями векторных полей Ак па Rm, которые сами по себе удовлетворяют (этому) условию. В частности, если М компактно, то вышеприведенное условие всегда удовлет воряется.

		\| 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ							2о5
Определим дифференциальный оператор второго порядка А,
действующий на F(M), равенством
•			Г
	АЦх) = 4		2	4(А/)(*) +			(А/) (*)•		(3.1)
Мы покажем, что функция u(t, х ), определенная равенством.
	u(t,	x) = E[f(X(t,			х, w))],		f = Ft(M),		(3.2)
является гладким		решением		следующего			уравнения		теплопровод
ности:
		l ^ ( t , x )			= (Av)(t,x),
			Нш	v(f, у) =		f (х).
		V /J 0,S/- >JC
Сперва мы покажем, что функция u(t,						х), определенная равенством
(3.2),	принадлежит классу*)				С“ ([0,	°°)ХМ).		Ясно,	что u(t, х)
как	функция от	х ^ М	принадлежит				классу С", поскольку
х>—■f (X (t, х, w))		принадлежит			классу	С" и		дифференцирование

под зпаком математического ожидания законно в силу вышеприве

денного условия. Согласно						(1.2) мы имеем
								t
	/ (X (t, х, w)) — / (х) =						мартингал + J (Af) (X (s, х, w)) ds
								о
для	каждого			х&М,	и	поэтому
							t
			и{t, х) =		/ (х) +		J Е \| (Af) (X (.<?, х, w))] ds.			(3 .4)
							О
Так как Anf е F0(M), и = 1 ,							2, ... , то имеем
и (t, x) =		f(x) +		t (Af) (х) +
	t	h
+	j d t ^ E		[(A2f) (X (t2, x, u>))l dt2= /(*) +						# (Af) (x) +	(A4) (*) +
	0	0
		(	*1	*2
	+	j dtj j		dt2j E [(Asf) (X (f3, x, w))] dt3 = / (.г) +						t (Af) (x) +
		0	0	0		(	<1	tn~l
						(	<1	tn~l
	+ 4	(A2f) (X) + . . .			+	jdt! j d t , . . .		j	E [( Af) (X („, *, w))] dtn.
						0	0	0

Отсюда ясно, что u(t, a:)eC°°([0, oo)XM).

*) C“ ([0, 00) X Щ есть класс С°°-функдий на [0, оо) X Ч.

256	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
	Теперь мы покажем, что
	(Au,){x)=*E[(Af)(X(t, х, w))],	(3.5)

где для каждого фиксированного t > 0 полагаем ut(x) — u(t, х). Применяя формулу Ито к гладкой функции ut(x) и обозначая

X. = X (s, х, и>), получим

	Щ(Хх	— и, (х) = j		(Ааи,) (Xu) dwa(и) + j (Auf) (Хг1 da.
			О					о
Пусть U — относительно				компактная			окрестность		точки х и пусть
<т =	inf U: Х,Ш U). Тогда
							sA ct		"1
						I f		(Ли,) («)<«J.
и поэтому
						[sA ®
К><*>- Е'“,(^ л а\|" ,W						Е \	!1	{(^ )(* t ,) - (^ ,)(* o )H “		1
К><*>- Е'“,(^ л а\|" ,W					1-			к («Да1
						sAo	"I	Г«Л®	«	1
						j У^к\|+£\| J
					f			Я[*Ла\|
г д	еYu= j*(AaAut) {Х% dwa(\|). Очевидно,
		s Д а	it			“1
	‘	f	^ J ( A ) ( ^ 6)^
		. о	о________			J	^	s max \|(A2ui) (,r)
			А’ [«Да1					x= U
Так же								x= U
Так же
	«Ло
	1 г“'du
	К(«До]
	г \|<,л°),Д д . 1 г-'1 .				(дк-л«)Ч)1Я(Е[пд				л,1 Г«Т\|)1/2	<С
	Д[4-До\|							Е 1«Да1		<С
	Д[4-До\|							Е 1«Да1

	, (Д[^Лст)г])1/2(^[<^>,Ла1{/3	(согласно теореме Ш-3.1)
	£ WWI	(согласно теореме Ш-3.1)
	£ WWI

§ 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ				257
(£[(*Л<г)2])1''2(Х[°Ла])1/2(тах			2 ((A* Aui)(x) f j ^
_____________________ \ х ч и а		- \		____ /
-------------------------------;г, Ч.ХТ-'			°' =1------------------<
^	ь [*л о-
	^ K s xl~ (шах 2			1/2
				({AaAut)())! 1
			' x~U а -- 1
где К — положительная константа. Следовательно,
Ит	Я(и1(ХмЛо)1-и1(*)		= {Aut) (ж).	(3.6)
siО	Е [хДа\|

С другой стороны, в силу строго марковского свойства броуновско го движения

Л'1М**Дв)1 — Щ(х) = E[f(X(t, Xsha, 0sAaw))) — ЕI/ (X (l, х, w))J =
= E\f(X(t + s До, x, w))] — E\f{X(t, x, IP))] =
	= я [ fЛ	(Af) (Xu) **].= Я [J			(Af) (Xu+<) daJ
Поэтому			*Лв		"j
			*Лв		"j
			[ J	I.Vlf V ,.,)* . I
sl0	^ [*AcrJ	_ Hm		E lsAor]
sl0	^ [*AcrJ		no	E lsAor]
Непосредственно	видно, что	E	[,?До] =	,<>+ о (s),	так как s —
—Е (s/\a)^sP (а ^	s) = o(.s). Поэтому
~nf\a*Л<	1		Г 8
[I (Af)(XuH)du = Е			\(Af)(Xu+i)du +o(s),

так как Af ограничено. Следовательно, можно заключить, что пре дел в (3.7) равен выражению

	lira —	b’ \| j V / ) ( * U+ < ) ^ ]	E[(Aj)(Xt)].
	s\| 0 S
Этим	завершается	доказательство равенства (3.5).
Из	(3.4) и (3.5)	следует, что

		t
и (t, х) =	/ (х) +	j {Аи) (s, х) ds,
		о
и поэтому
\|~(г, х) =		Au(t, х),
т. е. u(t, х) удовлетворяет	уравнению теплопроводности (3.3)’.
17 с. ватанабэ, II. Икэда

258 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Обратно, пусть*) v(t, ж )е С ''2([0, °°)X М) — ограниченное ре шение уравнения (3.3). В дальнейшем мы будем предполагать, что v(t, х) удовлетворяет следующему условию:

Игл Е [v(f — оп, X (о„, х, £/?)): a(l< t] = 0	(3.8)
n t»

для всякого < > 0 и х е М, где a„ = inf{<: Х(/, х, w ) s D n}, а А , — возрастающая последовательность относительно компактных откры

тых множеств в М таких, что U /)П= Л/.

Очевидпо, что условие (3.8) удовлетворяется для любого огра ниченного v, если, например, (X(t, х, w)) консервативно, т. е. Р{е[Х(% х, 1р)] = °°) = 1 Для всякого х^М . Последнее равенство справедливо, так как

е [X (•, х, ш)] =

Июоц.

n to o

По формуле Ито для всякого t « > 0 и

Е [v (t0 — t Д о,и A'(t А оп, х, w))|— v (<0, х) =

= Е

{(Лv) (i0 — s, X (s, х, и;)) —

(<0 — s, А (s, х, и;))} ds = 0.

Устремив п t оо и учитывая

(3.8), получаем

Е{\ (/о — t, X(t, х,

w) ): е[А(*, х,

щ)] >

t) =

v(U,

х).

Полагая

11 10 убеждаемся,

что (в силу теоремы

мажорированной

сходимости)

левая сторона стремится к E[f(X(t0, х,

w))] = u(t0, х).

Следовательно, v(t,

х)

должно совпадать с u(t,

х).

Полученные результаты сформулируем в виде следующей тео

ремы.

3.1.

Для

определим u(t, х)

равенством

Т е о р е м а

(3.2) . Тогда

u(t,

д )е С “ (|0, °°)ХЛ/)

и удовлетворяет

уравнению

теплопроводности

(3.3). Обратно, если функция

v(t,

д ) е С ' ' 2([0,

оо)Х М)ограничена

удовлетворяет

уравнению

теплопроводности

(3.3) и условию (3.8),

то v(t, х)

должно совпадать с u(t,

х).

З а м е ч а н и е

3.1.

Вообще,

ограниченное

решение

уравнения

(3.3) не

единственно,

и необходимы

условия

типа

(3.8),

чтобы га

рантировать единственность. Например, если Д/ = (0, оо)

и оператор

Ли = и"/2,

т. е. Л0 = 0 и

A t = dldx, то

для

/ е Е„(М)

решениями

*) С '2( [0, оо) X Щ — совокупность всех функций j(t, х) на [0, оо)у^М, непрерывно дифференцируемых по t н дважды непрерывно дифференцируе мых но х.

