книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Я ( 6 ) = < Д « У ,

х>.

Можно показать, что К (|) зависит

от g и не зависит

от

частного

выбора X и У. В локальных координатах

K(l) = X‘r Y hX‘Rm,

если X = Х(<?„ У =

У'д, и {X, У) — ортонормированы. Для X е £ (М)

такого,

что 11ХН=

У <Х, Х> = 1,

кривизна Риччи

р(Х) направления

X определяется равенством

Р(Х)= 2 х ({{Х,уо)),

где {X,

У2, .... Yd — ортонормированный

базис

в

ТХ(М) для каж­

дого х и {{X, У4}} — плоское сечение, порожденное

(векторными по­

лями) X и Yi. р(Х)

не

зависит от

выбора

(У2, У$,

Уа). В ло­

кальных координатах

р(Х) = Х*Х*Ду

и

Ru = R hm,

где Х = Х‘д{ с 11X11 =

1.

О п р е д е л е н и е

5.1. М называется пространством постоянной

кривизны, если К( |) не

зависит

ни

от выбора

плоского сечения g

в каждой ж е М, ни от точки*)

i s l .

О п р е д е л е н и е

5.2. Пусть ц : 1 -*■ М — гладкая кривая, у назы­

вается геодезической, если касательные векторы

у* =

-^

парал­

лельны

вдоль у;

в

локальных

координатах у

=

*Y*(i) , . . .

•••>yd( 0 ) — геодезическая тогда и только тогда, когда

i V

m

. I

f

dt

e

v’

/

(5.4)

it*

dt

~

Следующие утверждения являются следствием теорем существо­

вания и единственности для дифференциального уравнения

(5.4) **);

для каждых х ^ М

а Х ^ Т х(М) существует единственный открытый

интервал / ( X ) в R *,

который содержит 0

и такой, что

такая,

что

(I)

существует

геодезическая

кривая

у: J(X )-* M

1(0) = 1 и у* (0) = X;

*) Согласно теореме Шура, из

первого

свойства

следует

второе,

если

только

3 ([7]).

[176].

**)

См., например,

§ 5. ДИФФУЗИЯ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

365

Пусть k — якобиан отображения ехр^.

Тогда

^ l n / l + ^

i = | : ln

/ S i t e .

(5.8)

К тому же, если М — пространство постоянной кривизны с, то

Jr In / d e t G =

J - In A, 0 < r < r0 (c),

(5.9)

где

c > 0 ,

Л = A (r, c) =

c = 0,

c < 0 .

дениях.

удовлетворяет условию

Л е м м а 5.1. Пусть кривизна Риччи р(Х)

( r f - l ) f t < p ( X ) ,

Х<=Тх{М)% |X I =

1,

а секционная

кривизна К{%)

такова,

что

Х ( £ ) < а

для

всякого

плоского сечения £. Тогда

(I)

Jr

In h <

J- In A (r, b) —

r e= (0, r*o (M ))t

Jr

1 п Л >

Jr In Л(г, а

)

-

г е ( 0 , г о( 4

и

( И )

/I ( г ) < Л (г, Ь)/гй- г,

r e ( 0 ,

r*o (А/)),

h(r)^A(r,a)lrd~l,

г е ( 0 , г о(«)).

Для доказательства см. [7], с. 253—256 и [34].

U<=-M,

называ­

Вообще, координатное отображение ср: U -* И*,

(Xt)),

то Er,]

у = (г, 0),

0 < г < г *

(соответственно,

Е[а (9 ^

Еу(9),

где

Е[с) и Ех обозначают математические ожидания

по вероятностным мерам, соответствующим процессу (|(С))

с |(0С) = г

и процессу (Xt)

с Х0= х, соответственно.

З а м е ч а н и е

5.1. Граница

0 является точкой входа

для (9 °')

и (£(Ь))

в смысле Ито — Маккина [77]. Хорошо известно,

что в та­

ком случае существуют

limp(H)(i, г, гД и limp((,)(£, г, гД.

Г]Ю

г,J.о

Доказательство

получается

немедленно

из

вышеприведенной

теоремы и следствия леммы 5.1.

Если кривизна Риччи

р удовлетво­

С л е д с т в и е

2.

(Яу

[189].)

ряет условию

0 ^

p(X)^(ri — 1 ) с > — оо,

X E

T I (M ),

|X |= 1,

х<=М,

то (Xt) — консервативен, т. е. P(t, х, М)— 1

для всех х^М .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Без потери

общности

можпо

предполо­

жить, что М односвязно, поскольку

броуновское

движение па М

ном

накрывающем пространстве Ш пространства М. Тогда г* = °°

([7])

и утверждение следует немедленно из теоремы.

368

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

зимартипгал, т. е. f / (X (t))

является квазимартингалом в смыс­

ле гл. Ill,

§ 1, для всякого / е

F0(M). Тогда можно определить так­

стоящее из

координатных окрестностей, и выберем покрытия П7„}

и {F„} многообразия М так,’ что

Un<= Vnс: Vn<= Wn.

Определим

последовательности {о4п)] и (т^ ) моментов остановки

равенствами

=

О,

Лп) =

inf i t ; t > oin2u Xt <= Un',

o£n) =

inf {f; £ >Tftn), X t ф. Vn]

чае | а

можно определить более непосредственно.

.x[b,f]

М — d-мерное многообразие и X = (X(t)) — несингуляр­

Пусть

чании V —4.2, можно предположить, что

М — риманово

многообра­

зие и X(t) получается проектированием

на М процесса

r(t) на