Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4539 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

381

я поэтому предположение 7.1 удовлетворяется с

?]2 = — 2 J ф1 (s) ф* (s) dsj.

П р и м е р

7.3 (сглаживание). Пусть

р — неотрицательная С**-

функция,

носитель

которой

содерлштся

[0,

J р ($) ds = 1.

Положим

Р б(«)=

Для

6 > 0

оо

Bi(tt w ) =

j wl (s) р б (s — t)ds = § wx(s + t) pa (s) ds

для

l , 2 ,

г.

(7 .10)

Нетрудно

проверить,

что

{B6(t,

1У))б>о — аппроксимация

вине-

ровского процесса. Действительно, свойства

(I) — (IV)

определе

нии 7.1

очевидны,

(V)

и (VI) проверяются

следующим образом.

1В\(0, w) |2m =

/ 1

\ 2771

Имеем

I j 4=wl(8s) p (s) ds)

поэтому

,2771-1

£ [| #6

(0,

u;)i2OT] =

6m£

w1(s) p (s)dsj

J.Кроме того, Щ (s, w) =

= —jr Jw1(s +

81) p' (|)

и, таким образом,

£7|^(j I i?g(fis,

u ;)| d *

j s 21

jV(6(s hs))p'(I)<i|

)2771*1

L \o

l])p'(l)dl

dsj

j s m =

,27П

£ | m

j f^ ( S +

i)p' (S)ds

j e ”*.

vO |0

Очевидно

Sij(8,

6) = 0

и,

следовательно,

предположение

7.1

удов

летворяется с 5,-j =

382 ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Теперь мы рассмотрим сначала аппроксимацию стохастических

интегралов. Пусть

а — дифференциальная 1-форма

па

1Г,

задавав-

мая равенством а = 2

ai(x)dxi. Мы предположим, что все частпые

г=1

i = 1, 2, ..., г, ограничены. В частно

производные функции ai(x),

сти,

имеем

|а г (х) |<

К (1 +

|х |),

i = 1,2,

. . . , г,

для некоторой

положительной константы К. Положим

A(t,a;w) =

а =

“ i (и>(«)) ° dw1(s)

(7.11)

A (t, a; B6) =

a =

ai (B&(«)) Щ («) ds.

(7.12)

i=l о

Т е о р е м а 7.1.

Пусть

{B6(t,

1в))в>0 — аппроксимация

вииерое-

ского процесса, удовлетворяющая предложению 7.1. Тогда

бjo

|_o< K T

А (t

, a; 56) — Л (f, a; и;) — О *3—1

(«)) dsj J== О

lim

E I

sup

f 2

(7.13)

для всякого T >

0, где

= —.aj.

Д о к а з а т е л ь с т в о * ) . Достаточно показать, что

lim Е

sup

) и (В6(у, w)) В36(s, w) ds —

6 jo

|о«(«т

— 1 и (w (s) ) ° dw3(s) — j f 2

SijUi ( w (s)) j ds

(7.14)

i—1

для всяких

T >

0 и / = 1,

...,

г.

Здесь и-. Rr

является С2-

функцией такой, что все частпые производные ограничены и

(х) =

= ----- : U

( Х ) .

д х 1

v '

Сначала введем следующие обозначения. Выберем п(б): (0, 1]

-*• Z+ такое, что

ге(6)4б 1 0

ra(6)t°°

при

б 10.

(7.15)

Будем писать

■б = п(б)б,

(7.16)

[s]+ (В) = (k +

l)b,

f c 6 < s < ( / c + 1)6

(7.17)

r , - m

kb,

если

[s]

(6 ) =

*) Главной идеей доказательства мы обязаны Ш. Накао.

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

383

m(t) = m(t) (8)~[t]-{8)/8.

(7.18)

Интегрирование по частям дает: №+1)6

J	и (Вй (s		w)) dB36(s, w) =
ft?
	(ft+D?
=	—	j	u(B6(s, w))~^[B}6((k + 1)6, w) — BJ6(s, w)]ds =
=	u(B6(fc6,ft?		IP))[Bi(	k8 + Ъ, w) —Be(&6, ц;)]	+
	r	(ft+i)?
+	s	j	Щ (Be (.9, IP))M (, W) [ B i (S + S’, IP) -			в\| (*, IP)] ds =
	i—1	ft?
=	(и (Be (fc6, IP)) -			и (w (kS))) [Bi ((к +	1) 6, IP) -	Bi (k8t u>)] +
		+	u(w(k8)) [Bi((k + 1)6, w) — wi((k +			1)6)] —

—u(w (&$)) [Bi (кЪ, w) — w>(/cB)] +

+и (w (k8)) [ipJ ((k + 1)6) — w'1(&6)] +

		rii-Lift*
						(7.19)
Аналогично,
	t
	J	и (Be (s, w)) dB\ (s, w) =
lt]“ (6)		= — и (Be(t,		w)) [Bi ([i]+ (6 ), w )	- Bi (t, w)\ +
		= — и (Be(t,		w)) [Bi ([i]+ (6 ), w )	- Bi (t, w)\ +
		+ и (адг (6), w)) [Bi([f]+ (Ъ), w) -			B{ a#r (e), «01 +
	+ 2	j	^i (B6(S,u ;))B i(S)4 ;)[B i(m + ( 6 ) . ^ ) - 5 H s>u,) ] ds =
=	— [u (Be (t,		IP)) - U(Be ([£]“ (6 ), «>))] [M ([1+ ( 6 ) w) ~			w) l-
-	[и {B6 ( it r (6), u>)) -			«(ip([tr (Ю))] N ([* ]+ (? )		-
-	w (w ([«]“ (6 ))) [M (ff]+ (6 ), IP) - M (t, IP)] +

+ и (Be ([«]" (6 ). «0 ) [ B i ([*]+ (6),, w ) - B l (1*1” (6 ). w )l +

384ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

г‘

+2 j ui(Be(s,w))Bl(s,w)[Bl{[t]^(b),w)-~Bi6(s,w)]ds. i=1

					(7.20)
В силу (7.19) и (7.20) имеем:
<		1	t т	SyW.(ш (s))	==
?и (Б6(s, w)) dBl (s, w) - j u(w (s)) оdwi (s) — f 2				SyW.(ш (s))	==
0		0	0
	t	*	<	r
=	j и (#6 (■*« w)) dB[ (s, w) — ]' и(i17(s))		(*) — j	2 Cuttj(u> (s)) ds =
	о	0	0	*=1
= _	[u(Bb (t, w)) -	и (B6([*)- (6), w))][B}6([t]+(ff), w) __			(it и;)] -

— [u(B6( [ t r ( 6 ) t w))-i*(w‘([tr(6)))][fli([t] + (g:)t w)-Bi{t, w )] -

	- и (w(itr ( 8 ) ) ) Щ ([t}+ (8), w) -			B\(t, u;)] +
+ [и (B 6 ([f]~ (§), ui)) ~ u ( w ([]“ (S)))] [B \ ([]*■ (б), ц,) __
-	B’s ([i]~ (S'), »)] + и (w ([#]“ (6))) [#£ ([*]+ (6), a,) _
	^	Г	*
— B!6([<J“ (S’), «0] +		2	J “i(#6(*, W ) Bl(s, w) [яЦ[г]+ (6), w) —
-	Bi(s, №)]ds — u (w (u]~ (£))) [да(t) — Wi ([*p (6))] +
+ «(ю([г (б)))(да(^) — и>»([г(<0))—				J u {w(s)) dw>(s)l —
L				in—(S')

Гr

—

2 C ijK i(ii? (s ))d s +

СП—(S')i_1

+2 [u(B6(k8, и?))-ц(и>(лв))][^((Л + 1)^,н;)-^(й®ли»)]-

m(0—1	» (и--(й ))[4((а + 1)?, ю) -»<((ft + i)?)i _
+ 2	» (и--(й ))[4((а + 1)?, ю) -»<((ft + i)?)i _
n~~0	*"<0-1
	*"<0-1
-	2 u{w{k8))[BUk8, w) — да w i	+
	k—Q
	[(]*(?)	-i

2 U (w {Щ ) (да ((ft + 1) б) - да (fc8)) -

u{w(s))dwi(s) +

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

385

m(0—1

w))—

(лй))]-в^(*.«о

+i)7S,w)—

+ 2

лл

—B36(s, »)]ds+

m(i)-l

(fe+l)6

+ 2

Ui(w(kb)) J

[#e(s, u>)(fi$ ((k +

1)3, w) —

i=l

fc=0

— Bi («. ^)) — сц (6, 6)] ds +

r m ( t )— l

щ (w (kb)) [cy (6,s) — cy]3 +

г—L

h—O

m ( i )— 1

+ 2

2sLi

[ui(w№ ) — ^(^(«))]*су

1=1

h=o

=/l(f)+I 2(t) +I3(t) +h(t) +/5(<) + 2 ПК) +I At) +

i=l

+ f.W

+ W

/ w(<) + 7n (') +

/ „ № +

+ 2 n . (<) + 2 7«W + 2 Л. (O + 2

(*)•

(7-21)

i=l

1=1

'=1

Ясно, ЧТО

E \sup

|/,(t)|*|-»-0 при

8J0

(7.22)

н, согласно мартипгальному неравенству,

E\ sup | /i3(*) +

/e(*)l4l < c 4£

f t** (“»([*]" (® ))) — “ (» (*»1*Л|-*“0

Lozier

при

6JO.

(7.23)

В силу леммы 7.1, очевидно, что

6^°'

(7,24)

е \sup

i/uon-*0 при

[о ск г

Имеем

£Г** Iп , «>h<«. 2 £ (JI“>*а*гW) - ю‘<s)l'isj

loct-tT

i=l

L\o

np“ 6 , °-

1(3

(7.25)

25 С. Ватанабэ, H. Икэда

386	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Также, согласно (7.2),

е \ sup |/1(*)12|<;

< c e S ^ I"su p		w) — 7?б([«]_ (б), w )Y (B 6([t}+, (8), w) —
i=l	Lo<(<T
r	Г	/[i]+(6]	\2 /[i]+(&)		y -
< c e2	E\ sup	f	lM(s, ^)U S	f	J
i=i	l_o«t«r			J	J

- O, ±	E \	max n
i=i	Lo-cft-enKD V
r	m(T)	'(ft+l)6
< c e 2	S	E
i=l fc=o		hi
		hi

UV » ( S. « ' ) l 4	( <,+f:5r\| « ( s' “') l *	<
/	V
'(^+1)6
#6 (s, w) I ds	\| IЩ (s, w) I ds

йв

< с в(тл(Г) +

1 )2

11Щ (s,I)>u dsj

у !Bi (s,

w)dsjI

■c

i=l

< с ,(т (Г ) +

1)га(6)462<суг(&)36->0

при

6|0.

(7.26)

Что касается h{t),

то имеем:

E Г sup

J2(i)|2l <

Lo«i«r

< c e2

E \

sup

(5 | ([fP (s ), w) — wi ([£]“ (fQ))2 X

i=l

|o«i«T

(ЯЦ [«]+ (S'), Ы?) -

(M P))2I <

< C9 2 E

s u

(

# e

( [ f

]

( s

) ,

u ; )

—

i=l

0<t<r

/ [ i ] + ( 6 )

— u > H [* r ( s ) ) ) 2

| 5 J ( s , IP ) U s

Mirfe)

= ce2 £	max (Bl
i—1	о < k < m ( T )

r m(T)

(#6 (&6,

i=l ft=o

' (ft4-1)6		<
(/c6, w) — wl U s))2[	f	<
hi
/(ft+1)5	^
w) — «?i (A-6))2 { j	\|#6 (s, w) Us
\ kS	J

