книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Под математической структурой в широком смысле понимают любую . совокупность.абстрактных объектов (независимо от их природы), связанных между собой какими-либо соотношениями четкого логического характера. Это могут быть совокупность чисел с соотношениями порядка и арифметиче­ ских действий, совокупность геометрических фигур с соотношениями конгруэнтностии подобия, блок-схема какого-либо алгоритма или АСУ и т. п. Со­ временная .математика значительно переросла старые рамки чисел и фигур, и сейчас .многие определяют ее как науку о структурах (см., например, [60,

с. 245—2591).

2 Основной задачей линейного программирования является отыскание экстремума линейной функции («целевой функции») на множестве, заданном системой линейных равенств и линейных неравенств. Эта задача возникает в различных проблемах оптимизации, в особенности в вопросах технико-эко-' номического характера. Впервые подобные задачи систематически изучали Л. В. Канторович и его сотрудники, начиная с 1939 г. С 1948 г. задачи такого рода независимо начали интенсивно исследовать математики США, которые и ввели сам термин «линейное программирование» — не совсем удачный, так как его -можно спутать с программированием для ЭВМ. Сейчас по теории и приложенйям линейного программирования имеется обширная литература,

ношение между инерционными и вязкими силами в потоке вязкой жидкости или газа. Оно равно NRm—vllv4 где V H I — характерные скорость потока и

линейный размер, a v — так называемый коэффициент кинематической вяз­ кости. От значения ^^существенно зависит характер течения, а также эф­

фективность различных расчетных методов.

4 Софистика — восходящее к Древней Греции искусство доказательства логических утверждений. Достигнув высокого развития, это искусство дало, однако, и ряд примеров того, как изменяя объем используемых понятий и вво­ дя хорошо замаскированные логические ошибки, можно доказывать даже за­ ведомо нелепые утверждения. Хорошо известен, например, софизм Эвбулида:

нечность, рассматриваемая не в процессе развития, становления, а как дан­ ная, законченная. Для основной части современной чистой математики харак­ терно систематическое рассмотрение актуально бесконечных множеств — таких, например, как множество всех натуральных или всех вещественных чисел,— и неприятие концепции актуально бесконечно малых. В прикладной математике, как об этом будет говориться в п. 2.3, ситуация обратная: «бес­ конечное» множество содержит конечное, но неопределенно большое или про­ сто достаточно большое число элементов, тогда как во многих разделах (например, при выводе дифференциальных уравнений механики сплошных сред) систематически применяются актуально бесконечно малые объемы, мас­ сы и т. д. Многие основные направления современной математической логики отрицают актуальную бесконечность.

6 Например, такую: утверждается, будто бы движение невозможно, так как для того чтобы пройти некоторый путь, надо сначала пройти его полови­

322 ПРИМЕЧАНИЯ

ну, затем половину остатка и т. д., причем этот процесс деления никогда не сможет закончиться. Широко известна также апория с Ахиллесом и черепа­ хой. Апории (логические коллизии) Зенона подробно обсуждаются в книге

Пусть надо доказать, что некоторая величина S равна заданному значению S. Пусть удается построить^ некоторые величины S a, оценивающие как S, так

и 5 снизу, т. е. S a < S , 5 (для любого а, пробегающего множество индексов, которое строится в процессе рассуждений, т. е. не является актуально бес­ конечным). Пусть при этом для некоторого /г> 0 и любого натурального п

можно подобрать такой индекс а, что n (S —S a)< /i и n (S —S a)<h - Тогда

S = S l

8 Группой называется множество каких-либо объектов, для которых определена «композиция» — некоторое действие, сопоставляющее любым двум объектам третий и обладающее всеми свойствами обычного умножения за исключением, быть может, перестановочности. Понятие группы объеди­ нило различные конкретные виды композиций в математике и широко приме­ няется сейчас не только в математике, но и за ее пределами при анализе

принципов, на которых она строится. Отдельные явления, не укладываю­ щиеся в рамки парадигмы, служат аномалиями. Если они не получают объяс­ нения, то в конце концов приводят к смене парадигмы.

10 Противоречивость второго множества К — точнее, противоречивость его определения — становится ясной, если поставить вопрос, содержит ли оно само себя в качестве элемента. По существу, этот парадокс Б. Рассела того же типа, что в известной шуточной задаче о солдате-парикмахере, кото­ рому было приказано брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами; должен ли он в соответствии с этим приказом брить себя?

