книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

примера результаты приложения обеих теорий к случаю консольной балки постоянного сечения, несущей равномерно-распределенную нагрузку интен­ сивности q, По обычной теории для прогиба конца консоли получится резуль­ тат, который можно найти в любом курсе сопротивления материалов:

/ = J t L

8EJ ’

а по противоположной теории

/ = J IL

2GF

(I — длина балки, Е и G — модули упругости первого и второго рода, F и J — площадь и момент инерции поперечного сечения). Для того чтобы построить разумный эксперимент, который позволил бы отдать предпочтение одной из двух теорий, полезно заметить, что длина балки входит в итоговые фор­ мулы в различных степенях. Следовательно, сопоставление опытных значений прогибов двух балок, различающихся только длинами, даст легкую воз­ можность выбрать наиболее подходящую из двух теорий, поскольку раз­ личие предсказаний по обеим теориям чрезвычайно велико.

В ряде случаев апробация выполненного исследования может быть основана на сопоставлении результатов с ранее известными «эталонами», относящимися к избранным, но достаточно характер­ ным значениям параметров *).

Например, нелинейно-вязкую силу трения для системы с одной степе­

нью свободы часто аппроксимируют зависимостью — bq \ q \п~х (q — обоб­ щенная скорость, b u n — постояннее). В этом случае дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний при линейной восстанавли­ вающей силе имеет вид

aq~h bq\q\n~rlJr cq ~ 0 .

Для аналитического решения этого нелинейного дифференциального урав­ нения по необходимости обращаются к приближенным способам. Если вос­ пользоваться известным способом энергетического баланса, то для огибающей кривой свободных затухающих колебаний получается выражение (при пФ 1)

в котором — начальное отклонение системы от положения равновесия (начальная скорость полагается равной нулю), а

Но в выкладках, которые приводят к довольно удобному выражению (75), содержатся некоторые заведомые неточности, и поэтому естественно, что первым шагом в анализе результатов должен быть контроль их приемле­ мости. Для этой цели полезно воспользоваться тем фактом, что в случае

тирования сейсмостойких конструкций. С. П. Тимошенко разработал более общую теорию, которую можно рассма1фивать как синтез двух названных выше.

*) По поводу эталонных задач уже говорилось в п. 5.13.

9* И. И. Блехман и др.

кулонова трения (я=0) можно легко найти точное решение; согласно этому решению наибольшие отклонения системы убывают по закону арифметиче­ ской прогрессии, а огибающая представляет собой прямую

2Ы

А = А0

л Y ас

Легко проверить, что тот же результат следует и из выражения (75) при п = 0. 1 Любопытно, что если воспользоваться энергетическим способом для такого же приближенного решения задачи при я=1 (линейно-вязкое трение),

то получится также точное уравнение огибающей А = A0e~~bi^2aK Таким об­ разом, в выкладках по названному приближенному способу при я—0 и п ~ 1 происходит полная внутренняя компенсация ошибок (увы, так бывает далеко не всегда!); это может служить рациональным доводом в пользу достаточной точности решения (75) и при других значениях п — во всяком случае не слишком далеких от 0 и 1.

Особо надо сказать о математических моделях социальных и иных подобных явлений, для которых количественное описание не является достаточно надежным и общепринятым. Здесь контроль гипотез и модели в целом по получающимся следствиям часто имеет только качественный характер, и в ряде случаев можно предложить много гипотез и много моделей, которые приводят к качественно одинаковым результатам.

По поводу таких моделей В. В. Налимов пишет [233, с. 18J: «Можно поставить вопрос — в чем же смысл таких моделей? Ответ на него прост. Такие модели позволяют лицам определенной интеллектуальной настроен­ ности понимать поведение системы лучше, чем если бы оно было изложено вербально. Это происходит, видимо, потому, что математический язык и, в частности, язык дифференциальных уравнений обладают высокой степенью общности. У ученого, владеющего этим языком, сразу же возникает мно­ жество ассоциаций с аналогичными, хорошо известными ему ситуациями, описываемыми такими же уравнениями. Математическая модель сразу же становится на свое место в системе тех представлений, которыми распола­ гает ученый, мыслящий на языке математики» (прикладной математики — добавим мы.— Авт.) *).

При изучении социальных явлений приходится особенно часто иметь дело с размытыми понятиями и величинами. Переходя к ма-

вивается далее по своим собственным законам и дает биологу понятия и образ мышления, которых у него раньше не было». Дж. Смит [297, с. 11— 14] особо останавливается на роли качественных моделей в биологии, которые приво­ дят к воспитанию правильной интуиции в случаях, когда уже накопленная интуиция отказывает, а эксперименты трудны. К исследованию таких моде­ лей могут привлекаться ЭВМ, однако, в отличие от количественных моделей, влияние конкретных данных должно быть по возможности ослаблено. Под­ черкнув, что «главная проблема, которую приходится решать при анализе любой сложной системы,— это выбор существенных параметров», Смит де­ лает интересное замечание: «При изучении сложных систем следует не столь­ ко стремиться найти черты, общие для всех систем или для всех видов, сколь­ ко искать причины различий в поведении разных видов или систем. Для того чтобы ответить на такого рода вопросы, нам нужны наипростейшие модели». (См. об этом также [545].)

тематической модели, мы заменяем размытые величины на четкие (это относится, например^ к целевой функции в большинстве задач математического программирования (см. 2*30)), что и придает ре­ зультатам качественный характер. Во многих случаях такие ре­ зультаты приносят несомненную пользу, помогая правильной ориен­ тировке. Однако значения попутно получающихся количественных утверждений (например, при практическом применении теории игр 49 и некоторых других разделов теории операций) нельзя пере­ оценивать. (См. также [221, 5431.)

3. Поиски неожиданностей. Хотя отчетливое знание того, что именно мы ищем, существенно облегчает исследование и помогает организовать целеустремленный поиск, лишь в редких случаях можно с самого начала точно предвидеть, какие из результатов ока­ жутся наиболее полезными. Гораздо чаще некоторые из интересных результатов неожиданно обнаруживаются лишь в процессе, иногда даже в самом конце исследования, план которого в связи с этим приходится по ходу дела перестраивать. Более того, не так уж редко в начале исследования имеется лишь довольно расплывчатое представление о его объекте и смутное ощущение «здесь что-то есть» *). .Поэтому разностороннее обсуждение промежуточных и окончательных результатов (причем не только в заранее предусмот­ ренных аспектах), анализ побочных ветвей исследования могут ока­ заться весьма целесообразными, хотя и придают этому исследова­ нию некоторую аморфность, разумная степень которой определяется на основании интуиции, аналогий и опыта.

Приведем простой пример. Пусть рассматриваются вынужденные вер­

уравнение движения имеет ви^ tfti*i4-q*i - F sin Ш (q — коэффициент жест­ кости упругой связи). Как известно, амплитуда чисто вынужденных коле­ баний равна Д®=/г/ I q — I. Поставим вопрос о том, как влияет на эти

а соответствующий коэффициент жесткости — буквой с2, то получим систему уравнений

mjx'i + qjq -j~с2 (*i—х2) = F sin Ш,

т2х2 4- с2(х2—Хх) = 0.

Отсюда легко находим, что в установившемся режиме грузы колеблются с частотой 0} и амплитудами соответственно

Казалось бы, задача решена. Однако хороший прикладник проведет еще анализ полученных формул. Так, из формулы для А\ легко получить условие того, что A i<A J, т. е. в результате присоединения второго груза

амплитуда колебаний первого груза уменьшится. Это условие имеет вид

(Первое неравенство означает, что если собственная частота исходного ос­ циллятора больше частоты возбуждения ©, то собственная частота присоеди­ няемого осциллятора должна быть меньше со, и обратно.) Более того, мы замечаем, что с помощью подбора с2 и т2 амплитуда Аг может быть как угодно понижена, а при соотношении с21т2~ со2 она становится равной нулю! Это явление носит название антирезонанса.

Таким образом, мы приходим к выводу, который заранее совсем не оче­ виден и даже может быть воспринят как парадоксальный: при определенных соотношениях параметров присоединяемого осциллятора (его собственная частота должна равняться частоте возбуждения ю) груз, к которому при­ ложена вынуждающая сила, остается в покое, а раскачивается другой груз» к которому сила непосредственно не приложена. Этот результат подсказы­ вает идею гашения вынужденных колебаний, основанную на упругом при­ соединении к колеблющейся системе дополнительных грузов, принимаю­ щих раскачивание на себя. В принципе такая мысль могла возникнуть еще в XVIII в.— «Аналитическая механика» Лагранжа, в которой был дан соответствующий математический аппарат, вышла в свет в 1786 г. Однако после этого потребовалось еще более ста лет для того, чтобы была замечена возможность динамического гашения колебаний. Лишь с начала нашего века такие динамические гасители колебаний применяются во многих техни­ ческих устройствах — от кораблей (для их защиты от качки) до машинок для стрижки волос. Отметим, что присоединяемая масса т2 должна быть не слишком малой, так как из формулы для ее амплитуды Л2 видно, что при с2==/л2а)2 будет A 2= F /c 2= F / (т2ю2). Дальнейший несложный анализ пока­ зывает, что масса т2 не должна быть слишком малой также из условия ста­ бильности (нечувствительности) режима работы устройства по отношению

кмалым изменениям параметров системы.4

4.Представление результатов. Предметом особой заботы ав­ тора, завершающего прикладное исследование, должно быть прида­ ние результатам легко обозримой и удобной для применения формы. Безразличное отношение к этой стороне дела не только противоре­

выводы из исследования на качественном или «почти качественном» языке, например: «Таким образом, исследованное состояние рав­ новесия системы неустойчиво, и при любых начальных возмущениях возникают автоколебания, амплитуда которых стремится к значе­ нию, определяемому такой-то формулой. Это значение, соответст­ вующее предельному циклу, так-то и так-то зависит от параметров системы...»

Формулировка отчетливых обоснованных общезначимых выво­ дов — не только один из самых важных, но и один из самых труд­ ных и ответственных этапов исследования. Имеется огромное коли.

чество работ, после ознакомления с которыми возникает вопрос «Ну и что?», о чем убедительно и подробно писал Я. И. Хургин [338]. Разрозненные факты могут не приводить ни к глубокому зна­ нию, ни к практическим выводам, подобно тому как анализ от­ дельных букв и слов может не приблизить нас к пониманию текста.

Что же касается количественных результатов, то часть (и порой весьма значительная по объему) получаемой после исследования информации почти неизбежно оказывается лишней и образует лишь «информационный шум». Поэтому исследователь должен по­ нимать необходимость отсечения лишней информации, уметь отби­ рать только нужное и быть психологически готовым к некоторому самопожертвованию (всегда жаль выбрасывать полученное с тру­ дом — каким бы малоценным оно ни было!).

Ярким примером может служить представление результатов решения эволюционной задачи, приводящей к дифференциальному уравнению Матье

в котором а й в — постоянные. К этой задаче можно прийти, в част­ ности, при анализе устойчивости упругого стержня, нагруженного продольной силой, гармонически изменяющейся во времени. Этот анализ, который был впервые выполнен в 1924 г. Н. М. Беляевым, положил начало обширной серии исследований динамической устой­ чивости упругих систем (см. [50]).

С практической точки зрения относительно сложная теория решения уравнения Матье нужна лишь для того, чтобы сделать вы­ вод о его устойчивости или неустойчивости, т. е. устойчивости или неустойчивости прямолинейной формы оси стержня. Э. Айнсу и М. Стретту удалось радикально отсечь лишнюю (в указанном выше смысле) информацию и придать результатам предельно ком­ пактную форму, построив на плоскости параметров а, е границы между областями устойчивости и неустойчивости. Ныне исследова­ тель-прикладник, пришедший к уравнению (76), избавлен от необ­ ходимости заниматься его решением — для выяснения устойчивости изучаемой системы достаточно посмотреть, в какую область диа­ граммы Айнса — Стретта попадает точка с данными координатами af е. Конечно, таким способом нельзя получить подробные сведения относительно течения колебательного процесса в том или ином кон­ кретном случае, но в большинстве прикладных задач такие под­ робности несущественны.

Иногда отсечение избыточной информации обеспечивается самой постановкой проблемы, точно нацеленной на решение практического вопроса. Так, Дж. Максвелл, изучая устойчивость следящего уст­ ройства телескопа, заметил, что задача сводится к проверке отрица­ тельности действительных частей корней алгебраического уравне­

А. Стодола и предложил заняться ее решением А. Гурвицу. Не зная о работах Максвелла и Рауса, Гурвиц пришел к широко известным ныне неравенствам («условиям Гурвица»). Примечательно, что по самому замыслу Максвелла и Стодолы вопрос о фактическом вычис­ лении корней или хотя бы их действительных частей даже не ста­ вился, так как практика интересуют чаще всего только знаки этих частей. (Впрочем, это не всегда так; см. конец п. 5.9.)

Компактность и универсальность результатов во многом зависят от удачной редакции выкладок, предшествующих их получению. Приведем пример, относящийся к автономной механической системе

с одной степенью свободы, если сила трения имеет вид (Ь0—b2q2)q

{q и q — обобщенная координата и обобщенная скорость, Ь0 и 62 — положительные постоянные). Дифференциальное уравнение движе­ ния такой системы

aq — (b0— b2tf) q + cq = 0

(а и с — положительные постоянные) содержит четыре параметра, и поэтому, прежде чем обратиться к его решению, очень полезно совершить некоторые предварительные действия, направленные на возможно большее сокращение числа параметров (см., например, (861). Во-первых, уравнение можно разделить на а, после чего в него войдут только три параметра bja, bja, da. Далее посредством пере­ хода к новому аргументу (безразмерному времени) т= /(с/а)1/2 уравнение приобретает вид

Здесь штрихами обозначено дифференцирование по безразмерному времени, e= b0(ac)~lli. Полученное уравнение содержит всего два параметра. Наконец, путем подстановки y= (b2/ b 0)ll2q вводится но­ вая безразмерная функция и уравнение принимает подготовленную к решению форму

содержащую лишь один параметр. Только теперь целесообразно приступить к решению уравнения.

Уравнение (77) играет важную роль в теории нелинейных коле­ баний как одно из простейших «эталонных» уравнений, описываю­ щих автоколебания; оно известно под названием уравнения Ван дер Поля.

Естественно, что «спрессовывание» параметров уравнения при­ дает особую компактность всем последующим процедурам и резуль­

татам *). Одновременно нужно отметить, что для содержательной и наглядной интерпретации полученных таким образом резуль­ татов может оказаться полезным возвращение к исходным парамет­ рам; это определяется целями исследования.

Для придания результатам вычислений наглядной формы весьма полезно их графическое представление: график или серия графиков, выданных на дисплее, могут оказаться значительно эффективнее, чем обширные и малообозримые численные массивы, особенно при диалоге исследователя или конструктора с ЭВМ.

*) О пользе «спрессовывания» см. также с. 251 в связи с использова­ нием ЭВМ.

Г л а в а 3 НЕКОТОРЫЕ СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

§ 7. Ошибки *)

«К сожалению, нелепость в мундире гораздо более убедительна, чем нелепость обнаженная. Уже тот факт, что теория появляется в математической форме, ...

как-то заставляет нас отнестись к ней серьезно».

Дж~ Шварц [522]

1. Психологические барьеры и инерционность мышления. Эти психологические причины часто служат существенным препятствием к наилучшему, а порой даже просто к удовлетворительному выбору математической модели и метода ее исследования. По существу, речь идет о психологии творческого процесса **), и, не будучи специали­ стами в этой области, мы ограничимся несколькими замечаниями по этому поводу.

Инерционность мышления проявляется в бесконтрольном при­ менении к изучаемой задаче математической модели (всей или ее элементов) или методов ее исследования, апробированных и тради­ ционных в данной области или просто почему-либо внушающих

по совершенно очевидным причинам: как правило, новые понятия, гипотезы, модели следует вводить лишь тогда, когда исследователь убедился, что возможности старых исчерпаны. {В связи с этим хо­ чется напомнить один из важнейших научных принципов — так на­ зываемую «бритву Оккама» — entia non sunt multiplicanda praeter

*) Очень трудно даже в самых общих чертах обозреть причины и типы возможных ошибок в прикладном математическом исследовании. О многих из них мы уже говорили по ходу предыдущего изложения. Все же мы сочли целесообразным, в силу важности вопроса, еще раз остановиться на нем и без претензий на полноту обсудить некоторые характерные причины и типы оши­ бок, сделав упор на ошибки субъективного характера.

**) Популярное рассмотрение различных видов логико-психологиче­ ских барьеров в процессе научного открытия содержится в статье Б. М. Кед­

iiecessitatem (не следует приумножать сущностей без необходимости (лат.)).)

При этом оценить разумную степень такой инерционности бы­ вает в начале исследований весьма трудно, а в ряде случаев вообще вряд ли возможно. Не исключено, что «разумное использование» традиций в каком-либо исследовании впоследствии справедливо переименуют в «слепое следование» им...

Инерционность мышления является одной из основных причин возникновения в исследовании психологического барьера, когда не­ который разумный, а может быть, необходимый логический шаг не совершается, хотя для него имеется весь необходимый аппарат, и позже, после совершения этого шага, он представляется совершенно естественным *).

Часто инерционность мышления порождается предвзятыми пред­ ставлениями; иногда такие представления имеют математический характер, например основаны на вере в совершенство и универсаль­ ную применимость тех или иных математических сущностей. Клас­ сическим примером здесь может служить геоцентрическая система Птолемея; в устойчивости этого представления, наряду с антро­ поцентризмом, немалую роль сыграло убеждение о «совершенстве» кругов и сфер. Если учесть место евклидовой геометрии в системе античного знания, то становится естественной та роль, которая приписывалась указанному совершенству и априорно ощущалась в древности.

Отчетливо видя ошибки древних и удивляясь их очевидности, мы сейчас порой совершаем промахи в сущности того же характера, хотя и находящиеся на ином уровне, уровне современной матема­ тики. Такие ошибки происходят, в частности, от бесконтрольного применения к прикладной математике понятий, результатов и мето­ дов, выработанных в чистой математике, о чем мы говорили в § 2, а также от навязывания действительности неадекватных математи­ ческих структур.

Конечно, неправильные математические тенденции могут прояв­ ляться и гораздо более ясно (для постороннего наблюдателя!). Например, одного исследователя может подвести преувеличенное стремление к интегрированию дифференциальных уравнений в квад­

*) «Эренфест любил подчеркивать, что ученые и физики, в частности люди, идеями и трудами которых осущ ествляется прогресс науки, в подходе к описанию и объяснению новых явлений часто оказываются консерваторами. Эти новые явления они стремятся понять в рамках старых представлений. Во имя их сохранения вводятся дополнительные, придуманные специально ради данного объяснения, гипотезы (так называемые предположения типа «ad hoc»). Вместо того чтобы приветствовать новые физические теории, кон­ серваторы пытаются обойтись Ьсз них. Конечно, надо проявлять крайнюю осторожность в оценке такого «консерватизма», так как введение новых по­ строений, объясняющ их тот ж е круг вопросов, что и старые, вряд ли является оправданным. Н уж ен «разумный консерватизм, существенно отличающийся от твердолобого упрямства» (Н аука и жизнь. 1971.— № 4 .— С. 117).

270 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

ратурах, другого — к применению метода Фурье (разделения пере­ менных) при решении краевых задач и т. д. Причиной таких тенден­ ций часто является недостаточное знание современных средств при­ кладной математики.

Яркий пример того, как инерционность мышления мешала раз­ витию строительной механики, а именно созданию теории расчета статически неопределимых стержневых систем50, приводится в статье И. М. Рабиновича 1271]. Барьером для создания адекватной модели таких систем служило устоявшееся представление о строи­ тельных материалах (железо, камень и т. д.) как об абсолютно жестких, недеформируемых. Привычка к абсолютно жесткой модели была очень устойчивой, а сама эта модель воспринималась как единственно возможная, безальтернативная. Однако она обнаружи­ ла свою полную непригодность при попытках анализа статически неопределимых систем, причем нулевая степень адекватности этой модели для статически неопределимых систем проявилась самым простым и очевидным образом — в виде несоответствия числа неиз­ вестных числу уравнений задачи. (В общем, конечно, хорошо, когда происходит столь быстрое «саморазоблачение» модели — исследова­ тель, независимо от своих привычек и вкусов, вынужден от такой модели отказываться; гораздо хуже, когда неадекватность модели так или иначе завуалирована.)

Но после того как выяснилась несостоятельность модели абсо­ лютно твердого тела для решения задач, относящихся к статически неопределимым системам, некоторое время царила растерянность — оставалось неясным, как же следует изменить модель, чтобы до­ биться адекватности. Теперь мы хорошо понимаем, что появление дополнительных («лишних») неизвестных автоматически влечет за собой появление и новых условий, но эти условия относятся к пере­ мещениям и здесь-то и возникла некая психологическая трудность: казалось, что малые перемещения не могут влиять на значения усилий.

Как отмечает И. М. Рабинович, психологическим барьером пос­ лужило непонимание того обстоятельства, что если большие усилия вызывают малые перемещения, то и обратно, малые перемещения должны существенно влиять на усилия (реакции опор).

Другим широко известным и более современным примером про­ явления инерционности мышления служат попытки применения ламинарной 31 модели течения жидкости в условиях, когда на самом деле это течение заведомо турбулентно.

Вообще, чем более упорно исследователь стремится к сохранению модели, тем, как правило, оказывается ниже внешнее правдоподобие. (Впрочем, из этого общего правила известны исключения, когда приносила успех модель, искусно перенесенная изобретательным и широко образованным исследователем, казалось бы, в совершенно неадекватную ситуацию. Примером могут служить исследования быстрого пластического течения металла, в которых он принимается