§ 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

259

уравнения теплопроводности являются как

		г^(ехр(_!£^ ) ~ “ р
	О v
так и
л'2	х) = Iл	'	(ехр (” Чг-) +схр (- Чг^))/<>^
vt(f, аг) — решение, удовлетворяющее условию (3.8)’.						оо,
В обобщении (3.2) введем функцию с(х)<^ F(M)					с нхр с (а:) <
Тогда	отображение				*е.м

	х *->-		с (X (s, а:, а>)) dsj/jv (X (t,,xх, w)))j
принадлежит классу С” для любых f^F„(M) и					Это условие
всегда удовлетворяется, если c ^ F 0(M).
Т е о р е м а		3.2. Функция u(t, х), определенная равенством
u(t, х) = Е			с (X (.<?, х, »•)) (Ш / (X (г, аг, г/?))		/ e = F 0(Af),	(3.9)
является решением в С°°([0, °°)Х М )				уравнения	теплопроводности
		\|	(П «) = (Mv)(f, а:) +	c(x)v(t, х),	(3.10)
		]	lim v (f, у) = / (г)

IЦо,у—х

иограничена на [0, Г] Х М для каждого Т > 0.

Обратно, если v(i, a?)— решение в С‘>2([0, °°)Х М) уравнения (3.10) такое, что оно ограничено на [0, Г] X М для каждого Т > 0 и

П т /sj^exp |j c(X(s, х, H?))dsjv(f — о„, X (о„, х, w)): o„s^f j = 0, (3.11)

то v(t, х) совпадает с u(t,	х),	задаваемым равенством			(3.9).
Доказательство приводится		так	же,	как и для	теоремы 3.1.
В этом случае формулу Ито применяем следующим образом:
d [exp [ j с(X.)dsJ / (X,)J =	exp jJ с(X.) rfsj			(Aaf) (X,) duF(t) +
		( t		\
	+ exp		c(Xs)ds\(Af(X() + c{Xt)f(Xt))dt

17*

260 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ

с х р К c (X ,)d s | V ( t 0- t , Xt) = охр j f c(Xs)db] (Aav)

X,)dwa(t)i +

+ exp |J c(Xs)dsj [ — — (t0—t, X,) + (A\)(t0—t, X,) + c{Xt)v(t0—t, Xt)jdt.

§ 4. Невырожденные диффузии на многообразии и их горизонтальные лифты

Рассмотрим двумерное броуновскоее движение на плоскости и предположим, что траектория броуновской частицы вычерчена чер нилами. Мы катим сферу на плоскости без проскальзывания вдоль броуновской кривой. Получающаяся в результате такого перенесения траектория определяет случайную кривую па сфере, и в действитель ности она определяет броуновское движение на сфере*. Эта идея построения сферического броуновского движения была впервые предложена Бохпером. Такой метод может быть применен и в слу чае общего риманова многообразия. Воспользовавшись связпостью

всмысле Леви-Чивита, можно «покатить» многообразие вдоль глад кой кривой в евклидовом пространстве, и хотя броуновская кривая

вевклидовом пространстве не является гладкой, тем не менее сто хастическое исчисление позволяет нам «катить» многообразие вдоль такой кривой. Таким путем получается броуновское движение па римаповом многообразии. Обобщив связность Леви-Чивита до клас са аффинных связностей, можем получить более общие диффузии на многообразиях. В действительности таким образом получаются наиболее общие невырожденные диффузии. Ниже будет осуществ лена такая процедура посредством потока диффеоморфизмов на рас

слоении ортонормированных реперов над многообразием. Этот ме тод принадлежит Иильсу и Ельворту [51]*). Как мы увидим в следующем параграфе, метод Иильса и Ельворта тесно связан со стохастическим параллельным переносом, впервые введенным Ито [71].

Прежде чем перейти к детальному изложению, вспомпим вкрат це некоторые основные понятия из дифферепциалъной геометрии. Пусть М есть С°°-многообразие. Тензор типа (р, д) в точке х есть

элемент в тензорном произведении ТХ(М)’я\ где

Тх {M)vq = Тх (М) ® Тх (М) ® .. . 8)ТХ(М) 0

® т х(М)* ® Тх (М)* ® ■. ■® Тх(М)*

*) См. также их работы из списка литературы [511 и Малливэн [112].

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб4Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб18Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб1Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб2Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf