Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4534 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

			§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ		331
удовлетворяет равенству
(0Х <Д h) =	j	о' (x<:;>(s))		h) dw (s) +
	о
		t		t
	+	f	b' (XZs>) (DX%%, h) ds + j‘ a « > ( „ ) dh (s),		h<=H,
		о		0
а поэтому, если мы обозначим				t
			(ОХ[n), h ) =	t
			(ОХ[n), h ) =	О
				О
то y /°(v ),	t		удонлетноряет равенству
	t
Y\u (V) =	f		a'(x<">5)) Y ^ s)(,)dw(s) +

^ „ ( v ) A t

+i b' (^iy,,)) Yi^ ) ( \ ) ds + о (X(pn(v)). (8.6)

4f„(v)At

Здесь Wn{v)=k/2a, если v ^ ( ( k — l)/2 ", к/2я], к = 0, 1, 2,.... При

менив незначительную модификацию леммы 2.1 к							(8.5) и (8.6), мы
получаем для всякого р > 1
			Е ( sup	\| j e > - X sn ^ 0				М
и			V»G[0,(]		j
и			E( sup \| y ^ ( v) - y s( v ) n - > 0					(8.8)
			E( sup \| y ^ ( v) - y s( v ) n - > 0					(8.8)
			\ «S [v,f]		J
при n -* oo, где y,(v) определяется посредством
			t	i
У, (v) =			J о' (X,) y , (v) dw (s) + f b' (Xt) У* (v) ds + a (Xv).					(8.9)
			V	V
Сходимость в			(8.8) является ограниченной по v. Повторяя этот про
цесс шаг за шагом, мы находим, так					же как	и	в доказательстве
предложения 2.1, что если
П % п)(ки }12, ...,/ц) =
t	t		t
- Л	0	-	.f Z(/° (v„v 2, .	v4) К Ю	h2(va) ... hi (vj) dvjdva ... dvj,
0	0		0
TO
E ('	snp		\|zin) (v l> V2>	Vj)— Zs(va, v2		..., Vi) \|pj -> 0
\,VI Vv2V...\/V							при	n -*■ OO,
							при	n -*■ OO,

3 32	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МЕЮГООБРАЗИЯХ

где Zt(vi, v2, . . Vi) определяется по индукции. Эта сходимость ог раничена по (Vi, v2, . . Vi). Поэтому имеем

	t	t	t
	f j		. . . JI	(vb	v2, . . Vj) — Zt(vlf va, .		. Vj)\|a x
	0	0	0			1P/21
					X OVjdVj . . . dv;	1P/21	при	n-*~oо
					X OVjdVj . . . dv;	E-+-0	при	n-*~oо
и
( r f x j f h u h , ,			. .. ,h, ) =
t	t	t
= j	j •••j		Zf (vlt v2,	.	VjjA^Vx) h2 (v2) . . . ^(vJdvjdvjj			. . . dv{.
0	0	0

Тем самым доказано, что			Xt(w) s II (р, p,			..., p)		для всякого р > 1 и
всех i. К тому		же, так	как L	X		i		в терминах ядер
всех i. К тому		же, так	как L	X	выражается			в терминах ядер
D2Xt и DXt, то легко можно доказать, что X t(w)<= Н(р; р)											для лю
бого р. Таким		образом,	X, (ш) е //» с: /?„.				Повторяя		аналогичные
рассуждения, можем заключить, что X, удовлетворяет прсдположе-
нию (А.1).	,				в общем случае.				Пусть X, =
Дадим	теперь явные формулы				в общем случае.				Пусть X, =
= (Xf, X 2,		X'/) —- решение		следующего			уравнения			в	форме
Стратононича:
dXlt =		Oa(Xt)odwa(t) +		bl (Xt)dt,			i = 1, 2, ...,			d,	( 8. 10)
XQ=		ЕГ,									( 8. 10)
XQ=		ЕГ,
где предположения относительно коэффициентов те же										самые, что
и выше. Пусть		У (i) =	У (i)j— решение уравнения (2.26)'. Тогда*)
			t
	(DX{„ h) =		fd,p(v)^(v)dv,			/г = (йр) е Я ,					(8.11)
			о
где
С*,э(v) = (У (<) У 1 (v))jo£ (X,),				i =	1, 2,	...,	d, P = 1, 2,			...,	Г , t > v.
											(8.12)

*) Как обычно, опускается знак суммирования для повторяющихся ин дексов.

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ

333

К толу же

LX\ = | у

(О)У*1 (*)£,

Ста ( X

. )ji^(v)i',g(v)dv —o£(Xs)| о duF (s) +

+ J Y M Y - H s t y

f b

w ( X . ) J l ? . £ ( v ) | ‘.i

( v ) d v +

a2 (*«) <4 <X *)} ds *)•

(8ЛЗ)

В принципе, все производные от X]

и их ядра можно выразить в

терминах X, и У(s) для s е

[О, Г], но выражения усложняются для

высших производных.

(А.2).

Согласно

(8.12), о’Ци) =

Исследуем

предположение

= (DXli,DX\yH**), i, j =

...,

задаются

равенством

О» И

j* (У (О Г " 1 (*))jc ] (X.) ( У (0 у - 1 ( * ) ) Ц

( X

. ) (8.14)

Как и в

r, =( X, ,

Y(t) ) — процесс

на расслоении

GL(W) ли

нейных реперов

над R*1, и, пользуясь обозначениями из

§ 2, имеем

oil (w) = j' У (Of'/лр (rv)Y(t)\ /др(гу) dv.

(8.15)

“

Здесь

— векторное поле па R*1, определенное равенством

Ар(X) =

(

)

Э =

1, 2, ....

г.

(8.16)

Положим

аИ(ш) =

(rv) fAp(rv) dv.

(8.17)

—

Л е м м а

8.3.

Предположение

(А.2) удовлетворяется

тогда и

только тогда, когда det(a’J(w )) > 0 для Pw-n. в. w и каждая компо нента матрицы (ai3(w))~l е 3?p(Pw) для всех р > 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Мы зпаем,	что***) sup\|iy (f)!\|е 2 ’p (P w )
для всяких Г > 0 и р >	1. Ктому	t e [ n , j ]
для всяких Г > 0 и р >	1. Ктому	же Z(t) = Y(t)~l определяется

*) Черточки под а и р подчеркивают, что символ суммирования опус кается и в том случае, когда аир расположены па одпои лилии.

**) Как обычно, Н* отождествляется с И. d

***) Для d X ^-матрицы а — (a j) fl a f --= 2 |аj |“-

334	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
из	уравнения (2.27). Поэтому, по той				же причине,				sup\|\|Z(J)\|le
е 2	’\|,(/,'г) для всяких		Г > 0 и р > 1 .		Так		как	а = Y(t)aY(t)* и
о-1 = Z(t)*a~lZ(t), то			утверждение получается					немедленно*).
	Следуя Малливэну [114], определим семейство векторных полей
2j для каждого / = 1 , 2 , . . . ,				равенством
	[^ Р 2‘ ’ ‘ [^ P j-!»			^ P j]]‘ ‘ ‘ ] ’ Ри		Рг>	•••!	А/	1> 2* .	г)
										(8.18)
и			2j = 2i US2 U... U2j.							(8.19)

Для каждого J G R1положим % (х) = {Lxе						Тх(К*1) ; L е 2Д и
		Фj М = 2 (<let((L,)*, (Lt)x,				...,	(Ld x))\			(8.20)
где суммирование происходит но всем					наборам			из	d касательных
векторов (Lt)„		(L2)x, .. -, (Ld x^ %(х).
	Т е о р е м а	8.2 ([114]). Пусть ^ e R 1' задано и Xi = (X(t, х, ш)) —
решение уравнения (8.10). Для е > 0 ,					U> 0,		натурального числа N
и окрестности D точки х положим **)
	ut0,x,D («) = р (фл (Х<) < е для всех					t е= [0, t0 Д т^]),				(8.21)

где TC = inf{<; Xt&D). Предположим, что мы можем выбрать отно сительно компактную окрестность D точки х и натуральное число N так, что для всякого U> 0

щ (е) =	И(0,д’,п(е) =		о(е'<)	для всех k = 1,		2 при г \0. (8.22)
Тогда для	всякого	t > 0		система	винеровских		функционалов
X(t, х, w) — (Xl(t, х, w),			X2 (t, x, w), ..., Xrt(l, x,			w))	удовлетворяет
предположению (Л.2)		и поэтому вероятность перехода
	P(t,	х,	d y ) = P(X(t,		х, w ) ^ d y )

имеет С“ -плотность p(t, х, у) относительно меры Лебега.


Для доказательства			мы воспользуемся			следующими			леммами.
Л е м м а	8.4. Пусть К > 0 и QK — множество всех положительных
квадратичных форм q(l)~ qi}VV				на Rrf	таких, что		II7I=
К. Тогда для всякого е > 0				можно найти N (К, б)				точек		{(,,} на
единичной сфере		в R*	таких, что из N(K,			г)=^ (cK/&)d~1 и				q{lk) ^
>&{q^QK,	k =	1, 2,	..., N(K, е)),		следует,		что	inf	q (l)^ e j 2 .

Здесь с — константа, зависящая только от d.

*) а = (aij), а = (aiJ).

**) В последующем P w обозначается просто через Р.

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ

335

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для q s QK и l, i 'e R 1* таких, что НЛ1= 1, имеем

\ q ( l ) - q ( l ' ) \ < 2 K \ l - l ' l

Поэтому достаточно выбрать 4 так, чтобы гаар с центром 4 и с ра

диусом е/(АК) покрывал единичную сферу.

непрерывный

Л е м м а

8.5. Пусть К > 0

X (t) — одномерный

семимартингал

X(t) = Х(0) + m(l) + Л(1)

такой, что

<m}(t) =

= Сa (s) ds,

A (t) = j P (s) ds

|a(s)|<X ,

|^(s)|sgX.

Тогда

для

не зависящую

от а, Я

всякого a >

0 можно найти константу с >

и К такую, что

Р ipа< Я) ^ е~с,,г1кх для всех

Я е

(0, аЦ2К) ,

где оа = inf { t : |Х(£)— Х(0) I >

а}.

теореме П-7.2',

существует

Д о к а з а т е л ь с т в о . * )

Согласно

одномерное

броуновское

движение b(t)

(6(0) = 0)

такое,

что

X(t)~ X(0)=b{<m>(t)) + A(t).

Так

как

{| Х (0~ Х(0) I > а) е

<= {|fe (<т> (г)) I >

а/2) U{|Л (t) I >

а/2),

то

имеем

оа^(а/2К) /\

А (о«/»/к),

где

ов / 2 = inf it;

\b{t)\> а/2).

Поэтому,

если

0 < Я <

< а/2К, то имеем

Р (Оа<

Я) <

Р (Sali <

K l) < у = =

J в - ^ Ч х <

—еа*1Юь

' “ *

а/2

Этим и завершается доказательство.

Прежде чем сформулировать следующую лемму, введем неко торые обозначения. Для конечного интервала I и квадратично ин тегрируемой функции a(s), определенной па /, мы полагаем


	<Л («) =		j- j- \| j \ а	Ф )2— fl2] d s ,
где а = j-jrj j	a{s)ds. Легко		видеть,	что ai{a1 + a ^ ^ o iia ^	+	Oj(a2).
Л е м м а	8.6. Пусть	b = (b(t))— одномерное броуновское				движе
ние. Тогда для всяких а > 0 и г > О
	р (°[п,«] Ф) < еХ			У 2 ехр		(8.23)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Без ограничения общности можем пред
положить, что 5(0) = 0.		Используем следующую хорошо			известную

*) Доказательство, в сущности, было проведено в теореме 4.2.1. Мы повто рим его в силу его важности.

336 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИА МНОГООБРАЗИЯХ

формулу разложения b(t)

в ряд Фурье:

А*

i/o

° °

(сов2яА:г—1)

(

)

sin 2я&*

’

-f 2пк-- i -- +0 \-

~ ы-+

h—l. L

где

цД — независимые

случайные величины

с одинаковым рас

пределением *)

N(0, 1)

([79], [146]). Тогда

6 (0 - ]» W* - «- 1/2)I, + У 2 | [u

+ ч, ™ |.“ 1

и так как (cos2rcA:i} и

{ ( г - 1/2),

sin2ji&f} взаимно ортогональны

S ’г([0,

1]), то имеем

o2:= o f 0il]( b ) > 2 i l / ( 2 ^ ) 3.

h—l

Поэтому для Z

> О

2z2 h— l

(e-*V)

< Е

fexp

I—

|2/(2яА-)2П =

п Е (ехр { -

z2|£/2n?fc4]) = П(1 +

Z7 JI4A?)-I/2 =

h=l

f t = l

V z/sinh

У 2 e~z/2.

Следовательно,

P (о <

e )< exp [— 2z2e2] £ (exp [— 2Z7J?]) <

V 2 exp [2z4e? — z/4]

и положив z =

1/ (16e2) получаем

Р ( о < г ) ^ / 2

exp — 2 ё J

(3.24)

\У

(8.23)

{^ = Ь (а /)| «{Ь («)},

то ао[0,,](Ь )» а [0,а](Ь). Поэтому

следует из (8.24).

8.2. Без потери общности мож

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы

но считать, что f =

l. Для каждого

д = 1, 2,

... построим

моменты

остановки

и событие Aq со следующими свойства

ми. Если положить

«!

«8> И

\/ а « ( Гу) } L ( r v) dv,

(8.25)

*) N(0, 1) обозначает нормальное распределение со средним 0 и диспер сией 1.

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛШГППИОСТИ

337

где rt =

[Х ь У (г)У“ 1( ^) ]

для

то

Ia(q (iv) - 1

J ^

2 дс,

если

ш ф Ад,

(8.26)

Р (Ад) <

Щ,2 (2~3) + 2е9е -'’*.

(8.27)

Здесь с

и с' — положительные константы,

не зависящие от д. Что

бы сделать это, положим (обозначая е9 = 2 ~я

tq=

{inf

тD,

(Х() >

ед|,

(8.28)

VI,

если {

} =

, _

(inf

* о < £ <

1»

<Py(x i) =

e9+i),

(8.29)

[l,

если {

} = 0 ,

tl = (f3 +

2eg) Д 1.

(8.30)

Выберем относительно

компактную

открытую

область It

G L ( Rd), содержащую*)

{ ( i , / ) ; i s p )

и положим

4 - U? = l) U (<S<1, Г -^<2е® 1

U U?< 1,

*2 —*0< 2еЗ), (8.31)

гд е

~ = linf U;

f < 1 ,

rt (£ R }x

U, если {

} =

0 .

Согласно лемме 8.5, найдется**)

Ci такое, что

7>(f3< l ,

Т — £3<

< C ^ )< e-Cl^ и P (tq< l i t tl — £3 <

< exp {—c^EglX)

длявсех?,е

e (0, сге9]. Поэтому

P W

<1 “ 1 / 2

(£g) +

2 exp {— cx/2eg}.

(8.32)

Положим

К = sup { J / L (r) 'j, 1 AfL(r) l|;

(8.33)

где ***) A = — ^

+ A0 n A0 (x) =

bl(x) -^т.

Заметим,

что если

“ L - x

dx%

w (£Aq, т о г ге / 7

для

( e

[i3, £3]

и,

следовательно,

/ ь (п )

A/x,(rt) ограничены no норме числом A-.

*) / = (6j), a I) — замыкание D.

**)

В последующем

с,,

c2, . . . — положительные

константы,

не завися

щие от q.

***)

См. § 2 для определения Аа.

22 с. Ватаиабо, Н. Нкэда

338 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Если w ф. Ад, то

fpjY (X,) ds > е£,

(8.34)

иположим*)

где eq— \ll, i?]. Пусть i e R 1, Hfll =

I j ( u ’ , l ) =

[Wi.(r,)1*<fc,

1< /< X .

(8.35)

i„ t3Ii

Согласно

(8.34) можем

заключить,

что

существует

константа **)'

с,(Х ) такая, что

2 ^ К 0 > С! (Х)е$,

к; ^ Ад.

(8.36)

Это основано на следующем общем

факте. Если

...,

таковы, что

Ill'll < X,

то

(det(6l,S*, . . . , Л и) Г - < с 2 ( К

) ^ ( l - V f .

i-~-1

Действительно, мы можем

предположить,

что

линейно независи-

мы. Тогда

можем

написать I =

оц£\

ГДе ai =

с1(/ и ( с)) — об-

i--i

j —1

ратная

(£)),

(£]))

матрица.

Следовательно,

|с]|<:

^ |det (|j) |-1с;, (X)

и поэтому

|а г |<

|dot (|)) |_I с4 (X).

Так как

то это доказывает требуемое утверждение.
Полагая с3 = c2 (K)/N из (8.36)						можно заключить, что
если w		^ A	' g , то	существует такое jo = j o ( w ) , что 1 < / 0< Х и
				1 j0 («>. 1	>	сзеч > сз4-		(8-37)
Пусть
Л 1 $ } (0 =		А я	П	1 ) > с 3 г д } \	П	(7j —1 (к;, / ) < c 3e f J),
						5 < р ;,	2 < / < Х .	(8.38)
Мы покажем, что найдутся q„ и с4 такие, что
			р	(0 ) <		«Г*' ехР ( —	1)	(8-39)
*)	l»fb — скалярное произведение I и //..						константы, зависящие
**)	В последующем			с ,(К), с2( К ) — положительные			константы, зависящие
только от К.

				§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ							339
дли	всех	д, /,	Р,	и	I,	удовлетворяющих условиям				q > go, ИZ И= 1,
1 eg /	iV и		5.
Для доказательства этой оценки, положим
					Yu(s) — l-ju (r(s)),
Согласно		(2.36),
Yu (t) -		Yu (ti) =		\l-f[Aa,u] Cr(s))°dw*(sy+ f b /[^ 0,t7] ( r(s))ds ^
				*5						t
										t
								=	mu (t) +	f c (s) ds,	(8.40)
где mv (t) — мартипгальная часть. Далее
					I	j>			J
		{mu'} (t) =			j	S	(Z-/\|Aa,uj)2 ( г («)) ds: = j p0' («) ds.				(8.41)
					» a ~ l
Зафиксируем			w e		Л,с f\|		IZj (u->, Z) >	c:je^ \|.	Отметим сначала, что
^(sJssA^r и \|c(s)\|							для всякого s e e ,,		Так как
					I} {w, Z) = f 2			Po {s) ds,
							ea	J 1

то найдется £/0^ 2,_, со свойством

j ри# (s) d * > c 8ejz. ea

Разделим интервал e, на e^_Pi = 2^P-'~,:I) равных интервалов. Тогда существует хотя бы один такой интервал, скажем, eq, такой, что

	§Vm0 (8)d8 > c/ * > -\				(8.42)
Согласно теореме	II—7.2',	найдется	броуновское движение		B(t)
такое, что В(0 ) = Yu (to)		и
	Yu0 (t) =	B({mUo>(t))+ j c(s)ds.			(8.43)
Положив			is
Положив			<mt/0>	’(*)
			<mt/0>	’(*)
e'q =	{тиоУ{e'q) и G(s) =.		J	c(f)dZ,

С и .)-1!'?)

22*

340 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

будем иметь

j|Yvt (*)

У\(s) \^и0 (s) ds = -y \ \ B (s) + G(s) \4s

для w e Aq f|

\Ij(w, l ) ^ c 3eqJ}.

Обозначая e"q

через

[A,0,

Xi], мы

полагаем eq=

[A,0, A,0 + c5e ^

]. Тогда из (8.42)

следует, что

е\ =э е

и, следовательно,

J|Уи0 (s) Isds > -i-2 J I в (s) +

G(s) 14 s ;

L±! <4 [B + G )> L^l (o

(5) _

(G))i.

(8.44)

pi-K i |{/«Ho)-1 (eq) f |S' |

°h (G) < rh f(G (S) -

G(\0 У ds<

eq\K

< К г<mn0>|-1

{e q) *=I

Ю |eq.*|

(8.45)

Если, кроме того,

предположить,

что

w удовлетворяет

условию

о~ (В) ^2K\e'ql то, согласно

(8.44)

(8.45),

j |Yv0 (s) l2 dS > ^ { 2 K \ e q\ - K \ e q\У =

I ~

| I

' l->

= -7

4 P j “ 9

4py*

—.

= 7

IKq I

^ csEq *

?^ По

следовательно,

(IP, Z) >

f I Yu0 (s) Isd.9 >

c3e f

Таким образом, мы доказали следующее включение*)

4,р. (/) с= Aq' П {/,- (И/, I) > C3P^j П

{ojj {Щ < 2 К

1) с

с Л СП {h («% I) >

c3eSj}

П |о~ (5) <

(8-46)

р,

*) При предположении и> <=£ |eq | 2е® и поэтому |<?' |= 2еч3_а.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4534 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб4Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб18Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб1Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб2Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf