Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4541 42 43 44 45 > Следующая >>>

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ			т

где опять о(1) О	равномерно по	tiе [О, Т]. Наконец, согласно*
(7.53), (7.58), (7.59) и (7.73), имеем		*1
Я Гsup \X6(t, w) -
	X (t, w)\]^K3A E[\X6{s,w)-X(s,w)\]ds+o(l).
	J	0	(7.74>

Как и выше, o (l)	0 равномерно по	^ [9, Т]. Соотношение (7.46)

тогда получается из (7.74) посредством стандартного рассуждения. Этим завершается доказательство.

З а м е ч а н и е 7.1. Если векторные поля А „ А2, ..., АТкоммута тивны, т. е. [Ап, Ат] = 0 для п, т — 1, 2, ..., г, то, как показываеттеорема 7.2, предельный процесс для (Х«(£, w)) не зависит от вы бора аппроксимации {Bt(t, w)}. Это в данном случае видно и непо

средственно,	если мы заметим, что Х(-,	w) — непрерывный фупкцио-
пал на W j	в силу результата Досса	(пример 2.2,		§ 2 гл. III).
Если, однако, A it А2, ..., АТне коммутативны, то Х(*,				w) не непре
рывно на Wo и предельные процессы		для	(•, w)	управляются

посредством {Si,}. Для кусочно-линейных аппроксимаций или аппрок симации посредством сглаживания имеем si}—0 и, таким образом, предельный процесс является решепием стохастического дифферен циального уравнения, соответствующего векторным полям A t, А2, __

. . Ат и Ао в смысле определения из § 1 гл. V.

З а м е ч а н и е 7.2. В доказательстве теоремы 7.2 мы фактически

показали, что
lim su p E l sup	\|X&(t, x, w) — X(t, x, и?)\|г1 = 0.	(7.75)-
0 xSRd	J

В последующем изложении мы ограничимся классом кусочно* липейных аппроксимаций. Вопрос о перенесении последующих ре зультатов на случай с более общим классом аппроксимаций остает

ся открытым. Будем предполагать, что коэффициенты ah и 6’’ век торных полей Ао, А и . .., Аг принадлежат классу С“ и ограничены вместе со своими производными всех порядков. В дальнейшем рас смотрении выражения, содержащие коэффициенты Ъ\ не вызывают затруднений и поэтому, ради простоты изложения, будем предпола гать, что Ао — 0. Таким образом, мы рассматриваем стохастическоедифференциальное уравнение *)

	dX(t) = o(X(t))odw(t).				(7.76>
Также, полагая для каждого п = 1, 2, . . .
Wn(t) = 4 ( Ч г -	* М » ) + (* - тг) w ( п г 1)]*
___________________	если — <1 f sgC			/ =	0 , 1 , . . . »
___________________	п	^	п	1	•	*

*) Ниже мы будем пользоваться матричными обозначениями; в частности,

с== (ffa) и w = (“")•

26 с. Ватанабэ, Н. Икэда

402	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
будем рассматривать			следующее		обыкновенное		дифференциальное
уравнение:
			dt						(7.77)
			dt
Решения уравнений			(7.76)	и (7.77) с начальным значением i e R j
обозначаются через X(t, х, w) и Xn(t, х, w),						соответственно.
Л ем м а	7.2. Пусть Т и N — произвольные						заданные		положи
тельные постоянные. Тогда
		sup sup Е Гsup (IDaXn(s, х, w) \|Р1< oo							(7.78)
		\|sc\|«JV	n			J
для всяких		2 и мультииндекса a.				случай а = (0, 0, ...
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала					рассмотрим	случай а = (0, 0, ...
__ , 0), т. е. DaXn — X„. Обозначим Ahw = w								— и7( т ) ' ^ ог-
к ^	t	к-f~ 1
да, если — ^	t	------ , то
п		п
				t
X n(t, X, w) — Xn			X, wj = J o(X n(s, X, w))Ahwdsn<=
				h/n
		== a (x n		x, u?)) Ahum			+
			t
			+ j* [o (Z . (s, x, w)) — a					x, wj j	ds Ahw n
и поэтому
		[nf]-l
X n (t, x, w) — x = 2			CT(^ » ( T ’ x' “vj ^hW+
[nf]— 1 (^"Н-)/п _
k=0		k/n						ds AhW n +
k=0		k/n
	+	a (x „	(1^1, * ,u ;))A [nJ]U, ( i - 1^.1) « .					+
	+	'						+

J \|a(Xn(s, X, w)) — О ( x n	xy ivjj ] ds A[„t]U; n =
Inf]/»
	= (0 + I* (0 + h W + Л (0*

	§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ	403
Согласно теореме III — 3.1,		*)
		*)
Е\ sup	т т к * - ( т . * - ) ) г П	n -p/2 <
	т т к * - ( т . * - ) ) г П

= £ , < o o .

лтому же

Ш\ sup

| /,(«)lpl <

L0-4KT

[»<]—1 (fc+3)/»

[o(Xn(s,Ж, U7)>—

Гр-1ир_1£

sup

Lo<t<T

fe=o

k/nI

jnp

-a(*„(£,

JP-V1#

Г[ n T ] - l I (k+l)/n r

СТ(Х„($,Ж w))

*=o

A/n

||p"i

— o ( x n ^ ,

x, wj^jdsAftW L p

< Г «,- 11гр- 11гр1г-(р- ,)

| n T ] - l

№ + i)/n

[| [a (Xn{s, x,

w)) -

b=U

k/n

[ п Г ] - 1 (fc + l)/n

jXn(s,

4 1

k = 0

h/n

I ll

,ч

InT]-1

< K 3n2p

I Aftu>lp U s <

h—o

ft/n

l.IU /n

[ п Г ] - ! (h - f l) /n

I[7 J

М>)) II11Ahw \du

IA kwf

ds <

< K 3n2p

k/nI 41L\k/n 1

fc=0

• ]

[nT]-! (fe+1)/«

— —у

oHI

) <

< i i > 2p

re ]

fc=0

k/n

£ > 2pnn~(p+IV p = K b<

oo.

jf.

_положительные постоянные, не зависящие от re и х.

то

**)

Вообще!

если А,, Аг

...,

Ак —матрицы

одного и

того же

типа,

k '

. h

< ( S H J < * р- , 2 | 4 Г -

§ / •

\ i=l

i=l

404			ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
Что касается />(£), то
е \ sup		]]/3(г)!Р1 < я [				sup	а ( х п		х, u;')') A[ni]u>\| <
Lo<t«T				J	Loci^r		\	\	/ /	II
					sup lA [ni]u ;f			< K 6E	max l!Aftu ? f l<
					OCi«T				o^h<[nT]	J
			■	<	[nГ]
			■	<	£ „ 2	E[\\ A hw f ] < K 7 ([nT] + 1) n~p/2 < K 8< oo.
					k—o
Наконец, как и при оценивании h{t),
Е\ sup		ii/4( * ) f ] <
0«t<T
L»	“
						sup	j	(cr (X„ (s, X, w)) —
						0<i<r [■n t y n
			— a ^Xn(^-1, x, w'j'jj A[„4 ]UJ\|P dsj npri
		([ni]+l)/n
< E	sup		f		\a(Xn(s,x,w)) — а (х п(1^,ж , u?))					A[n(]w fds n
		[nT]		r(ft+i)/n						-j
	K »n 2		E	L	j	j x n(s>x, w) — X n			X, w) \|P 1Akw f ds <
		л=о		L	kin					J

< K iQn '~ > ^ K la< o o .

Следовательно, мы получили оценку
		Я Г sup	\| Хп(i, х, w) f 1 <			К и (1 +		\|ж \|p).	(7.79)
		[0 « i« T			J
Таким образом, для a = (0 , 0,					..., 0)	соотношение (7.78)			доказано.
	Далее, рассмотрим случай с производными							первого	порядка.
Полагая		Y „ (f, х, w) =		Xln(t, х, wfj			и Da =	o«jt	будем
иметь *)				t
				t
	Y n (t, xt w) = I +			j Da (Xn(s, xt w)) Yn(s, x%w) wn(s) ds.
	*) Мы пользуемся следующими обозначениями: для							А =• (aj a), В = (&))
■	С = (с“ ),	ЛВС = (d j),	где	dj = 2	akia $ ca'		Легко видеть, что		\\АВС\\ ^
<	ЦЛ1111ВШ1С1, где М 1 =		^ 2	I 4 a t 2j 1/a*

					§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ						405
Поэтому					["О-1	(	I	\\	,	.
Tn{t, х, w) — / =					["О-1	(	I	\\	,	.
Tn{t, х, w) — / =					2 D o [x n[^, х, w]JYn[ —, х, wjAhw +
		["0-1 (ft+i)/n							.
	+		2	J	[n a (X n(s, x, w)) — Л ст(А Ц -, x, w						ds X
			^=0	fe/n
					X Yn{^, x, u;j Ahwn +
4	[ n t j - i t f + l ) / "									( k	\\
4	2		J	Do{Xn(s,x,w))\Yn{s ,x ,w )--Y n[—,x,wjjdsAkWn +
	k=0		ft/n
	f	+ Da [Xn (пг> x’ w)) Yn (^T> x'								( f — i r ) +
	f
4-	j	j^Z)a(Xn(s, ж, u?)) — D o {x J ^ l, x, w jjjds Y n[ ^ j									x, wjAkwn +
	[ n t ] / n
		t
	4-	J	Do(Xn(s, x, w))^Yn(s, x, w) — Yn { ^ - , ж* u ;)) dsAftu>n =
	[nij/n
					=	^l([)	+	/j( [ ) +	/j( [ ) +	/ 4([) + / j ( [ ) + / 6 (0*
Пусть t,. e [О, Г]. Согласно теореме III — 3.1,
E	sup		1\|.M *) If] <

-flntl]~1				/ ,	\ \
K lnE	2	P	F -	u * * * w) )
L\	ft=o	1	4
	< K 13E		r /lnii]-i
	< K 13E		. 2	M	f *
			h=0

2	/ _	\	n~v!2<
Y n		, ж, u;J	n~v!2<
		7	J
	, P /2n
. w		n~p/2 <

lnfll-l	,	1
2	E[\Y n[ t , x , w	< K U \E { sup	1 Y „(s, Ж* U7)lpVft.
h—0		о	)
			(7.80)

Что касается Jz(t), то:

£sup \\/2( 0 f l =

(Kf-S^ J

\| [n i]—1 (S + l ) /«	j.
[sup j 2	\E>o { X n {s, x, »))

o < t < t 1 1 k = o

b ) n

406	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
	— Do ^Хп	х, w'j^dsYn	X, ivj Ahw np<

(ft-rl)/n

V p- ’£	sup
— Do ( x n	x, w
	[nfll-l
< Г р“ 1/г2р- 1	2
	h=o

21	J	Do (Xn (s, x, w)) -
ft=o	k/n

	dsYr (-£> x, w) Afew
E	(fc+l)/n,
	J	Do {Xn(s, a:, w))
	.f	^
	kt'/nj

— Do [ x n

x, w) j jds Y n

x, wj AftU;

[« .] - ! < r P-lra2„-ln-(P-1) 2

k=Q

№+!>/»	r,. ,
j	E l\|lz)o(Xn(*,®,ii7))-
ъinh/n

■D o { x n { j ^ ,

AfeW

ds <gC

(ft+D/n

K lsnp

E j

(s>

“0 —

(jp

*> W

k— O

h/n

Yn[—,x ,w j

1 Akw1|

[ n t ] ] - l

(ft+ 1 ) /n

о- (Xn(и, лг, и;)) Afta;

^15^2P

k—0

fc/n

ft/n

X |x n ^

, x, wj jP IIAkivt

[nt.]-! (h+1)/"

- - ) p d s £

< * 1 в « ,Р

У «(4 » *> w)nAftU7f

k—=0

k/n

и /

[nijJt { ] --\l (ft-|l)/n-

^xe«2p

(

- ^

)

р ^

[

| ^

( ^ ^

^ ) Г

] ^ [ « д ^ г

k=0

ft/n

[ n

i l ] - !

<АГ17п,ар|Г(р+1)|Гр

'" f e ’ 1- " ’) ! ' ] -

h = 0

[ntll-l

Yn[—,x ,w I

sup |yn(s, a:, w)f dt.

= ^ 17n_ i

ft—0

<£i

(7.81)

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

407

Для /з(г):

■

Е\ sup. H/S( i ) f = E sup	2	Da (Xn(s, X , w)) Yn(s, x, w)—
0	‘ = 0 kin	V
-

M b

[ntjJ-Kft+D/n ,

		Tv~lnv 2				j	E	I Da (Xn(s, x, w)) If I Yn(s, ж, w)
					b=0	ft/n		L		“
						Yn[lE,x, w^j\|P\|Aftu;\|p ds :
					(fc+O/n
	<	Z 18np			2	j*	E \|\| Y n(s, ж, u;) — Y n^			, x, wj	\Ahwf j ds.
					k — O	k / n
											(7.82)
„	к		~	^	к-f- 1
Если — ^				s ^	—2—, TO
	n	^			ra
\|yn(s, x, w) —
					в
					C Do (Xn (u, ж, u;)) Y n (м, ж , W) Akwdu ra2<
					k / n				«	Ц
					«				«
	<	n21AhwIf j				IDo (Xn(u, x, u;))\|2du j \|\|Y« (u, x, w) f					du <
					k / n				k / n
				<	K^n* 1A^W2 (s — 4 )				f 11Y * (ц>x’ w) ll2 du <
									k / n
	<Z20{llAbu;ll2\|yn(^, ж, u>)[ + n\\Akw f j									Yn(u, x, w) —
									k / n
										Y n l K x , U,V du\
Йз этого неравенства получаем следующую оценку:
	Yn{s, х, w) — У „ у					•, ж, u>		<	X , wj 4exp \|tf20re \\Akw\* («—•£)}
					К 2oil Ahw f			Уя(•£,	X , wj 4exp \|tf20re \\Akw\* («—•£)}

408

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

и, следовательно,

Yn(s, х, w) — Y n [ —, х, w ^ <

< K 2l\Ahw f

Yn( 4 , x, u;) Г exp {K.i2i Ahwf} .

(7.83)

Подставляя (7.83) в (7.82), получаем

E \ sup

j / 8( o r ] <

K23npn

1 2

E [I Yn (-p

x, u?) P

E [|Akw|2p exp {K22 \Akwf } ] <

k—0

K u -i 2Д Ц y „ ( 4 , *, u;)|P] < K2^ E ^sup( II y n (st X, u>) f j df,

(7.84)

поскольку

[ft

f P exp {K221 Apwf } ] =

(2л 4 )~ Г/2 |* |2p exp [К221* j* -

-J

I * I1} *r < K 2bn~p

для достаточно больших n.

/ 4(f)

оценивается таким образом:

£ [ sup

I / 4 (*) If

sup

x, ivjj Yn

x, w'j n (t — ^ j ‘A[n;]a;

I Y n (

a:, иЛ P |A[ni]u; f 1 <

Ktjl

[«ij]

< K 2* 2

[ l Y n (-^ ,x,

P||Aftu ;f l <

fe=0

1.1

lnh]

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

409

В случае 7S(£), поступая так же, как и при оценивании / 2(0> по лучаем

Еsup 1!/6(г)Г]<

< К м п Е

sup

|x„(s,х, w) — Хп

V ”

х, iff)

dsX.

0<t<t4 n ty i

[ n t x ]

х Y n { ^ § , x, u;)||Pl Afelp f l

E ( | У »(■“ .•*» IT

k = 0

< Я 3о Ш-р

sup IYn(s, я,и>)||5'Jd* + п~ре [\у п ^

- , х, w

j*[

0<s<i

L°

(7.86)

Что касается 7,(f), то, как и в случае 7S (f), находим, что

Е\ sup II/в(0|Г1<

[nf,](ft+t)/n

^'[||irn(s, ж, и^) —

Ж, IPH|lAh«;fjd*<

fc- 0

k/n

[ГС!,]

< KMn-v 2

E [ \Yn ( A., *, u;) f 1 <

k—0

1 J

ni-p Ц E ^sup^i Yn(s, x, u?)f dt + n~pE [

ж>“^Ц ] j

(7.87)

Комбинируя

(7.80),

(7.81),

(7.84),

(7.85),

(7.86)

(7.87)

заклю

чаем, что

Е Г sup

II Yn {t, X, w) f ] <

к зя \1 +

f E f sup |Yn (S, x, w) fl dA

' 0

Применяя стандартный метод усечения, из этого неравенства вы водится

Е sup \Yn(t,x ,w )f ^ К 33ек™т.	(7.88)
0«!-<Г

Таким образом, (7.78) доказано для всякого а такого, что*) |al = 1.

*) Фактически, было доказано, что sup можно заменить на sup.

|*|CiV

410	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
Теперь	обратимся				к случаю	1ctI = 2 . Сначала заметим,			что если
к/п< t < (к +		1)/тг,		то
	Е [ I Хп (t, х, w ) - X n [ ± , х, w) \|Р ] <							Ksln~p/i	■(7.89)
и, также в силу (7.83) и (7.88),
	Е [ IYn(t, x , w ) - Y n(-^,x, w)\|\|P] <							Кгъп~р1\	(7.90)
Положим YY(V (t, x, w) = - a						X nl (t, x, w).	Тогда *)
	2				дх^дх2
Yiidl (*> ж, u?) =		2		2	^ o'a(Xn(s, x, w))lk Yj'W (s, x, w) u;“ (s) ds +
		k = i a = i			Jj	1	*
+	d	r	Г	„			iv)1- Yn (s, x, w)’,, v% (s) ds.
+	2	2	-	<a(» (s, X , iv))l, Yn(s, X ,			iv)1- Yn (s, x, w)’,, v% (s) ds.
k. /= 1 nr»1			-				1

Обозначим второй член в правой части равенства через a„(t, х, w). Тогда

		d	г
ССп {t} Х9 U?) = 2				2	j		•+	J	•	=
		h,l= i a = i		. 0	m / n			[ n t V n	J
						d		r
					=	2	2	(H1	(C A, l, a) +		H2 (t\ k, l, a)),
		[п<1—1				h,I=l a=i
		[п<1—1
H1(t;k,l, a) =			2 oa(x J ^ ,x ,w y jk Y n(^,x,w ^ .Y n(^,x,wj' Amu;a+
		m =o
	[ п П - l ( w + l ) / n
+	2	j	[<Ta(Xn(s, ®, »))£ ,— a"Axn [ ^ , x ,								dsx
	m=o	m / n
				X Y n { r ’ Ж>							+
	[ n ( ] - i ( m + l ) / n
+	2	)	Oa(^n (S, ®» U?))			Yn(s, x, wfh — Yn[ ^ ,x , w)_ U s X
	m=o	•									/?iJ
		m/n
							X Y'n — , x, w . Amwan +
									11	h2

(x).

d x h d x l

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4541 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб4Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб18Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб1Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб2Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf