книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

301

<2-1

<2-1

(1)" 0 на

д£>.

ч

- f

, 2 “ " <*>н

р

<*> +

2

р1<*> $

(*> +

#

2=1

(6.46)

Положим

2

Z

=

(s ^

0; X (s) е

5£)}„

(6.47)

Так

как

J /аи (X (s)) ds =

0

и. н., то 2Z имеет

п. н. лебегову

меру

о

где

еа = {1а,

га) — взаимно

непересекающиеся

О и (0 ,о о )\ ^ = [)еа,

экскурсии, а часть

{X(t), t ^ e a) называется экскурсией

процесса

X(t).

Пусть

A (t) — непрерывная

справа

фупкция,

обратная

к

Положим*)

D =

{s e [0 ,

оо);

A (s) — A (s—) > 0).

Тогда

легко видеть, что совокупность интервалов

экскурсий

совпадает

с

множеством интервалов

{ ( Л ( ц — ),

А(и)), n e D I .

Пусть &~t—по­

полнение о-поля a[X(u), В(и),

и

пусть g(s) —

-вполне

измеримый процесс такой, что

s >-* Е [g (s)2]

ограничено па каждом

конечном интервале. Тогда

Y k (t) =

2

является

непре-

j g(s)

(s)

рывным iFt - мартингалом. Для

0

интервала

экскурсии

каждого

ва = (^оЕ)

fa)

5

g (s) dB\{s) = Y h( r M

- Y h{laAt)

•аГ1[0,2]

по определению. Этот интеграл также обозначается через

A ( u ) \ t

j

g (s) dBh(s),:

если

ea =

(A (u —), A (u)).

A (u —) Д2

Т е о р е м а

6.6. (I) Имеет место формула

E ( 2

A (u ) Д2

J

g(s)dBk(s)

M

g (s)2 ds

\ u = D L A ( u - ) A 2

k =

1, 2, . . . ,

r,

t^ O ,

(6.48)

A (v )\t

2 *

J

g(s) dBk(s) =

(s) dBk(a) + j

g (s)

dcp(a),

vsD' A(u-)At

о

0

“

S"

k =

1, 2,

t > 0 .

(6.49)

А(и)Д<

Здесь 2 *

j"

определяется как предел no

вероятности конеч-

“ s D

A(u-)f\t

A(u)At

ной

суммы

2

I

тогда и только тогда, когда этот

•USD

А ( и ) ~ А ( и —)> е

А(«-)Д<

предел существует.

Дадим сначала

доказательство в

частном

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(а)

Случай отраженного броуновского движения,

т. е. случай

Oft (х) =

6ft с г — d, b(х) = 0 ,

т (х) =

0 и [}(х) = 0.

ф(£))

определяется

В этом случае

система

3t(£) = (X(£), 5(f),

посредством уравнения

Х г (t) =

X* (0) +

В{ (t),

i = 1,2, . .

d — 1,

Пусть пространства траекторий W (D), 7f(D), Жй{В),

соответ­

ствующие о-поля

^ (W (D)),

3S{W(D)),

3&(Ж0(О))

и a-копечпая

мера n на (W0{D), ЗВ(Ж0(/d)))

определены также, как и в гл. IV,

§ 7.

Положим Dp = {ne(0,

°о);

А (и) — А {и—) > 0} = D\{0)

и

для

tte D p

fX (t + {А(и—))—X (А (и—)),

0^Lt^LA(u) —A(u—): =о[р(и)],

Р ^

= |Х (А {и)) - Х { А ( и - ) ) ,

t >

А (и) - А (и - ) .

Мы знаем, что

р: Dp э и

р (и) е

Ж 0 {D)

является (^"t) 'CTa"

циопарным

пуассоповским

точечным

процессом,

на

(Ж„ (D),

33(7fa{D)))

с характеристической

мерой

п,

где

^ A(D- Пусть

пг, %^D, является мерой па Ж{Б),

полученной из

меры

п

при

отображении*) w<-+c,+ w. Введем следующие обозначения:

рд W ( D ) W (D)

определяется равенством

(ptw)(s) =

w(t f\s)

(6.51)

(iостановленная траектория),

0,: W(Z))

W(D)

определяется равенством (0,ш) (а)= w(t + а)

(6.52)

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

303

а(ш) = inf {t > 0; w(t)^dD}

(6.54)

Е [ 2

Z (s)f(A (s—), PA(S-)-^, Рао[вА(8-)-^1)] =

(s < i,s S D p

J

=

E \\Z {8) Г J

f(A(s)l9Ms)X ,w )n x^ ( d w )

ds] .

(6.55)

lo

3T(D)

Доказательство следует непосредственно из того факта, что сум­

ма под знаком математического ожидапия в левой

части пи что

иное, как

j

f

z 00/ {A (s —). PA(S-)X•X И (s —))+ w) X p(dsdw)

о F V ® )

(см. § 3 гл. II).

(6.55)

полу­

Посредством случайной замены времени t >-►ф(t) в

чается

э к с к у р с и и .

Пусть

Z(s)— (^'t) -вполне

В т о р а я ф о р м у л а

измеримый неотрицательный процесс, a f(s, w, ц?')

такая же функ­

ция, как и выше. Тогда

£ { . « P(O L D

Z {А{S_ ) ) 1

{SН

’ рА (-)Х) Реп[<W -)X])| =

=

£ H Z ( s ) f

f

n s , PsX,w )nx^(dw)\d<?(s)}.

(6.56)

lo

L ^ D)

J

J

Пусть т(£) определяется равепством

(6.24). Положим в (6.56)*)

/ (s,

w,w') — S(t

s, s, in, in') I(0(№')>i_S);

тогда имеет место

у х о д а .

Пусть

Z(s) — (3~t) -вполне

Ф о р м у л а п о с л е д н е г о

измеримый неотрицательный

процесс и g(s, s ',

ш,

in ')— неотрица­

тельная борелевская функция

на (0,

°°)Х (0, ° o ) X W (D)XW (D ).

= £

l z

(s) f

(

g{t — s, s,psX, w ) / {a(u,)> , _ s)« X(s)(d u ;)ld (p (s )L

(6 .5 7 )

'•

(ЗГ(О)

J

J

Для

каждых

i = l, 2, ...,

г и t,>0,

w^t + to)—w*(tn

явля­

ется

непрерывным

$f+t0(^(Z?))- мартингалом

относительно*)

nl ('\o(w)>tt). Следовательно, для любого

фР(Щ)-вполне

изме­

римого процесса Ф(в, w)

такого, что

Г®<»Ш

1

I

|Ф (s, w) р ds

n\dw) <

оо для каждого

t >» 0

зг(°) L

•

можем определить стохастический интеграл

<Да(ю)

j

Ф (s, w) dwi (s).

Легко видеть, что

t/\a(w

t Aa(to)

lim

|

Ф (s,w)dwl(s)~

j

Ф (s, w) dw' (s)

*0*0

t0J\0(w

0

существует в 2 >Z(W(D)1nl),

I ЛАо(»)

_

A

Г (До(и>)

-J

J

]

® ( s ,

w)dw{ (s)

n} (dw) —

)

| Ф (s, w)* ds I

(dw)

3T(D))L\

0

J

jr‘(D) L o

J

(6.58)

и для любой

3$i

(Ж

(D))- измеримой случайной величины Il(w) в

^ 2(Г(£>), пЕ)

I

I |ф (s>w) dw1(s)l II (w)

(dw) =

j

I |ф(я, w)dwl(s) |Я(и>)и5(сйо),

JfWLo

J

3T(D)LO

J

t >

t0.

(6.59)

Докажем (6.48). Без ограничения общности можем

предполо­

жить,

что

Х(и)

задается в

каноническом виде,

т.

е.

Х(и, w) =

= w(u), we=\V(D). Пусть

g(s)=g(s,

w)

является

(J?((W (D )))-

вполпе измеримым процессом таким, что функция

&►-*■ E (g ($)2) ог­

раничена

па

каждом

копечном интервале. Для

заданпых

s > 0,

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

305

Пусть t >

0 задано и фиксировано. Положим

(i-s )A a (w ')

А ($>

w') = !

j

Ф*, (и, w, w') dw'г (и)

,

О

(6.62)

о,

о

I

t<Zs

в том же смысле, что и выше. В силу

(6.58),

( /[ (s, гг, w') nw{s) (dw') =

ar(D)

■(a(u!')+s)A<

nw(s)(dw'),

если xv(s) = w' (0),:

a

-

1

g (и,

К

ir']s)2 du

3 T (D )

®д«

0,

в противном

случае.

Из определения яспо, что

f[(A (s —), PA(S-),

X,POD [9A(S-)x D =

/

A(s)\t

Y

/ A(s)Ai

Y

=

J

g (u )d X > )

=

j

g (u) dB{(u)) .

(6.63)

' A(s—)Д<

/

\ A (s -)A «

/

Согласно формуле экскурсии и (6.62),

(

А«)

л(ОДАг

J

g(u)dBl(«)

=

А(«-)дг

faДг

\

I

i

Г (а(и>')+*)Д ‘

rett(s)(dir')

= е \ f

g(u)4u\+ Е

j’dcp(s) J

j

g(u,[w,w']s 4u

l о

J

lo

y(D)L «Д*

-

fa A t

^

/

'

A (s)\t

1

+ g (u)2Я du

ЯI v

|(

«en .

д/-_ \

I

se D p ,* < (f(0 A (s - )

,0

§ 6. СЛУЧАЙ с ГРАНИЧИВШИ УСЛОВИЯМИ

307

Тоеда р5-*— марковская

мера

на Ж(В), сосредоточенная на

(w е W (D ) ; w(0 )= | , o (w )> t }

такая, что

{ш; w (tj) «= Еу, w (t2 s

E2, ... ,w (t„) <= En} =

= | dxx Jdx2 ... J

(tu Ху) П P {ti, хй ii-м, xi+1)

(6.68)

E !

E 2

E „

i= i

Зля 0 < tt <

t2 < ... <

t„ < t и Ei& 38(D). В

вышеприведенном

со­

отношении

Kl (s,x) =

K~'r (s, x — |)h(t — s, x)

s > 0,

x<=D,

K(t)

о

p(s, x; u, y) =

h (t - и,

у)

Q

0 <

s < и < t, x, у e

h (l — s , x ) E

(u — s, X, y),

D,

j> (s,

ca

h (s, x) =

^7= ]

elp{ - i} j 4

и

D

0

Д (0

=

f « + (tI *)da: -

Л

D

где K+(t, x)

и p°(t, x, у)

определяются так же, как и в гл. IV,

§ 7.

Доказательство леммы легко следует из свойств меры п.

С л е д с т в и е . Процесс

*

bd(s) = wd(s)— j

A(t, и, w(u))du

(0< l s < t )

0

j exp{-2TT=T)}dt)

Л е м м а

6.9.

Пусть

g (s )~ ограниченный

Ш,(\\(0)))-вполне

измеримый процесс. Тогда для фиксированных

s, w ^ W (D ) и лю­

бых е 3*

е' >

0

р/

f j

Ф ? (“ »

» ') diy'd («) Ло(»')>в)П"(*) (dir') <

( | / * - | + 1) 1glU

(6.70)

ede ! g |* — sup |g(n, w) (,

а Фв определяется равенством (6.60).

308

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно следствию к лемме 6.8,

j

]

(и, w, w') dwd (и)

Ло(«c')>e>^,0(S) (dw') ^

JT(D)

о

( 8f

<

I

| j Ф*g ( u , w , w ' ) d b d (u)

^ ’e (dw’) n ' « s)(e(w ’) >

z) +

ar’(D) I о

' 8'

J

j j

|Ф ,* ( и 1и > ,и ;')4 (в ,и ,

H

) | d J

^

(S)’6(du;' ) и№(8)

IF’(D) lo

J

< | S | , e ' . / = y ^

+

l s U < (

/

I

+ 1 ) , sU>

где мы воспользовались следующими фактами:

«

Ч

°

И

> x)dx*=е ) =У

[

я

+

(е,

\А (е, и, w(u))du

И*’8 {dw) п1(о (w) >

е ) <

yp(D) L о

j

j А (e, и, w(u))du

(xs,E(dw) n£ (a (w) > e )

=

W(O) Lo

J

=

(

Wd (e) nl (dw) = J *dK+ ( e , x - t ) d x

= 1.

)T(D)

Пусть

теперь

g(s)— {$, (W (D) )} — вполне

измеримый

процесс

такой, что функция

s<-+ b(g (sf)

ограничена

на

каждом

ограни­

ченном интервале. Введем следующие обозначения:

s e(t)=

2

A(s)\t

(6.71)

A(e)-A(e-)>e

t

г

Го(ш')Л((-«)

s

-I

Y e(t) = ]d<f(s)

j

j

Ф

> ,

w, w') dwd(u) h a w ^S n ^’^dw') ,

0

Lr(D)i

0

)

J

(6.72)

Me(t) =

St( t ) - Y . ( t ) .

(6.73)