Среди многочисленных известных парадоксов подобного рода один из наиболее эффектных, принадлежащий Берри, возникает при анализе предложения «Наименьшее натуральное число из тех, которые нельзя одно­ значно определить фразой на русском языке, состоящей менее чем из двухсот букв», которая как бы определяет неопределимое. (Ведь фразами, состоящими менее чем из двухсот букв, включая пробелы, на русском языке можно опре­ делить не более ЗЗ200 натуральных чисел; однако число, наименьшее из остав­ шихся, однозначно определено фразой, заключенной выше в кавычки и со­ стоящей м е н ь ш е чем из двухсот букв!) Во всех этих случаях причина парадокса состоит в том, что объем рассматриваемого множества оказывается зависящим от интерпретации его определения, что может привести к противо­ речию. Множество М всех множеств, с виду более безобидное, находится в противоречии с общей теоремой Кантора о том, что множество всех подмно­ жеств любого множества А имеет мощность более высокую, чем А. (Понятие мощности для произвольных множеств играет ту же роль, что понятие числа элементов для конечных множеств. Например, оказывается, что мощность

ства информации, а также закономерности ее создания, преобразования, пе­ редачи и использования.

13 Топология — один из основных разделов современной математики, в

ченных множеств. Некоторое множество М называется (линейно) упорядочен­ ным, если для его элементов введено соотношение порядка, так что из любых двух его элементов а, Ь £М (аФЬ) один и только один предшествует другому, например, а может предшествовать b, в записи а^Ь. При этом требуется вы­ полнение аксиомы транзитивности: если д<6, 6<с, то а<с. Говорят, что два упорядоченных множества имеют одинаковый порядковый тип, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором

тип, который принято обозначать буквой со. Упорядоченное множество назы­ вается вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет первый элемент, т. е. элемент, предшествующий всем остальным. Например, множество Ni вполне упорядочено, тогда как множество всех целых чисел упорядочено, но не вполне упорядочено. Порядковые типы вполне упорядо­ ченных множеств называются трансфинитными числами, причем оказывается, что для таких чисел можно ввести естественное соотношение порядка, удов­ летворяющее аксиоме транзитивности. Первыми трансфинитными числами служат 0 (порядковый тип пустого множества); 1; 2 и т. д.; ш является наи­ меньшим трансфинитным числом, характеризующим тип бесконечного вполне упорядоченного множества; далее следует трансфинитное число со+1, харак­ теризующее порядковый тип множества, которое получится, если к М2 при­ соединить число 1, и т. д.

Согласно теореме Кантора, для л ю б о г о заданного множества транс­ финитных чисел существует трансфинитное число, следующее за всеми ними. Отсюда, очевидно, вытекает невозможность рассмотрения совокупности всех трансфинитных чисел. Однако для тех, кто не знает теоремы Кантора, эта совокупность выглядит отнюдь не хуже, чем множество всех натуральных чисел. Понятие мощности упоминалось в примечании10; это то общее, что имеет­ ся у всех множеств, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие. Между мощностями (иначе, кардинальными числами) также ус­ танавливается естественное соотношение порядка. Первыми мощностями слу­ жат 0 (мощность пустого множества); 1; 2 и т. д. Счетная мощность # 0 (алефнуль) является первой бесконечной мощностью, за ней следует fft и т. д. До последних лет многие математики безуспешно пытались доказать гипотезу континуума, выдвинутую еще Кантором и составляющую 1-ю проблему Гиль­ берта, согласно которой и есть мощность континуума, или, что равно­ сильно, всякое несчетное множество точек на прямой имеет мощность конти­ нуума, т. е. между мощностью континуума и счетной мощностью нет проме­ жуточных мощностей.

Кантор доказал, что для любой совокупности мощностей существует мощность, большая их всех; отсюда, как и для трансфинитных чисел, выте­

но непересекающихся непустых множеств М а (а — индекс, пробегающий не­ которое множество), то существует по крайней мере одно множество М, которое с каждым М а имеет равно один общий элемент; другими словами, можно образовать множество М, выбрав «одновременно» (кавычки означают, что процесс выбора не считается происходящим во времени) и независимо из каждого множества Ма по одному элементу. Об осложнениях, возникающих при применении этой аксиомы, мы будем говорить в п. 2.2. (См., напри­ мер, [1371.)

того, что из непрерывности по Гейне вытекает непрерывность по Коши, про­

324 ПРИМЕЧАНИЯ

водится от противного следующим образом. Пусть условие непрерывности по Коши не выполнено.*Тогда для некоторого е > 0 при любом 6 > 0 существуют такие х, для которых \х—х01<6 и 1/(х)—/(х 0)|> е . Положим 6п— \/п и для каждого п выберем какое-либо хп, для которого \хп—х0\< 6 п, \f(xn)—/(х 0)1>

18 Закон исключенного третьего гласит, что для каждого утверждения, осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его отрицание. Обозначив буквой р это утверждение, можем написать: верно (р или (не р)). Закон исключенного третьего близок, хоть и не равносилен, за­ кону двойного отрицания: из (не (не р)) вытекает р, а также закону противоре­ чия: неверно (р и (не р)). В дальнейшем, упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая математика (за исклю­ чением некоторых ветвей математической логики) пользуется ими без огра­ ничений.

19 К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекаю­ щая по определенным правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда неполна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой теории, т. е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более детали­ зованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т. д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть дока­ зана в рамках этой теории.

20 Автоколебания — незатухающие колебания, возникающие в некото­ рых нелинейных автономных системах и поддерживаемые за счет источников энергии неколебательного характера.

21 Кручение — «вторая кривизна», мера «закрученности» пространствен­ ной кривой в ее различных точках, равна скорости поворота так называемой соприкасающейся плоскости в расчете на единицу длины дуги этой кривой.

22 Последняя теорема Ферма — старейшая из не доказанных и не опро­ вергнутых до сих пор теорем, сформулированная П. Ферма в 1630 г. Она состоит в утверждении, что уравнение xnJr y n~ z n при л > 2 неразрешимо в це­ лых положительных числах.

23 Машина Тьюринга — абстрактный аналог ЭВМ, обладающий беско­ нечным в обе стороны запоминающим устройством и простейшим характером действий (пуск; протяжка ленты на одну ячейку в ту или другую сторону; изменение состояния считывающей головки; изменение содержания ячейки, останов) в соответствии с заданной программой. Машины Тьюринга дают

с их конкретным аналитическим выражением. В частности, широко приме няется качественное исследование совокупности всех решений автономной системы dx!dt—P (x , у)> dy/dt= Q (x, у), которые трактуются как траектории на «фазовой плоскости» х , у. Особую роль в этом исследовании играет изучение окрестностей «точек покоя», т. е. решений, для которых x(t) и у(1) обращаются в постоянные.

26 Будем говорить для определенности о зависимости решения х скаляр­ ного уравнения f(xt к)—Оот параметра к. Если для некоторого к —к0 известно какое-либо решение х = х 0, то, как правило,— точнее, при f^(x0, к0)=£О,—

в достаточной близости этих значений зависимость х(к) однозначная и непре­

вчастности, зависимость х(А,) может стать неоднозначной; тогда говорят, что

к~ к 0 служит точкой ветвления этого решения. Например, для уравнения

х2—Я =0 решение ветвится при Я=0: здесь начинаются обе ветви х = У к и

Х = - У Т , определенные при к^О . Вообще, если какой-либо объект Q зависит

от параметра к> Q~Q( k) f и в любой близости значения к=ко те или иные ка­ чественные свойства объекта Q меняются, то это значение называется точкой бифуркации (по отношению к рассматриваемому качеству).

27 Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не про­ ходит через вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из его сторон, то она пересечет и какую-либо из других сторон этого треуголь­ ника.

28 Так, П. С. Новиков доказал невозможность построения алгоритма для решения одной из центральных проблем теории групп — так называемой проблемы тождества слов. С. И. Адян установил неразрешимость классиче­ ской проблемы о построении алгоритма, позволяющего для любых двух групп, заданных своими образующими и определяющими соотношениями между ними, выяснить, изоморфны эти группы или нет. А. А. Марков доказал не­ разрешимость знаменитой проблемы топологии о построении алгоритма, с помощью которого можно установить, эквивалентны ли топологически (т. е. гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее, два полиэдра). Ю. В. Матиясевич сделал то же для десятой проблемы Гильберта о построении алгоритма, позволяющего для любого алгебраического уравнения с любым числом неиз­ вестных и целочисленными коэффициентами выяснить, имеет ли это уравне­ ние по крайней мере одно целочисленное решение. Конечно, все эти резуль­ таты не исключают возможности алгоритмов при более узких постановках задач — быть может, включающих все случаи, которые могут реально встре­ титься.

29 Конструктивная логика — одно из направлений современной мате­ матической логики, отвечающее изучению «конструктивных объектов», т. е. таких математических объектов, каждый из которых может быть определен с помощью конечного (но, быть может, как угодно большого) числа букв фиксированного алфавита. Развиваемая на основе этой логики конструктив­ ная математика, в том числе и конструктивный математический анализ [182], не используют понятие Актуальной бесконечности.

30 Основная задача выпуклого программирования обобщает основную за­ дачу линейного программирования (см. 2) и состоит в отыскании экстремума выпуклой функции на выпуклом множестве. При этом функция t/= /(х) (х — fctajca в пространстве любого числа измерений) называется выпуклой, если множество, определенное неравенством y^*f(x), выпукло в пространст­ ве х, у.

31 Для объяснения понятия полнота будем для определенности говорить

причем разность между левой частью и частной суммой ряда, стоящего в пра­ вой части, по модулю не превосходит первого из отброшенных членов. Это дает возможность уже при х~ 2 получить левую часть (82) с точностью до 5 %, а при х—5 — до 2- 10“е %. В то же время ряд в правой части (73) рас­ ходится при любом * > 0 .

36 Реология — часть механики сплошной среды, наука о деформации и текучести вещества. Основное внимание в реологии уделяется сложным процессам, в которых проявляются упругие, вязкие, пластические и т. п. свойства.

37 Объект, выбираемый из некоторого множества М при нескольких целевых функциях, значения которых желательно увеличивать, называется оптимальным по Парето, если, переходя к другому объекту из Л1, нельзя увеличить ни одно из этих значений, не уменьшая при этом какого-либо другого.

38 Тензорная величина (тензор) характеризуется набором «обычных» величин одинаковой размерности, которые линейно преобразуются по опре­ деленному правилу при поворотах осей координат. Тензоры классифициру­ ются по рангам: тензор 0-го ранга — это скаляр; 1-го ранга — вектор, харак­ теризуемый набором своих координат; тензоры 2-го ранга появляются, на­ пример, при описании напряженного состояния упругого тела в каждой его точке и т. д.

38 В интегро-дифференциальные уравнения искомая функция и ее произ­

водные могут входить как непосредственно, так и под знаком интеграла. Уравнения типа Вольтерра характеризуются тем, что этот интеграл берется от некоторого фиксированного до текущего значения независимой перемен­ ной — чаще всего времени; такие интегралы появляются при учете после­ действия.

40 Собственные числа линейной системы алгебраических уравнений, за­

нейной колебательной системе с периодически изменяющимися параметрами (например, коэффициентом жесткости), возникающее при определенных за­ конах этого изменения.

42 Под динамическими системами часто понимают любые системы, со­ стояние которых характеризуется набором некоторых параметров (фазовых координат), причем задание этих координат в какой-либо момент времени полностью определяет их значения в любой другой момент времени. Более точные формулировки понятия динамической системы см. в [243, 245].

43 Функция Гамильтона была введена У. Гамильтоном в 1834 г. для опи­ сания движения механических систем и сейчас широко применяется в экстре­ мальных и вариационных задачах. Так, в классической задаче вариационного

ь

исчисления на экстремум функционала I { y } ~ = ^ F (х, у , у') dx она имеет вид

а

Н (х, у , р)—ру*—F, где p —Fys и дает возможность записать необходимое ус­ ловие экстремума (уравнение Эйлера) в «каноническом» виде

При п ~ 0 получается кусочно-постоянная функция, при п— 1 — непрерывная кусочно-линейная функция и т. д. Хотя такие функции применяются со вре­ мен Эйлера, систематические их исследования и само их наименование появи­ лись совсем недавно; см [5].

47 Проблема четырех красок состоит в доказательстве того, что для любо­ го разбиения плоскости линиями на конечное число областей эти области можно закрасить четырьмя красками так, чтобы любые граничные друг с другом области были окрашены в различный цвет. Несмотря на простоту формулировки и многочисленные усилия, эта проблема, поставленная свыше

для всех достаточно больших /, называется ее показатель роста по шкале экс­ понент, точнее — предел (а если единого предела нет, то наибольшее из пре­ дельных значений) отношения (In|лг(/)!)// при / -> оо. Для линейной системы из п дифференциальных уравнений в векторно-матричной записи dxldt— ~А(1)х характеристический показатель нетривиальных решений может при­ нимать не более п значений, причем основную роль в приложениях играет наи­ больший из них. Этот показатель трудно рассчитать теоретически, однако во многих случаях его можно найти приближенно, следя за поведением при возрастании / указанного отношения при наугад выбранных начальных условиях.

49Теория игр — раздел математики, изучающий математические Модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта.

50Статически неопределимая система — геометрически неизменяемая система сочлененных элементов, в которой реакции опор и внутренние уси­ лия не могут быть определены с помощью только уравнений статики абсо­

лютно твердого тела, а требуется учет деформаций системы 61 Ламинарное течение — упорядоченное течение, наблюдаемое при

сравнительно малых скоростях движения жидкости (точнее, малых значениях числа Рейнольдса (см. 3)), для которого поле этих скоростей не имеет резких изменений. С увеличением скорости движения ламинарное течение переходит в неупорядоченное турбулентное течение, для которого поле скоростей обладает значительными флуктуациями.

52 Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.А й з е р м а н М. А. Нечеткие множества, нечеткие доказательства и некоторые нерешенные задачи теории автоматического регулирования I f

Мир, 1971.— 536 с.

4.А к ч у р и и И. А. Философские основания математизации знаний Ц

Современное естествознание и материалистическая диалектика.— М.:

7.А л и м о в Ю. И. О приложении методов математической статистики к обработке экспериментальных данных Ц Автоматика.— 1974.— 2.—

С. 1—24.

8.А л и м о в Ю. И. О проблемах приложения теории вероятностей, рас*

смотренных в работах В. Н. Тутубалина Ц Автоматика.— 1978.—

№ 1.— С. 71—82.

9.А л и м о в Ю. И. Альтернатива методу математической статистики // Серия «Математическая кибернетика».— 1980.— № 3.— М.: Знание, 1980.— 62 с.

10.А л и м о в Ю. И. О практической ценности теории оценок // Автома­ тика.— 1981.— № 2.— С. 84—94.

13.А н и к и н а Г. А. НТР и математизация современного знания Ц На­

учно-техническая революция и философская наука.— Л.: ЛГУ, 1977.—

С. 11— 15.

14. А н у ч и н а Н. Н., Б а б е н к о К. И. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физи­ ки.— М.: Наука, 1979.— 296 с.

15.А п п е л ь П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жид­ кости.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.— 375 с.

19.А с м у с В. Ф. Проблемы интуиции в философии и математике.— М.: Мысль, 1965.— 311 с.

И.И. B M I9II в др.

25.Б а р к а н Д. Д. Виброметод в строительстве.— М.: Госстрой издат, 1959.— 315 с.

26.Б а т а л о в а 3. С. К численному исследованию динамических систем с помощью ЭВМ Ц Изв. вузов. Радиофизика.— 1967.— Т. 10, № 3.— С. 414—422.

27.Б а у т и н Н. Н. О нелокальном применении метода малого парамет­ ра Ц Прикл. мат. и мех.— 1977.— Т. 41, Ns 5.— С. 885—894.

28. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы.— М.: Наука, 1973.— 632 с.

29.Б а х в а л о в Н. С. Осреднение процессов в периодических средах // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического

моделирования.— Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1985.— С. 131— 147®

30.Б е й л и Н* Математика в биологии и медицине.— М.: Мир, 1970.— 328 с.

31.Б е л а г а Э. Г. Математика на географической карте или рассказ о том, как решалась проблема четырех красок // Мини-геометрия: (четыре

виях'Ц Вопросы анализа и процедуры принятия решений.— М.: Мир, 1976.

34.Б и р к г о ф Г. Гидродинамика.— М.: ИЛ, 1963.— 244 с.

35.Б и р к г о ф Г. Математика и психология.— М.: Сов. радио, 1977.—

95 с.

36.Б л а ж е в и ч Н. В. Интегративная функция знаковых форм матема­ тического знания в свете современного научного знания Ц Марксистсколенинск. философия и интеграционные процессы в науке.— Тюмень:

о действии вибрации на нелинейные механические системы // Изв. АН

СССР. Механика твердого тела.— 1976.— № 6 .— С. 13—27.

38.Б л е х м а н И. И. Синхронизация в природе и технике.— М.: Наука, 1981.— 351 с.

39. Б л е х м а н И. И., М а л а х о в а О. 3. Экстремальные признаки устойчивости некоторых движений // Прикладная математика и механи­ ка.— 1990.—Т. 54, No 1.— С. 142—161.

40.Б л е х м а н И. И. Закономерности и парадоксы механики систем с иг­ норируемыми движениями и их использование в технике Ц VI Всесоюзн. съезд потеорет. и прикл. механике: Аннотации докл.— Ташкент, 1986.—

С.110.