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

387

:.са(т(Т) +	1 ) 2	Е (В’&(0, iv)Y ( ] \|в 3в (s, w) \|ds		;
		\о	г / 6	;	1/2
			г / 6		1/2
< с 9(тп(Г) +	1 ) 2	£ [5 i(0 , ££;))4] £	\|\|H (s, w) I ds		<
	i—l
< с 10(?п(Г) +		l)(S2n(6)462)1'2 < c u Sn(6)->0		при	6jO. (7.27)

Вслучае I3(t) имеем

ЕГ sup |/ 3(* )Н <

г=С С12 2

sup

+ j «;*([£]

(б )) l2)

I («» ^)|<&?

i = i

L O « ( < T

\ m - C X l

c12 2

\E Г sup

(1 + |wi (t) |2)2

i = 1

Lo«(«T

4 - 1 . 1 / 2

X E

max

V I

]

(5^(s, it)|ds

4*|\ 1/2

( T )

( 0

‘ + } ) $

Cis

j B\ (s, it)

.'i=0V

„?■

;

< c l4((m (f) +

l)rc(6)462)>/2< c 15(«(6)36)>/2-> 0

при

6j0.

(7.28)

Так же, как и в

(7.27) и

(7.28), можно доказать, что

Е \ sup

l / 4(i)|ai-> 0

при

б|0

(7.29)

Е\ sup

|/5(*)|21-»-0

при

б|0.

(7.30)

Для"/ ’ (*):

lo < t < T

E f sup

\1\ Ш ] <

Lo«i<r

rtt]+(e)

m+CS)

■»

^ c ieE

sup

] Щ (s, w) ]ds

|^ (s,

it)|ds|

l 0<t<T l[(]-(s)

т-Сь)

m(T)

[-/№+!)«

(h+ljb

c 17

|B\ (s, w) I ds

I Bi (s, w) |ds\

h—0

-l

li<r

l2'

ci7 (m (T) +

1) E

J 1Bl (s, w)\ ds j

IЩ (s, It’) |ds|

-U

1 .

си ^ Щ ь п (8)^ 2~ с 18п(бу&->0

при

6j0.

(7.31)

25*

388

ГП. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Что касается / 7 (t),

то

Е\ sup

|J7(*)|2] <

LO« < T

< с 19ЯГ sup

(1 +

I w ([f]_ (S))|2) sup

|w>(t) — wi ([f]~ (б )) |2] <

Lo<t<T

о <t<T

^ с20(£'Г

max

sup

|u;i(f + A:6)— wi (k8) |4H1/2 ^

[о<й<т(Т)0<4<^

r m (T )

l*=o

E Г sup

I wi(t + k8) — wi (k8)

c20 j 2

M l1/2

c20 {(m (T) + 1) E J sup^ | wi (t) |« ]p <

c2 i [ r J r 6 (w (6 )6 )2 ] 1 /2 = > 2 i(? z (6 ) 5

) 1

2 п р и

6 j 0 - (7 -3 2 )

I i0(t) мы оцениваем так:

E \sup

|J10(f)| ?]<

Lo<t<r

< E

sup

[u(B6(k8, w )) — u (w (k8))]2 2

[M ((& + 1)6, w) —

.O< t < T

h = 0

*■k=0— ~

- B i(k 8 , w )]s

m ( JT. J)—~ lJ.

Ш\Лt— J

< E

[u(B6(k\ w)) — ц (^ (/с б ))]2

[#e((& +

1)6, w) —

h=0

- 4 (fc s ,u > )]2 <

< { E

m(t)

[u(B6(k8,w)) — u(w(k8))]'i

h~0

X E

m(T)

m ( T ) — l

1/2

2 N ( ( *

1)6, u > ) - 4 (^ 6 , w)Y\

k=0

fi m ({T))—~ 1l

wi (кЬ) |4] X

< c22m (T) 2

{

E [ |Bl (k8, w ) -

j= l

k—Q

1#б((& +

1/2

1)6, w) — Щ(к8, w) |4}

fe=o

< C23m (Т)?8 l2E[\Bi (0Xw) |4] + E [ |w (б) |4]}I/2 <

^ c 2im(T)28 8 ^ c 2bn(8)~1~+0 при 6J0. (7.33)

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

389

В случае 7И(/) мы сначала заметим, что

ЛпИ = 2 u(w(kb))(B36({k + 1)6, w) —wi((k + 1)б))=

Й=0

= j2

U {w{kb)) ВЪ(0, 0(fc+1flU>)

является {^„/-мартингалом, где

/?"„ =

J?(n+2~.

Поэтому,

соглас

но мартипгальному неравенству,

Е Г sup

\In (t) |21 =

Е\

max

|rjn(w) |21<

c26E [ |Tbncn-i И

]а] =

Lo<f<r

|_o<n«m(T)—i

т ( Г ) - 1

с26

2 Е [м (w (/Гб))2 (Bi (О, 0 №+О5

^ ))2] =

ь.—о

т ( Т ) —1

с2в

£[и(и7(й:в))а]я [(я £ (0 ,

и;))2] <

c27m (71) 6 =

h~о

c2Sn (6)_1 -> 0

при

6|0.

(7.34)

Аналогично, можно показать, что

Е Г sup

|7I2 {t) |21-> 0

при

6,[0.

(7.35)

Lo-si^7’

Что касается

/|4(f),

то

Lo<t<r

|/!4(0l2]<J

\ sup

E sup I

l №+1)6

\ui(B6(s, м)) — щ(ш(ы))\\в16(8,№)\х

O< t < T'l

ьХ L

№+1)6

)2"

|M(£, u>)|d£

dsj

< E

m(T)-l

|п4(В6(5, W )) — и{(н;(/сб))||5г6(8, w ) \

{»-«

№+i)6

I Bi (I, w) I

s--he _

(m(T)-l №+^1)'б Г I

c2e 2

s e(0, 0^U1)+

^ ( л , 0 лую)<*л

i=i

k=0

№+i)6

X IЩ (s, w) I

)

IЩ (£, w) (dl

390 ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

< с 29?п(Г)		2	Е	т(Г)-1	(№+1)6 Г /
< с 29?п(Г)		2	Е	Ь=0		Яб(°- 0Л »)\|		+
				Ь=0	1 .	Г
		1= 1		2	1 .	Г
		1= 1
+	s—h б					(И-1)6		(I,н>) Id£ ds
+	j	\|#6 (Л, Q^ic) \|dt\| ) IЩ (s, я;) \| J					\|М	(I,н>) Id£ ds
						кб
< с2ат (Г)2 2			£	15б (О, и>) \|j I Вг6 (s, w) \|ds J 1В\ (s, w) \|ds +
		i=i
		6			\ \|Щ	(s, w ) Us j	\| B 63 ( l , w
	+	j IB 6’ (ii, w ) \|d r\			\ \|Щ	(s, w ) Us j	\| B 63 ( l , w
								/6
< < W » (Z T 2			\E	B&(0. W Г		[ I B6(S. w) Ids )		И B’e(s, w) I ds
		i=i
							V2 / 6
+	E	Bl&(r), w			Bl (s, w) \|2 ds		f	I B’6 (s, w) \|2 ds
	\0
	< c 30m (Г)2 2			(д [\| д £ (о, u o lT ’ s			IIЩ (s, w) \|ds J X
			i=i (				0
						3-12/3

X< ( ( |Bi(s, w

"	1
+ E И 1З Д ,	\|B\ (s, w) (ds

П #6 (s. w) |ds <0

< C 3 i-^ 7 ?(S («(S )e62)2/3 +		W(S)6S3) < c 32«(8)4S ->0			при	6J0. (7.36)
n (0) 0
Наконец, докажем, что
E \ sup		11\ь (£) 12\|	0	при 6JO.		(7,37)
Lo«f«r		J
Для этого сначала заметим, что
бсу (б, б) =	б4	(б , б) +	(S' -	б) су (б -	б, б),,	(7.38)
где	6
г	6
с* (б, б)=£	Щ (®> W [#б (б,			vo) — Bl{sx ic)] ds		S.

L 0

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4539 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб4Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб18Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб1Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб2Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf